\Titre{Développements limités (exercice)}

     
     
\begin{gbar}
On considère la fonction $f$ définie par 
$\displaystyle f(x)=\frac1{e^x-1}$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que la fonction $g:x\mapsto xf(x)$ est prolongeable 
  par continuité en $0$. Dans la suite, nous identifierons $g$ avec 
  ce prolongement.
 \item Après avoir déterminé le $\mathrm{DL}_4(0)$ de $e^x-1$, calculer 
  le $\mathrm{DL}_3(0)$ de $g(x)$. 
 \item Montrer alors qu'il existe 4 réels $a$, $b$, $c$, $d$ tels que, 
  au voisinage de $0$ sauf en $0$, on ait: 
  $$f(x)=\frac{a}{x}+b+cx+dx^2+o(x^2)$$
  Le membre de droite de l'égalité ci-dessus est le \emph{développement 
  limité généralisé} de $f$, à l'ordre $2$, au voisinage de $0$ 
  ($\mathrm{DLG}_2(0)$).
 \item Déterminer le $\mathrm{DLG}_2(0)$ de 
  $\displaystyle\frac1{\sh x}$.
\end{enumerate}
\end{gbar}

Définition de $f$:
.m f(x):=1/(exp(x)-1);

Définition de $g$:
.m g(x):=x*f(x);

Calculons la limite de $g$ en $0$:
.m limit(g(x),x,0);
Cette limite existe donc $g$ est prolongeable par continuité en $0$ en
posant $g(0)=1$.

DL$_4(0)$ de $e^x-1$:

.m A:taylor(exp(x)-1,x,0,4);

Le quotient de $x$ par $e^x-1$ induit une simplification par $x$.
La quantité qui reste est de la forme $\frac1{1+u}$ avec $u$:
.m A/x-1;

On développe $\frac1{1+u}$ au voisinage de $0$, à l'ordre $3$:
.m taylor(1/(1+u),u,0,3);

En subtituant le développement de $u$ à $u$ dans l'expression
précédente, on obtient le résultat attendu (que \textsc{maxima} donne
directement):

.m A:taylor(g(x),x,0,4);

En divisant par $x$ on obtient donc le développement généralisé de $f$
en $0$:

.m A/x;

Les coefficients $a$, $b$, $c$, $d$ s'obtiennent par lecture ...

Pour finir, la même méthode justifierait le DLG$_2(0)$ de $\frac1{\sh x}$:

.m taylor(1/sinh(x),x,0,3); 

Soyons généreux:

.m taylor(1/(exp(x)-1),x,0,10); 
.m taylor(1/sinh(x),x,0,10);