\Titre{Étude de fonction (1)}

La correction partielle (seule la partie \emph{calculatoire} est
développée) de l'exercice ci-dessous comprend quelques interactions
avec \textsc{maxima} et la représentation de fonctions.

\begin{gbar}
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction numérique de la variable réelle $x$ définie par 
$g(x)=-\frac12+\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}}$.\\
\'Etudier la continuité et la dérivabilité de $g$; en déduire les variations 
de $g$.
\item Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie par 
$f(x)=-\frac{x}2+1+\frac12\sqrt{x^2+1}$.\\
\'Etudier la fonction $f$; étudier la position de la courbe représentative de 
$f$, $\mathcal{C}_f$, par rapport à ses asymptotes, puis construire 
$\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé $(O,\mathbf{i},\mathbf{j})$ 
(unité: 2 cm).
\item Déduire de l'étude précédente l'existence d'un intervalle $I$ de $\R$, 
à préciser, tel que $f$ permette de définir une bijection de $\R$ sur $I$. 
Vérifier que la bijection réciproque est telle que, pour tout $x$ de $I$:
$$f^{-1}(x)=\frac1{4(x-1)}+1-x$$
Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f^{-1}}$, représentant $f^{-1}$ dans 
$(O,\vec{\imath},\vec{jmath})$.
\end{enumerate}
\end{gbar}


.m radexpand:all;

\begin{enumerate}
    \item Définition de $g$, dérivée et limites:

.m g(x):=-1/2+x/2/sqrt(x^2+1);
.m radcan(diff(g(x),x));

La dérivée de $g$ est manifestement positive sur $\R$.

.m limit(g(x),x,minf);
.m limit(g(x),x,inf);

$g$ est donc strictement croissante sur $\R$, elle varie de $-1$
à $0$.

    \item  Étude de $f$. 

.m f(x):=-x/2+1+1/2*sqrt(x^2+1);
.m diff(f(x),x);

On constate l'égalité: $f'(x)=g(x)$, $f'$ est donc négative sur $\R$, la fonction
$f$ est décroissante sur $\R$.

.m limit(f(x),x,minf);
.m limit(f(x),x,inf);

$f$ varie décroit donc de $-\infty$ à $1$. Nous recherchons maintenant
une éventuelle asymptote à $C_f$ au voisinage de $-\infty$.

.m a:limit(f(x)/x,x,minf);
.m b:limit(f(x)-a*x,x,minf);

La droite d'équation $y=-x+1$ est asymptote vers $-\infty$. Pour déterminer
la position relative de cette droite par rapport à la courbe, nous calculons
la quantité $f(x)-(-x+1)$:

.m d:radcan(f(x)-a*x-b);

Il est assez facile de \emph{voir} que cette quantité est positive. Pour
confirmer, nous allons utiliser un développement.

Tout d'abord on se déplace sur un voisinage à droite de $0$:

.m d:subst(-1/y,x,d);

On développe ensuite...

.m d:taylor(d,y,0,2);

Et on retourne au voisinage de $-\infty$.

.m d:subst(-1/x,y,d);

C'est bien positif au voisinage de $-\infty$!

$C_f$ admet une asymptote horizontale au voisinage de $+\infty$. Compte
tenu des variations de $f$, cette asymptote est située en dessous de la
courbe (aucun calcul à faire).

    \item  \emph{Réciproque} de $f$.

On définit $h$ la fonction \emph{prétendante} donnée par l'énoncé.

.m h(x):=1/(4*(x-1))+1-x;

On compose avec $f$ à droite:

.m i:h(f(x));

Et on simplifie:

.m radcan(i);

C'est le résultat attendu...

On compose maintenant avec $f$ à gauche (pour vérifier):

.m i:f(h(x));
.m radcan(i);

$h$ est bien la réciproque de $f:\R\rightarrow ]1,+\infty[$.
\end{enumerate}

\begin{center}\includegraphics{etude01-1.pdf}\end{center}