\Titre{Détermination d'un polynôme $P$ tel que $P(\ch\theta)=\ch(12\theta)$}

\section*{Première méthode}

Nous pouvons \emph{anticiper} les calculs à partir de l'égalité
$$\ch(12\theta)=\frac{(\ch\theta+\sh\theta)^{12}+(\ch\theta-\sh\theta)^{12}}2$$
Dans la somme qui est au numérateur les termes comportant une puissance
impaire de $\sh\theta$ disparaîtront et l'on pourra substituer
$\ch^2\theta -1$ à $\sh^2\theta$ dans ce qui reste. Cela aura pour
effet de faire complètement disparaître $\sh\theta$ et de laisser la
place au polynôme que l'on recherche.

Pour la commodité des écritures nous allons poser $X=\ch\theta$ et $Y=\sh\theta$.

.m P:1/2*((X+Y)^12+(X-Y)^12);

Développons:

.m P:expand(P);

Substituons $X^2-1$ à $Y^2$:

.m P:ratsubst(X^2-1,Y^2,P);

Nous avons le polynôme recherché.

\section*{Deuxième méthode}

Sans passer par la formule du binôme à l'ordre 12 qui a été implicitement utilisée dans la
méthode précédente, nous pouvons \emph{composer} des polynômes, en remarquant:
\begin{eqnarray*}
    \ch2\theta&=& 2\ch^2\theta -1\\
    \ch3\theta&=& 4\ch^3\theta -3\ch\theta\\
    \ch12\theta&=&\ch 3(2(2\theta))
\end{eqnarray*}
Ainsi si $P_2=2X^2-1$ et $P_3=4X^2-3X$ alors $P=P_{12}=P_3(P_2(P_2(X)))$.
.m P_2(X):=2*X^2-1;
.m P_3(X):=4*X^3-3*X;
.m P:P_3(P_2(P_2(X)));
Développons:
.m expand(P);

Si l'on devait effectuer les calculs \emph{à la main}, cette méthode
serait, peut-être, la plus rapide.

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D'après \emph{exercice 2} -- P.O.X., Ellipses, 1988
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