\Titre{Intégration par parties}

L'\emph{intégration par parties} est une technique bien utile pour
calculer des primitives. \textsc{maxima} ne propose pas de procédure
spécifique pour  l'invoquer, il est bien sûr possible de la mettre en
scène en créant une macro adaptée.

\definecolor{gris}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
\lstset{xleftmargin=5mm,frame=shadowbox,rulesepcolor=\color{gris}}
\begin{lstlisting}[language=maxima]
ipp(u,v,x) := block([U],
        U:integrate(u,x),
        'integrate(u*v,x) = U*v -'integrate(U*diff(v,x),x))$
\end{lstlisting}

La commande \lstinline[language=maxima]!integrate(expression,variable)! 
permet de calculer une primitive de l'\emph{expression} selon la \emph{variable}. 
Lorqu'elle est précédée d'une apostrophe \verb|'| elle est rendue inerte 
dans le sens où elle n'est pas évaluée à priori, cela permet de disposer 
de son affichage en tant qu'intégrale.

.m load("ipp.mc")$
.m load("integration.mc")$
.m primitive(asin(x)^2,x);
.m Ipp(1,asin(x)^2,x);
.m Ipp(x/sqrt(1-x^2),asin(x),x);

L'intégrale qui aurait dû apparaître dans le second membre n'est pas
au rendez-vous! C'est normal la variable ne figure plus dans l'intégrande 
(il vaut $1$), l'\emph{expression} sur laquelle porte l'intégration est constante
vis à vis de la variable d'intégration, le calcul est \emph{effectif}. De
la même façon \textsc{maxima} effectuera la factorisation par une constante
(si cette constante factorise l'intégrande) dans la forme inerte de l'intégrale.

.m Ipp(1,log(t)^2,t);
.m Ipp(1,log(t),t);