
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage{pst-map3d,url,french}
\title{Projections géographiques perspectives}
\author{A.\textsc{Germain}\\
mise en images par \\
M.\textsc{Luque}}
\DeclareSymbolFont{grecquesdroites}{U}{eur}{m}{n}
\DeclareMathSymbol{\ALPHA}{\mathord}{grecquesdroites}{11}
\DeclareMathSymbol{\BETA}{\mathord}{grecquesdroites}{12}
\DeclareMathSymbol{\GAMMA}{\mathord}{grecquesdroites}{13}
\DeclareMathSymbol{\DELTA}{\mathord}{grecquesdroites}{14}
\DeclareMathSymbol{\EPSILON}{\mathord}{grecquesdroites}{15}
\DeclareMathSymbol{\THETA}{\mathord}{grecquesdroites}{18}
\DeclareMathSymbol{\RHO}{\mathord}{grecquesdroites}{26}
\DeclareMathSymbol{\PI}{\mathord}{grecquesdroites}{25}
\DeclareMathSymbol{\OMEGA}{\mathord}{grecquesdroites}{33}
\DeclareMathSymbol{\TAU}{\mathord}{grecquesdroites}{28}
\DeclareMathSymbol{\MU}{\mathord}{grecquesdroites}{22}
\DeclareMathSymbol{\PHI}{\mathord}{grecquesdroites}{39}
\DeclareMathSymbol{\VARPHI}{\mathord}{grecquesdroites}{"24}
\DeclareMathSymbol{\LAMBDA}{\mathord}{grecquesdroites}{"15}
\DeclareMathSymbol{\SIGMA}{\mathord}{grecquesdroites}{27}
%
\psset{maillageColor= 0 0 0}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
Ces quelques exemples sont extraits du livre d'A. \textsc{Germain} :
\textit{Traité des projections des cartes géographiques}, édité vers 1870
par Arthus \fsc{Bertrand} à Paris. Toutes les phrases et calculs sont
copiés de son livre, une note en marge indique la page où ils se trouvent.

Les schémas ont été réalisés avec le package \textsf{pst-map3d}.
\end{abstract}
Le grand cercle de la sphère pris pour plan du tableau pourra être considéré
comme l'horizon d'un lieu dont la latitude $\LAMBDA$ serait le complément de
son inclinaison sur l'équateur ou de la distance du pôle à l'extrémité du
diamètre passant par le point de vue.

\marginpar{page 112}

Appelons D est la distance donnée CV du centre de la sphère au
point de vue V, $a$ le rayon de la sphère, $\DELTA$ la distance angulaire
M$z$, $90^{\mathrm{o}}-\LAMBDA$ l'angle ZCP qui définit la position du
tableau, $90^{\mathrm{o}}-l$ la distance polaire du point considéré~M, $t$ sa
longitude ZPM, $\varphi$ l'angle au zénith, MZP.

\textit{Des calculs de trigonométrie sphérique permettent à A.
\textsc{Germain} d'aboutir aux relations suivantes :}

\begin{eqnarray}
  x=\frac{\mathrm{D}a(\sin\LAMBDA\cos l\cos t-\cos\LAMBDA\cos l)}
         {\mathrm{D}+a(\cos\LAMBDA\cos l\cos t+\sin\LAMBDA\sin l)}\\
  y=\frac{\mathrm{D}a\cos\LAMBDA\cos t}
         {\mathrm{D}+a(\cos\LAMBDA\cos l\cos t+\sin\LAMBDA\sin l)}
\end{eqnarray}
Telles sont les deux équations\marginpar{page 113} qui déterminent les coordonnées de la
projection d'un point de la sphère défini par sa latitude $l$ et sa
longitude $t$.
\section{Projection équatoriale ou polaire}
Si l'on suppose l'\oe{}il placé sur le prolongement de l'axe de la Terre, le plan de
projection coïncide avec l'équateur et la projection est dite \textit{équatoriale} ou
\textit{polaire}. Nous obtiendrons les valeurs de $x$ et de $y$ en faisant
$\LAMBDA=90^{\mathrm{o}}$ dans les formules (1) et (2) \marginpar{page 113}.
\[
x=\frac{\mathrm{D}a\cos l\cos t}{\mathrm{D}+a\sin l};\
y=\frac{\mathrm{D}a\cos l\sin t}{\mathrm{D}+a\sin l}
\]
\section{Projection méridienne}
Si l'on suppose l'\oe{}il placé dans le plan de l'équateur, le plan de
projection coïncide avec un méridien et la projection est dite
\textit{méridienne}. Nous obtenons alors les valeurs de $x$ et de $y$ en
faisant $\LAMBDA=0$ dans les formules (1) et (2)\marginpar{page 114}.
\[
x=\frac{\mathrm{D}a\sin l}{\mathrm{D}+a\cos l\cos t};\
y=\frac{\mathrm{D}a\cos l\sin t}{\mathrm{D}+a\cos l\cos t}
\]
\section{Projection centrale ou gnomonique}
Le point de vue et le centre de la sphère coïncident, le plan de projection
est reculé jusqu'à la surface de la sphère où il est tangent.
\section{Projection stéréographique}
Lorsque le point de vue est sur la surface de la sphère, la projection prend
le nom de \textit{stéréographique}, et jouit de cette propriété remarquable
que tout angle tracé sur la sphère conserve sa grandeur en projection, d'où
il résulte que tout cercle a pour projection un autre cercle. Ce système\marginpar{pages 123/124},
qui n'a reçu le nom de stéréographique qu'en 1643 du jésuite François
d'\textsc{Aguillon}, fut imaginé 130~ans avant J.-C. par le célèbre
\textsc{Hipparque}, qui lui donna le nom de \textit{planisphère}[\ldots]
\section{Projection orthographique}
Si le point de vue est supposé à une distance infinie, les rayons visuels
peuvent être regardés comme parallèles, la perspective devient une véritable
projection orthogonale et prend le nom d'\textit{orthographique}\marginpar{page 124} ; il en
résulte que tout cercle parallèle au plan de projection a pour représentant
un cercle égal. Imaginé comme le précédent par \fsc{Hipparque}, ce système
appelé primitivement \textit{analemme}, puis \textit{astrolabe de
Rojas}~(1551), est resté exclusivement renfermé dans le domaine de
l'astronomie jusqu'à l'atlas sphéroïdal de \textit{Laguillermie} publié en
1843[\ldots]

En voici les représentations polaire, méridienne et horizontale réalisées
avec le package \textsf{pst-map3d}, en prenant une distance
observateur-centre très grande : \verb+Dobs=1e10+
\subsection{Projection équatoriale ou polaire}
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-5.2,-5.2)(15.2,5.2)
\psset{Dobs=1e10,Decran=1e10}
\WorldMapThreeD[PHI=90,THETA=0]%
\rput(10,0){%
\WorldMapThreeD[PHI=-90,THETA=0]}%
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\begin{center}
\psset{xunit=0.6,yunit=0.6,runit=0.6,linewidth=0.5\pslinewidth}
\begin{pspicture}(-5.2,-5.2)(15.2,5.2)
\psset{Dobs=1e10,Decran=1e10}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](-5.2,-5.2)(15.2,5.2)
\WorldMapThreeD[PHI=90,THETA=0]%
\rput(10,0){%
\WorldMapThreeD[PHI=-90,THETA=0]}%
\end{pspicture}
\end{center}
\subsection{Projection méridienne}
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-5.2,-5.2)(15.2,5.2)
\psset{Dobs=1e10,Decran=1e10}
\WorldMapThreeD[PHI=0,THETA=0]%
\rput(10,0){%
\WorldMapThreeD[PHI=0,THETA=180]}%
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\begin{center}
\psset{xunit=0.6,yunit=0.6,runit=0.6,linewidth=0.5\pslinewidth}
\begin{pspicture}(-5.2,-5.2)(15.2,5.2)
\psset{Dobs=1e10,Decran=1e10}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](-5.2,-5.2)(15.2,5.2)
\WorldMapThreeD[PHI=0,THETA=0]%
\rput(10,0){%
\WorldMapThreeD[PHI=0,THETA=180]}%
\end{pspicture}
\end{center}
\subsection{Projection horizontale}
La projection sur l'horizon de Paris $\LAMBDA=48,85^{\mathrm{o}}$ et $\mathrm{L}=2,32^{\mathrm{o}}$,
donne :
\begin{verbatim}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psset{Dobs=1e10,Decran=1e10}
\WorldMapThreeD[PHI=48.85,THETA=2.32,capital=true]%
\end{pspicture}
\end{verbatim}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black](-5,-5)(5,5)
\psset{Dobs=1e10,Decran=1e10}
\WorldMapThreeD[PHI=48.85,THETA=2.32,capital=true]%
\end{pspicture}
\end{center}
\section{Téléchargement du fichier source}
\url{http://melusine.eu.org/syracuse/mluque/mappemonde/Exemples-projections.tex}
\end{document}
