\Titre{Étude de fonction (2)}

\begin{gbar}
$f$ est la fonction définie pour tout réel $x$ par:
\[f(x)=\frac{x\ch x - \sh x}{\ch x -1 }\quad \hbox{si}\quad x\ne 0,\quad 
f(0) = \ell\]
où $\ell$ est un réel.
On note ${\cal C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère 
orthonormé.
\begin{enumerate}
   \item Déterminer le développement limité de $f$ à l'ordre $3$ au voisinage
   de $0$.  En déduire $\ell$ pour que $f$ soit continue en 0. Dans la suite, on
   donne à $\ell$ cette valeur.
   \item Montrer que $f$ est dérivable en 0 et préciser la position 
   de $\mathcal{C}$ par rapport à sa tangente au point d'abscisse $0$.
   \item  Montrer que $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$.
   \item Préciser la droite asymptote à $\mathcal{C}$  au voisinage de
   $+\infty$ et préciser la position de $\mathcal{C}$ par rapport à cette
   asymptote.  Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{gbar}

.m block(f(x):=(x*cosh(x)-sinh(x))/(cosh(x)-1),f(x));

\begin{enumerate}

    \item Un rapide calcul nous indique que le numérateur et
    le dénominateur de l'expression $f(x)$ sont d'ordre $3$ et $2$ en $x$ au
    voisinage de $0$. Pour obtenir un développement limité à l'ordre $3$
    en $0$ de $f(x)$ il faut donc anticiper la simplification par $x^2$
    et développer le numérateur et le dénominateur à l'ordre $5$. Enfin,
    si on devait le faire à la main...

.m taylor(f(x),x,0,3);
    
    La limite de $f(x)$ est donc $0$, il suffit de poser $\ell=0$ pour
    que $f$ soit continue en $0$.

.m c:limit(f(x)/x,x,0);

    \item $f$ est dérivable en $0$ (ce que l'on pouvait déduire du développement
    précédent) et $f'(0)=\frac23$.

.m taylor(f(x)-c*x,x,0,3);

    La différence $f(x)-\frac23x$ est équivalente à $\frac1{90}x^3$ au
    voisinage de $0$, la courbe représentative de $f$ traverse donc sa
    tangente à l'origine, elle passe de dessous au dessus (point d'\emph{inflexion}).
    
.m fp:diff(f(x),x);

    \item Le signe de la dérivée n'est pas simple à déterminer sous cette
    forme, on factorise!
    
.m factor(fp);

    Là, les choses sont plus nettes. La quantité dont le signe n'est pas
    \emph{immédiat} est $\sh(x)-x$, on a toutefois vite fait de se convaincre
    qu'elle est positive sur $\R_+$, en s'appuyant sur le signe de sa dérivée
    qui est manifestement positive. La fonction $f$ est croissante sur $[0,+\infty[$.

.m a:limit(f(x)/x,x,inf);
.m b:limit(f(x)-a*x,x,inf);

    \item Les deux calculs précédents prouvent l'existence d'une droite asymptote
    à $\mathcal{C}$, son équation est $y=x-1$.

.m block(g(x):=f(x)-a*x-b,g(x));

    L'étude de la position de la courbe par rapport à son asymptote au voisinage
    de $+\infty$ peut être faite en recherchant un équivalent de $g(x)=f(x)-x+1$.
    On commence par utiliser les écritures, à l'aide d'exponentielles, de $\ch$ et $\sh$.

.m exponentialize:true$
.m A:factor(g(x));

    La factorisation de $g(x)$ \emph{prépare} le développement à suivre.

.m taylor(A,x,inf,1);

    Un équivalent de $g(x)$ au voisinage de $+\infty$ est $2xe^{-x}$
    qui est positif. La courbe $\mathcal{C}$ est donc au dessus de son asymptote
    vers $+\infty$.

    
\end{enumerate}

\begin{center}\includegraphics{etude03.1}\end{center}