\let\frac\dfrac

\Titre{Développements limités}

\large

Il est possible d'utiliser \textbf{PARI/GP} pour calculer des
\emph{développements limités}, voire des \emph{développements
généralisés} au voisinage de \(0\). Le programme se comporte
différemment suivant que l'expression est rationnelle ou pas.

L'ordre du développement est par défaut égal à \(16\). Il peut être
modifié en utilisant le raccourci \verb|\ps n| où \verb|n| est l'ordre
du développement que l'on souhaite utiliser.

%@Commande-1
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| \ps 11|}

\verb|   seriesprecision = 11 significant terms|


Commençons avec un polynôme.

%@Commande-2
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| (1-2*x+3*x^2)^3|}

{\magenta\%1 = $\blue 27\*x^6
 - 54\*x^5
 + 63\*x^4
 - 44\*x^3
 + 21\*x^2
 - 6\*x
 + 1$}

Le polynôme est écrit suivant les \emph{puissances décroissantes}, cela
ne correspond pas à l'écriture habituelle des développements limités.

%@Commande-3
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| taylor((1-2*x+3*x^2)^3,x)|}

{\magenta\%2 = $\blue 1
 - 6\*x
 + 21\*x^2
 - 44\*x^3
 + 63\*x^4
 - 54\*x^5
 + 27\*x^6+ O(x^{11})$}

C'est maintenant rangé dans le bon ordre et le \emph{grand O}
caractéristique apparaît, bien qu'il soit nul dans le cas présent.

%@Commande-4
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| 1/(1+x)|}

{\magenta\%3 = $\blue \frac{1}{x
 + 1}$}

C'est bien une fraction rationnelle...

%@Commande-5
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| taylor(1/(1+x),x)|}

{\magenta\%4 = $\blue 1
 - x
 + x^2
 - x^3
 + x^4
 - x^5
 + x^6
 - x^7
 + x^8
 - x^9
 + x^{10}+ O(x^{11})$}

Son développement limité est bien connu....

%@Commande-6
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| sin(x)|}

{\magenta\%5 = $\blue x
 - \frac{1}{6}\*x^3
 + \frac{1}{120}\*x^5
 - \frac{1}{5040}\*x^7
 + \frac{1}{362880}\*x^9
 - \frac{1}{39916800}\*x^{11}+ O(x^{12})$}

Pour une fonction non rationnelle (\emph{transcendante}), il n'est pas
nécessaire d'invoquer \verb|taylor| pour obtenir le développement, ce
qui nous en dit beaucoup sur la représentation interne des fonctions par
\textbf{PARI/GP}.

%@Commande-7
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| tan(x)|}

{\magenta\%6 = $\blue x
 + \frac{1}{3}\*x^3
 + \frac{2}{15}\*x^5
 + \frac{17}{315}\*x^7
 + \frac{62}{2835}\*x^9
 + \frac{1382}{155925}\*x^{11}+ O(x^{12})$}

%@Commande-8
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| \ps 7|}

\verb|   seriesprecision = 7 significant terms|


%@Commande-9
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| sqrt(1+x)|}

{\magenta\%7 = $\blue 1
 + \frac{1}{2}\*x
 - \frac{1}{8}\*x^2
 + \frac{1}{16}\*x^3
 - \frac{5}{128}\*x^4
 + \frac{7}{256}\*x^5
 - \frac{21}{1024}\*x^6+ O(x^7)$}

%@Commande-10
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| sqrtn(1+x,3)|}

{\magenta\%8 = $\blue 1
 + \frac{1}{3}\*x
 - \frac{1}{9}\*x^2
 + \frac{5}{81}\*x^3
 - \frac{10}{243}\*x^4
 + \frac{22}{729}\*x^5
 - \frac{154}{6561}\*x^6+ O(x^7)$}

\texttt{sqrtn(x,n)} est la racine \(n\)-ième de \(x\), \textit{i.e.}
\(\sqrt[n]{x}\).

\newpage

%@Commande-11
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| 1/(exp(x)-1)|}

{\magenta\%9 = $\blue x^{-1}
 - \frac{1}{2}
 + \frac{1}{12}\*x
 - \frac{1}{720}\*x^3
 + \frac{1}{30240}\*x^5+ O(x^6)$}

\textbf{PARI/GP} donne donc des développements généralisés en \(0\),
notons au passage la disparition d'un ordre dans le calcul précédent.

%@Commande-12
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| 1/(cos(x)-1)|}

{\magenta\%10 = $\blue -2\*x^{-2}
 - \frac{1}{6}
 - \frac{1}{120}\*x^2
 - \frac{1}{3024}\*x^4+ O(x^5)$}

%@Commande-13
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| 1/sin(x)-1/sinh(x)|}

{\magenta\%11 = $\blue \frac{1}{3}\*x
 + \frac{31}{7560}\*x^5+ O(x^6)$}

%@Commande-14
{\gris\textbf{\itshape gp]} \verb| log(sin(x))|}

\verb|  *** log: log is not meromorphic at 0.|


Il y a bien sûr des limites à tout cela...


