Soit $(v)$ la suite définie par la relation de récurrence suivante:

$v_0$ réel quelconque et, pour tout $n\in \mathbb N^*$,\,
$v_{n+1}=-\frac{1}{2v_n+6}$.

Fixons une valeur de $v_0$ et déclarons la suite $(v)$:
.m v[0]:0;
.m v[n]:=-0.5*v[n-1]+6;
Calculons maintenant les 12 premiers termes de la suite:
.m makelist(v[n],n,0,11);
On peut penser que $v$ converge vers 4.

Changeons de valeur pour $v_0$,prenons 2.
.m v[0]:2;
.m makelist(v[n],n,0,11);
Nous remarquons que la limite semble être la même.

Essayons de nouveau,prenons $v_0=-3$.
.m v[0]:-3;
.m makelist(v[n],n,0,11);

Il ne fait plus de doute que la valeur de $v_0$ ne semble pas affecter
la convergence de la suite $(v)$ vers 4.

Étudions la suite $(w)$ définie par $w_n=v_n-4$.
.m w[n]:=v[n]-4;
.m makelist(w[n+1]/w[n],n,1,15);

La suite $(w)$ semble être géométrique de raison -0.5, il ne reste plus
qu'à démontrer la propriété rigoureusement.

La raison de la suite $(w)$ étant, en valeur absolue, inférieure
strictement à 1, on peut en déduire que
$\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}w_n=0}$, donc que la suite $(v)$
converge bien vers 4, ceci quelque soit la valeur de $v_0$.