\Titre{Lieu de points (1)}

\begin{gbar}
Soit $A$, $B$, $C$, $D$ un rectangle. Quel est le lieu des points $M$ tels que
les rayons des cercles circonscrits à $ABM$ et $CDM$ soient égaux? 
\end{gbar}

Commençons par définir les quatres sommets du rectangle dans un repère
orthonormé bien choisi.
.m (A:[a,b],B:[-a,b],C:[-a,-b],D:[a,-b],['A=A,'B=B,'C=C,'D=D]);
Maintenant un point $M$ générique:
.m M:[x,y];
Pour déterminer le centre du cercle $\mathcal{C}_1$ circonscrit au triangle
$ABM$, nous allons procéder ainsi:
\begin{enumerate}
 \item Définir une fonction $f$, caractéristique de $\mathcal{C}_1$  au sens où si 
 $M(x,y)\in\mathcal{C}_1$ alors $f(x,y)=0$ est l'équation cartésienne de $\mathcal{C}_1$.
.m f(p):=buildq([X:part(p,1),Y:part(p,2)],X^2+Y^2+alpha*X+beta*Y+vgamma)$
 Cette fonction dépend de trois paramètres à partir desquels se
 calculent le centre et le rayon du cercle.
 \item Déterminer les paramètres pour que la fonction soit caractéristique du cercle
 passant par $A$, $B$, $M$. Cela revient à résoudre un système de trois équations linéaires
 à trois inconnues.
.m s1:solve([f(A),f(B),f(M)],[alpha,beta,vgamma]);
 Nous trouvons $\alpha=0$, dans le cas qui nous intéresse ce résultat était attendu,
 le centre du cercle étant nécessairement situé sur l'axe des ordonnées.
 
 Récupérons l'ordonnée du centre.
.m y1:-1/2*rhs(part(s1,1,2));
\end{enumerate}

Nous pouvons maintenant calculer le carré du rayon du cercle $\mathcal{C}_1$.
.m r1c:(x-0)^2+(y-y1)^2;

Pour le cercle $\mathcal{C}_2$ passant par $C$, $D$ et $M$, il est inutile de reprendre
tous les calculs, il suffit de substituer $-b$ à $b$.
.m r2c:subst(-b,b,r1c);

Les points $M$ recherchés doivent vérifier l'égalité des quantités ci-dessus, autrement exprimée
à l'aide de \textsc{maxima} de la façon suivante:
.m (eq:factor(num(radcan(r1c-r2c))),eq=0);

Nous trouvons deux sous-ensembles \emph{attendus}: la droite d'équation $y=0$ et le cercle
d'équation $x^2+y^2=a^2+b^2$ circonscrit à $ABCD$. Il y en a un d'\emph{imprévu} qui est
une hyperbole équilatère, éventuellement dégénérée en deux droites si le rectangle est carré!

Récupérons l'expression définissant l'hyperbole.
.m h:part(eq,1,3);

Traitons le cas particulier $a=3$ et $b=2$.
.m >MPPREFIXE:"coniques03"$
.m load("reduction.mc")$
.m Reduction(ev(h,a=3,b=2));
.m Representation(-5,-5,5,5,1);

Il reste maintenant à établir que si $M$ appartient à l'un de ces trois
ensembles, la droite, le cercle ou l'hyperbole alors il vérifie la
propriété de l'énoncé. On excluera les cas particuliers où $M$ coïncide
avec l'un des quatre points $A$, $B$, $C$ ou $D$; il y a indétermination
sur l'un des cercles circonscrits.


Dans le cas des deux premiers ensembles, la propriété est évidente. Pour l'hyperbole, il
suffit de considérer que l'on a:
$$x^2+b^2=a^2+y^2$$
Ainsi si $C_1(0,y+b)$ et $C_2(0,y-b)$ alors:
$$C_1M=C_1A=C_1B=C_2M=C_2C=C_2D=\sqrt{x^2+b^2}=\sqrt{a^2+y^2}$$
$C_1$ et $C_2$ sont les centres des cercles circonscrits à $ABM$ et $CDM$, ils ont le même 
rayon!

On remarquera que dans ce dernier cas $\mathcal{C}_1$ est le
\emph{translaté} de $\mathcal{C}_2$ selon le vecteur $(0,2b)$.