\Titre{Suite et fonction}

\begin{gbar}
Étant donnés trois nombres réels $\lambda$, $a$, $b$, on considère la
suite $(u_n)$ définie par les conditions suivantes:
$$u_0=\lambda\hbox{ et } \forall n \in\N,\, 4u_{n+1}=3u_n^2-2(a+b)u_n+ab+2(a+b)$$
La suite $(u_n)$ est dite \emph{associée} à $\lambda$, $a$, $b$.\\ 
Les deux parties suivantes sont indépendantes.
\paragraph{A --} Dans cette partie, on suppose que $a<b<2$.
\begin{enumerate}
 \item Montrer que, lorsqu'elle existe, la limite de la suite $(u_n)$ associée
 à $\lambda$, $a$, $b$ est une solution de l'équation
 $$3x^2-2(2+a+b)x+ab+2(a+b)=0$$
 \item On considère la fonction polynôme $f$ définie pour tout $x$ réel par
 $$f(x)=3x^2-2(2+a+b)x+ab+2(a+b)$$
 Déterminer la primitive $g$ de $f$ qui s'annule pour $x=2$ et montrer que $g$ a 
 exactement trois zéros que l'on précisera.
 \item En déduire que, lorsqu'elle existe, la limite $\ell$ de la suite
 associée à $\lambda$, $a$, $b$ vérifie l'une des deux inégalités
 $$a<\ell<b \hbox{ ou } b<\ell<2$$
 (On pourra utiliser le théorème de Rolle).
\end{enumerate}
\paragraph{B --} Dans cette partie, on suppose que $a=b=2$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que si la suite $(u_n)$ associée à $\lambda$, $2$, $2$ converge,
sa limite est égale à $2$.
\item Montrer que, pour tout $\lambda\in\R$, la suite $(u_n)$ associée à
$\lambda$, $2$, $2$ est croissante.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ associée à $\lambda$, $2$, $2$ est convergente
lorsque $\lambda\in ]\frac23,2[$.
\item Montrer que la suite $(u_n)$ associée à $\lambda$, $2$, $2$ est divergente
lorsque $\lambda\not\in [\frac23,2]$.
\item Préciser les cas $\lambda=\frac23$ ou $\lambda=2$.
\end{enumerate}
\end{gbar}

On commence par introduire la fonction $h$ qui sert à définir la suite $(u_n)$.
.m block(h(x):=1/4*(3*x^2-2*(a+b)*x+a*b+2*(a+b)),h(x));

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
    \item Si la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ alors, sachant que l'on a 
    $u_{n+1}=h(u_n)$, que $h$ est une fonction continue en tout point de $\R$
     donc en $\ell$, nécessairement: $\ell=h(\ell)$.

.m ev(4*(h(x)-x)=0,expand);

    \item $f(x)$ est le membre de gauche de l'équation précédente.

.m block(f(x):=4*h(x)-4*x,f(x));

    On détermine $g$:

.m block(g(x):=integrate(f(t),t,2,x),g(x));

    On factorise l'expression obtenue.

.m factor(g(x));

    $g(x)$ admet trois zéros qui sont $a$, $b$ et $2$.

    \item Le théorème de Rolle s'applique à $g$ sur les deux segments $[a,b]$ et
    $[b,2]$, sa dérivée $f$ s'annule donc une fois à l'\emph{intérieur} de ces 
    deux segments et comme elle ne s'annule au plus que deux fois (polynôme 
    de degré 2), on a là ses deux zéros distincts, $\ell$ est l'un d'eux.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}
On particularise la fonction $f$ dans ce cas où $a=2$ et $b=2$.

.m block(a:2,b:2,f(x));
.m factor(f(x));

\begin{enumerate}
    
    \item Comme on le voit dans la factorisation précédente, l'équation 
    $f(x)=0$ ou $h(x)=x$ n'admet qu'une seule solution: $2$, ce qui permet 
    de justifier que lorsque la suite $(u_n)$ converge, elle converge 
    vers $2$.

    \item  Le signe de $h(x)-x$ étant toujours positif, on peut en déduire 
    que $(u_n)$ est croissante quelle que soit la valeur de $\lambda$.

    \item Une étude des variations de $h$ sur $\R$ montre que l'intervalle 
    $]\frac23,2[$ est \emph{stable} par $h$. Si $u_0=\lambda$ est dans cet 
    intervalle alors (récurrence) tous les termes de $(u_n)$ y seront, la suite 
    est donc bornée. Comme elle est croissante elle converge et sa limite est $2$.

    \item Toujours d'après l'étude des variations de $h$, on peut établir que si 
    $u_0=\lambda$ n'appartient pas à $[\frac23,2]$ alors tous les termes de la 
    suite $(u_n)$, à partir du rang $1$, sont strictement supérieurs à $2$. La 
    suite $(u_n)$ ne peut alors converger vers $2$, seule limite possible, 
    puisqu'elle est croissante. Dans ce cas elle diverge.

    \item Si $\lambda=\frac23$ ou $\lambda=2$, alors la suite est \emph{stationnaire} 
    à partir du rang $1$ et vaut $2$.

\end{enumerate}


Voici, pour finir, une représentation de la fonction $h$ permettant de mieux
visualiser les scénarios de la partie B.
\begin{center}\includegraphics[width=6cm]{etude02-fig.pdf}\end{center}