Étude des oscillations électriques avec PSTricks

Étude des oscillations électriques
avec PSTricks

Manuel Luque

15 février 2003

Table des matières

1 Le problème
2 La définition de la commande
2.1 Tension aux bornes du condensateur sur la voie Y1
2.2 Tension aux bornes du condensateur sur la voie Y1 et tension aux bornes de r' sur la voie Y2
2.2.1 La voie Y2 n’est pas inversée
2.2.2 La voie Y2 est inversée
2.3 Mode XY : intensité en abscisse et tension en ordonnée
3 Additionner ou soustraire les voies
4 La possibilité de représenter en surimpression, la trace de la tension sinusoïdale de période T₀
5 La possibilité de dessiner l’enveloppe de la tension
6 Les paramètres
7 Décaler les deux voies pour faire des comparaisons
8 Modifier le design de l’oscilloscope, des courbes etc.
9 Représenter plusieurs courbes sur l’écran

CCCCHHHH1111 :::: 2222VVVV////ddddiiiivvvvPPPPSSSSTCTCTCTCrHrHrHrHi2i2i2i2cccck:k:k:k:ssss2222-V-V-V-VO/O/O/O/sdsdsdsdciciciciivivivivllllllllototototsisisisicmcmcmcmoeoeoeoep/p/p/p/edededediiiivvvv :::: 1111mmmmssss////ddddiiiivvvv

1 Le problème

Le commutateur¹ est sur le plot 1 le condensateur se charge, on bascule le commutateur sur le plot 2 pour le décharger. C’est un problème que j’ai déjà traité avec PSTricks², je le reprends aujourd’hui en le limitant au cas des oscillations libres, car c’est la partie essentielle des oscillations électriques du nouveau programme de physique de terminale S.

FIG. 1:

Montage pratique

Soit R = r + r' la résistance totale du circuit. On établira³ sans peine l’équation différentielle du circuit en fonction de la tension u aux bornes du condensateur.

¨u + 2cu + w20u = 0

Après avoir posé :

V~ --- R 1 L 2c = --, w20 = ----et RC = 2 -- L LC C

Je me propose d’écrire une commande en PSTricks simulant ce que l’on observerait sur l’écran d’un oscilloscope possédant deux voies Y ₁ et Y ₂ (et même plus, on verra par la suite), en incluant aussi la possibilité d’inverser, d’additionner et de soustraire les voies, ainsi que de passer en mode XY . La base de temps et les sensibilités verticales étant bien sûr paramétrables, par l’intermédiaire de cette commande.

Rappelons les trois régimes possibles suivant la valeur de la résistance totale R du circuit.

Régime pseudo-périodique : R < R_C. Les conditions initiales seront les suivantes : ${ u(0) = E du-(0) = 0 dt$ En posant = , les solutions sont : $( ) u(t) = Ee- ct cos_O_t + c-sin_O_t _O_$ $( 2) i(t) = C du-= - CEe -ct _O_ - c-- sin_O_t dt _O_$
Régime critique : R = R_C. $u(t) = Ee -ct(ct+ 1)$ $du i(t) = C---= - CEc2te -ct dt$
Régime apériodique : R > R_C. On pose : $V~ --2----2 r1 = - c+ V~ c-2--w02 { r2 = - c- c - w0 a = - -r2E--- r1- r2 b = --r1E--- r1 - r2$ $r1t r2t u(t) = ae + be$ $du- ( r1t r2t) i(t) = C dt = C ar1e + br2e$

Pour représenter l’image de l’intensité, on visualise la tension aux bornes de r', soit avec les conventions d’orientation :

u '= - r'i = -r'C du- r dt

Pour retrouver le “bon signe” on positionnera le paramètre invert2=true.

2 La définition de la commande

2.1 Tension aux bornes du condensateur sur la voie Y1

\psRLC[rv=10,enveloppe=true]

CH1 : 2V/dRivv=10CH_O_2 :L=20V./0d4ivH Ct=i1mee/-d6ivF: 1ms/div

\psRLC[rv=100]

CH1 : 2V/Rdvi=v100CH2_O_:L=20V./0d4iv HtCi=m1ee/d-i6vF: 1ms/div

\psRLC[rv=400]

CH1 : 2V/Rdvi=v400CH2_O_:L=20V./0d4iv HtCi=m1ee/d-i6vF: 1ms/div

2.2 Tension aux bornes du condensateur sur la voie Y1 et tension aux bornes de r' sur la voie Y2

2.2.1 La voie Y2 n’est pas inversée

Le paramètre i=true est passé en option générale si plusieurs figures doivent être dessinées avec les deux voies, ou bien rendu actif sur une seule commande, comme dans l’exemple qui suit. \psset{i=true} Comme sur l’exemple suivant.

\psRLC[rv=10,Y2=0.1,i=true]

CH1 : 2V/diRvv=1C0H2_O_: L0=.01.V0/4diHv C=t1ieme-/6diFv : 1ms/div

\psRLC[rv=100,Y2=0.5]

CH1 : 2V/dRivv=10C0H2 _O_: L0=.05.V0/4divH Ct=i1mee/-d6iFv : 1ms/div

\psRLC[rv=400]

CH1 : 2V/Rdvi=v400CH2_O_:L=20V./0d4iv HtCi=m1ee/d-i6vF: 1ms/div

2.2.2 La voie Y2 est inversée

Comme dans l’exemple précédent, les paramètres i=true,invertY2=true sont passés en option générale si plusieurs figures doivent être dessinées avec les deux voies, ou bien rendus actifs sur une seule commande, ainsi que le montre l’exemple suivant. \psset{i=true,invertY2=true}

\psRLC[rv=10,Y2=0.1,invertY2=true]

CH1 : 2V/diRvv=1C0H2_O_: L0=.01.V0/4diHv C=t1ieme-/6diFv : 1ms/div

\psRLC[rv=100,Y2=0.5,invertY2=true]

CH1 : 2V/dRivv=10C0H2 _O_: L0=.05.V0/4divH Ct=i1mee/-d6iFv : 1ms/div

\psRLC[rv=400]

CH1 : 2V/Rdvi=v400CH2_O_:L=20V./0d4iv HtCi=m1ee/d-i6vF: 1ms/div

2.3 Mode XY : intensité en abscisse et tension en ordonnée

\psRLC[rv=10,XY=true,Y2=0.1]

CH1 : 2V/diRvv=1C0H2_O_: L0=.01.V0/4diHv C=t1ieme-/6diFv : 1ms/div

3 Additionner ou soustraire les voies

Cette fonction exclue toutes les autres. Le résultat de l’addition ou de la soustraction est représenté sur la Y1. Pour soustraire Y ₁ - Y ₂, inverser la voie Y2 puis additionner. De même pour faire Y ₂ - Y ₁ inverser Y1. Le résultat sera exact si la sensibilité verticale est la même pour les deux voies.

\psRLC[rv=100,add=true,invertY2=true]

CH1 : 2V/Rdvi=v100CH2_O_:L=20V./0d4iv HtCi=m1ee/d-i6vF: 1ms/div

4 La possibilité de représenter en surimpression, la trace de la tension sinusoïdale de période T₀

\psRLC[rv=20,sinus=true]

CH1 : 2V/dRivv=20CH_O_2 :L=20V./0d4ivH Ct=i1mee/-d6ivF: 1ms/div

5 La possibilité de dessiner l’enveloppe de la tension

Cette possibilité a été illustrée au tout début. Elle n’a d’intérêt que pour les oscillations pseudo-périodiques. En voici un autre exemple.

\psRLC[rb=5,rv=5,enveloppe=true,L=0.1,balayage=5]

CH1 : 2V/diRvv=5CH_O_2 :L=20V./1diHv C=t1ieme-/6diFv : 5ms/div

6 Les paramètres

Paramètres

par défaut

particularités

tension initiale en V

résistance de la bobine en _O_

résistance additionnelle variable en _O_

0,040

inductance de la bobine en H

1e-6 (1.10^-6)

capacité du condensateur en F

balayage

en ms/div

sensibilité verticale de la voie 1 en V/div

sensibilité verticale de la voie 2 en V/div

offsetY1

décalage vertical de Y1 en div

offsetY2

décalage vertical de Y2 en div

invertY1

false

pour inverser la voie Y1 (true)

invertY2

false

pour inverser la voie Y2 (true)

false

mode XY : Y2 en abscisse et Y1 en ordonnée

false

tension aux bornes de r' sur la voie Y2

add

true

additionne les voies, met le résultat sur Y1

sinus

false

avec true, met la sinusoïde en surimpression

enveloppe

false

avec true,

dessine l’enveloppe des oscillations amorties

7 Décaler les deux voies pour faire des comparaisons

  {\psset{i=true,datas=false}
  \psRLC[E=10,Y2=1,Y1=5,invertY2=true,offsetY1=2,offsetY2=-2]
  }

CH1 : 5V/divPSTCrHi2ck:s1-VO/sdciivllotsicmoep/ediv : 1ms/div

8 Modifier le design de l’oscilloscope, des courbes etc.

La couleur de fond de l’écran, la couleur et l’épaisseur du trait des oscillogrammes de chaque voie, la transparence de l’enveloppe sont définis par un style. Dans le fichier source, au début du fichier on a : \newpsstyle{colorVert}{plotpoints=10000,linecolor=Vert} \newpsstyle{colorBlue}{plotpoints=10000,linecolor=blue} \newpsstyle{colorRed}{plotpoints=10000,linecolor=red} \newpsstyle{colorscreen}{fillstyle=solid,fillcolor=MonGris} \newpsstyle{enveloppeJaune}{fillstyle=vlines,hatchcolor=yellow,% hatchsep=1\pslinewidth,hatchangle=0,hatchwidth=0.1\pslinewidth} \newpsstyle{colorcadre}{linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=blue,framearc=0.05} Ils définissent dans l’ordre :

le nombre de points calculés, la couleur du tracé de :
- voie Y1 ;
- voie Y2 ;
- mode XY.
la couleur de fond de l’écran ;
le style de l’enveloppe.

Ces paramètres sont modifiables en créant son propre style, par exemple : \newpsstyle{MonStyleY1}{plotpoints=1000,linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1mm}

\psRLC[styleY1=MonStyleY1,L=0.1,datas=false]

CH1 : 2V/divPSTCrHi2ck:s2-VO/sdciivllotsicmoep/ediv : 1ms/div


style	par défaut	particularités

styleY1	colorVert	tracé de Y1

styleY2	colorBlue	tracé de Y2

styleXY	colorRed	tracé en mode XY

stylescreen	colorscreen	couleur du fond de l’écran

styleenveloppe	enveloppeJaune	couleur de l’enveloppe

stylecadre	colorcadre	style du cadre

9 Représenter plusieurs courbes sur l’écran

Il faut d’abord positionner l’option datas=false, puis placer tous les écrans au même endroit et définir un style différent pour chaque voie. \newpsstyle{MonStyleY11}{plotpoints=1000,linecolor=red} \newpsstyle{MonStyleY12}{plotpoints=1000,linecolor=blue} \newpsstyle{MonStyleY13}{plotpoints=1000,linecolor=green} \newpsstyle{couleurVide}{fillstyle=none}

  \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
  \psset{datas=false}
  \rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY11,rv=10,sinus=true]}
  \rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY12,rv=50,%
          stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
  \rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY13,rv=200,%
          stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
  \rput(0,0){\psRLC[styleY1=MonStyleY14,rv=800,%
          stylescreen=couleurVide,stylecadre=couleurVide]}
  \end{pspicture}

Les sources : pstricks-oscillo.zip