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\Titre{Développements limités}

\large

Il est possible d'utiliser \textbf{PARI/GP} pour calculer des
\emph{développements limités}, voire des \emph{développements
généralisés} au voisinage de \(0\). Le programme se comporte
différemment suivant que l'expression est rationnelle ou pas.

L'ordre du développement est par défaut égal à \(16\). Il peut être
modifié en utilisant le raccourci \verb|\ps n| où \verb|n| est l'ordre
du développement que l'on souhaite utiliser.

.p \ps 11

Commençons avec un polynôme.

.p (1-2*x+3*x^2)^3

Le polynôme est écrit suivant les \emph{puissances décroissantes}, cela
ne correspond pas à l'écriture habituelle des développements limités.

.p taylor((1-2*x+3*x^2)^3,x)

C'est maintenant rangé dans le bon ordre et le \emph{grand O}
caractéristique apparaît, bien qu'il soit nul dans le cas présent.

.p 1/(1+x)

C'est bien une fraction rationnelle...

.p taylor(1/(1+x),x)

Son développement limité est bien connu....

.p sin(x)

Pour une fonction non rationnelle (\emph{transcendante}), il n'est pas
nécessaire d'invoquer \verb|taylor| pour obtenir le développement, ce
qui nous en dit beaucoup sur la représentation interne des fonctions par
\textbf{PARI/GP}.

.p tan(x)

.p \ps 7

.p sqrt(1+x)

.p sqrtn(1+x,3)

\texttt{sqrtn(x,n)} est la racine \(n\)-ième de \(x\), \textit{i.e.}
\(\sqrt[n]{x}\).

\newpage

.p 1/(exp(x)-1)

\textbf{PARI/GP} donne donc des développements généralisés en \(0\),
notons au passage la disparition d'un ordre dans le calcul précédent.

.p 1/(cos(x)-1)

.p 1/sin(x)-1/sinh(x)

.p log(sin(x))

Il y a bien sûr des limites à tout cela...