\Titre{Droite d'\textsc{Euler} et cercle circonscrit}

Le fichier \texttt{geo2d.mac} chargé ci-dessous contient quelques macros
permettant de faire des calculs en géométrie euclidienne plane. Le source
est en fin de document. 
.m load("geo2d.mc")$

L'utilisation, ici, se rapporte à la résolution d'un petit exercice autour
de la droite d'\textsc{Euler} et du cercle circonscrit.

\begin{gbar}\small
Dans le plan $\mathcal{P}$, muni d'un repère orthonormé
$(\Omega,\vec{\imath},\vec{\jmath})$, construire les points
$A(-3,1)$, $B(1,5)$, $C(3,-3)$.
\begin{enumerate}
\item Écrire une équation de chacune des trois hauteurs du triangle
  $ABC$. Justifier que ces trois hauteurs sont concourantes en un point $H$
  dont on précisera les coordonnées.
\item Soit $\Delta_1$, $\Delta_2$, $\Delta_3$ les médiatrices respectives
  de $[BC]$, $[CA]$, $[AB]$. Écrire une équation de chacune de ces médiatrices.
  Retrouver par le calcul que ces trois médiatrices sont concourantes en un
  point $O$ dont on précisera les coordonnées.
\item Déterminer les coordonnées de l'isobarycentre $G$ de $ABC$.
\item Démontrer la relation:
  $$\vect{OH}=3\vect{OG}$$
  En déduire l'alignement des points $O$, $G$, $H$.
\item Écrire une équation du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle
  $ABC$.
\item Soit $H_3$, $H_2$ et $H_1$ les symétriques de l'orthocentre $H$ par
  rapport aux droites respectives $(AB)$, $(CA)$, $(BC)$. Soit $K_3$, $K_2$,
  $K_1$ les symétriques de l'orthocentre $H$ par rapport aux milieux respectifs
  de $[AB$], $[CA]$, $[BC]$.
  
  Déterminer les coordonnées des six points $H_1$, $H_2$, $H_3$, $K_1$, $K_2$,
  $K_3$. Vérifier que ces six points appartiennent au cercle circonscrit
  au triangle $ABC$.
\end{enumerate}
\end{gbar}

Nous définissons les points, il s'agit de listes de $2$ réels.
.m [A:[-3,1],B:[1,5],C:[3,-3]];

Nous déterminons les équations des trois hauteurs du triangle.
.m h:[hauteur(A,B,C),hauteur(B,C,A),hauteur(C,A,B)];

Nous définissons $H$ comme étant l'intersection des deux premières hauteurs
et nous vérifions qu'il appartient à la troisième.
.m H:interdroite(h[1],h[2]);
.m H sur h[3];

Nous déterminons une équation des trois médiatrices du triangle $ABC$.
.m m:[mediatrice(A,B),mediatrice(B,C),mediatrice(C,A)];

Nous définissons $O$ comme étant l'intersection des deux premières
médiatrices et nous vérifions qu'il appartient à la troisième.
.m O:interdroite(m[1],m[2]);
.m O sur m[3];

Voici le centre de gravité du triangle $ABC$, on l'obtient à l'aide d'une banale
\emph{combinaison linéaire} de listes.
.m G:1/3*(A+B+C);

Après le calcul des vecteurs $\vect{OH}$ et $\vect{OG}$, vient le calcul
du vecteur $\vect{OH}-3\vect{OG}$ pour vérifier qu'il est bien nul.

.m (OH:H-O,OG:G-O,OH-3*OG);

Nous déterminons une équation cartésienne du cercle de centre $O$ et
passant par $A$, c'est à dire le cercle circonscrit au triangle $ABC$.
.m c:eqc([O,A]);

Voici les symétriques de $H$ par rapport aux côtés du triangle et la
vérification qu'ils appartiennent au cercle.
.m sd:[symd(H,[A,B]),symd(H,[C,A]),symd(H,[B,C])];
.m map(lambda([t],t sur c),sd);

Même chose avec les symétriques de $H$ par rapport aux milieux des côtés
du triangle.
.m sp:[symp(H,milieu(A,B)),symp(H,milieu(C,A)),symp(H,milieu(B,C))];
.m map(lambda([t],t sur c),sp);

\definecolor{gris}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
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\lstinputlisting[language=maxima]{geo2d.mc}