Soit $f_k(x)=k\sqrt{x^2+9}+4-x$, $x\in[0;4]$, $k$ étant un réel
supérieur ou égal à 1.

Étudions la fonction $f_2$.

Déclarons que $x\in[0;4]$.

.m assume(x<=4);
.m assume(x>=0);

Déclarons $f_2$ et calculons sa dérivée.

.m f(x):=2*sqrt(x^2+9)+4-x;
.m a:diff(f(x),x);

Essayons de factoriser $f'(x)$.

.m factor(a);

Essayons de résoudre l'équation $\sqrt{x^2+9}-2x=0$ qui nous donnera les
valeurs de $x$ qui annulent la dérivée, restera alors à étudier le signe
de celle-ci.

.m g(x):=sqrt(x^2+9)-2*x;
.m solve(g(x),x);

Manifestement,il n'est pas possible de résoudre cette équation avec un
radical.
En remarquant que l'équation $\sqrt{x^2+9}-2x=0$ est équivalente à
$\left(\dfrac{\sqrt{x^2+9}}{2}\right)^2=x^2$, on peut alors trouver les
solutions:

.m h(x):=sqrt(x^2+9)/2;
.m solve((h(x)*h(x))-x^2,x);

Nous travaillons sur l'intervalle $[0;4]$, donc, seule la solution
$x=\sqrt{3}$ est à prendre en considération dans l'étude du signe de
$f'(x)$.

Si l'on se souvient de ce que l'on a trouvé  ici:
\url{http://melusine.eu.org/syracuse/scilab/pscilab/sts/16/}
on avait lu que $f_2$ atteint son minimum en une valeur proche de 1.75,
la valeur exacte étant, on le sait maintenant $x_0=\sqrt{3}$.