\Titre{Polynomes et matrices (exercice)}
\everymath{}

\begin{gbar}
On considère les matrices réelles
$$A=\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}\quad\hbox{et}\quad
I=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$
Pour tout polynôme réel $P=a_nX^n+..+a_1X+a_0$ on pose
$P(A)=a_nA^n+...+a_1A+a_0I$.
\begin{enumerate}
 \item Soit $P=X^3+X^2-X-1$.
 \begin{enumerate}
  \item Factoriser $P$ dans $\R[X]$.
  \item Vérifier que $P(A)=0$, en déduire deux diviseurs de zéro dans
  l'anneau $\mathcal{M}_3(\R)$ des matrices $3\times 3$ à coefficients
  réels.
 \end{enumerate}
 \item On pose
 $$Q=\frac14(X^2+2X+1)\hbox{ et } R=-\frac14(X^2+2X-3)
 \hbox{ et } S=-\frac14(X^3+3X^2-X-3)$$
 $$B=Q(A),\quad C=R(A),\quad D=S(A)$$
 \begin{enumerate}
  \item Calculer les matrices $B$, $C$ et $D$.
  \item Calculer $B-C+D$.
  \item Calculer les produits
    $B^2,\, C^2,\, D^2,\, BC,\, CB,\, BD,\, DB,\, CD,\, DC$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{gbar}


Les calculs qui suivent répondent aux questions posées ou viennent appuyer
les démonstrations.

.m load("polymat.mc")$
\definecolor{gris}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
\lstset{xleftmargin=5mm,frame=shadowbox,rulesepcolor=\color{gris}}
\lstinputlisting{polymat.mc}
.m A:matrix([0,0,1],[1,0,1],[0,1,-1]);
.m P:X^3+X^2-X-1$
.m P1:factor(P);
.m polymat(P,A);
.m block(A1:polymat(part(P1,1),A),A2:polymat(part(P1,2),A),[A1,A2]);
.m A1 . A2;
.m Q:1/4*(X^2+2*X+1)$
.m B:polymat(Q,A);
.m R:-1/4*(X^2+2*X-3)$
.m C:polymat(R,A);
.m S:-1/4*(X^3+3*X^2-X-3)$
.m D:polymat(S,A);
.m B-C+D;
.m B^^2;
.m C^^2;
.m D^^2;
.m B . C;
.m C . D;
.m D . B;