Vous savez sans doute qu'il y aura l'an prochain une épreuve de travaux
pratiques au baccalauréat série S.

Des sujets expérimentaux ont été testés dans plusieurs lycées et je vous
propose de regarder le sujet 1 de la liste.

Soit $(u)$ la suite définie par : $u_n=u_{n-1}+2(n-1)-11$ pour tout $n$
entier naturel non nul et $u_0=0$.

Déclarons la suite :

.m u[0]:0;

.m u[n]:=u[n-1]+2*(n-1)-11$

Calculons les seize premiers termes :

Représentons graphiquement les résultats obtenus:
.m xx:makelist(n,n,0,15);
.m yy:makelist(u[n],n,0,15);

.m plot2d([discrete,xx,yy]);

Nous remarquons, au regard du graphique obtenu, qu'il doit y avoir une
fonction polynôme du second degré derrière cela.

La suite $(u)$ serait-elle définie par: $u_n=f(n)$ où $f$ serait une
fonction polynomiale du second degré?

.m f(n):=a*n^2+b*n+c$

Essayons de trouver $a$, $b$ et $c$ en résolvant un système linéaire
obtenu en égalisant $f(n)$ à $u_n$ pour trois valeurs de $n$.

.m linsolve([u[0]=f(0),u[1]=f(1),u[2]=f(2)],[a,b,c]);

Nous pouvons conjecturer que  $u_n=f(n)=n^2-12n$. Déterminons les seize
premières valeurs de $f(n)$.

.m f(n):=n^2-12*n$
.m makelist(f(n),n,0,15);

Les résultats confirment la conjecture, nous n'avons plus qu'à démontrer
la propriété par récurrence.