%TITRE{Clermont 1998}
%VTEX{\entete}

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%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1
FICHIER:clermont1998num1.tex:
Ecrire sous la forme d'une fraction, la plus simple possible,
chacun des nombres suivants :
$$A=1-\frac{5}{4}\times\frac{2}{15}\kern1cm
B=6-4\left(\frac{1}{4}-1\right)^2$$
§

M:texel: fichier="clermont1998num1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:2
FICHIER:clermont1998num2.tex:
Calculer le nombre suivant et donner le résultat sous la forme
$a\times10^n$, $a$ et $n$ étant des nombres entiers relatifs :
$$C=\frac{7\times10^{-12}\times4\times10^5}{2\times10^{-4}}$$
\par Donner ensuite l'écriture décimale de $C$.
§

M:texel: fichier="clermont1998num2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:3
FICHIER:clermont1998num3.tex:
On considère l'expression $D=(2x+3)^2-(x-4)^2$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $D$.
\item Ecrire $D$ sous la forme d'un produit de deux facteurs.
\item Calculer $D$ pour $x=\sqrt3$. (On donnera la valeur exacte du
résultat sous la forme $a+b\sqrt3$, avec $a$ et $b$ entiers.)
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="clermont1998num3" patron="base1"

%SS{Exercice 4}
TAG:4
FICHIER:clermont1998num4.tex:
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$3x+2y=27$\\
$2x+3y=25,5$\\
\end{tabular}
\right.
$$
\item Pierre vient de commander 3 pains au chocolat et 2 croissants à
 la boulangerie.  Pour cet achat, il a payé 27 francs. Soudain il se
 ravise et dit au boulanger :
\begin{itemize}
\item Excusez-moi, je me suis trompé, c'était le
contraire. Pouvez-vous me donner un pain au chocolat de moins et un
croissant de plus ?
\item Bien sûr, répond le boulanger.
\end{itemize}
\par Il fait l'échange et rend 1,50 franc à Pierre.
\par Trouver, en justifiant la réponse, le prix d'un pain au chocolat et
celui d'un croissant.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="clermont1998num4" patron="base1"

%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:5
FICHIER:clermont1998.1:*:
FICHIER:clermont1998geo1.tex:
Reproduire la figure ci-après sur laquelle on a mis en place un
triangle $BDS$ ainsi que le milieu $I$ du segment $[SD]$. Les
constructions demandées dans cet exercice seront faites sur cette
figure.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Construire le point $H$, symétrique du point $B$ par rapport à
$I$.
\item Démontrer que $\vecteur{\strut HD}=\vecteur{\strut SB}$.
\end{enumerate}
\item Construire le point $R$, image du point $D$ dans la translation
de vecteur $\vecteur{\strut SB}$.
\item Démontrer que le point $D$ est le milieu du segment $[HR]$.
\end{enumerate}
$$\includegraphics{clermont1998.1}$$
§

M:texel: fichier="clermont1998geo1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:6
FICHIER:clermont1998geo2.tex:
{\em L'unité de longueur est le centimètre.}
\begin{enumerate}
\item Tracer un segment $[EF]$ tel que $EF=10$, puis un demi-cercle de
 diamètre $[EF]$.  Sur ce demi-cercle, placer le point $G$ tel que
 $EG=9$. Sur le segment $[EF]$, placer le point $M$ tel que
 $EM=8$. Par $M$, tracer la droite $(d)$ perpendiculaire à la droite
 $(EG)$, les droites $(d)$ et $(EG)$ se coupent en $P$.
\item Démontrer que les droites $(FG)$ et $(EG)$ sont perpendiculaires.
\item Démontrer que les droites $(FG)$ et $(MP)$ sont parallèles.
\item Calculer la longueur $EP$
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="clermont1998geo2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:7
FICHIER:clermont1998.2:*:
FICHIER:clermont1998geo3.tex:
{\em L'unité de longueur est le centimètre.}
\par\compo{2}{clermont1998}{1}{La figure ci-contre représente un cône
de révolution de sommet $S$ et de hauteur $[SH]$. On sait que la
longueur de la génératrice de ce cône est $SA=6$ et que l'angle
$\widehat{HSA}$ a pour mesure $60$°.}
\begin{enumerate}
\item On rappelle que $\sin 60=\dfrac{\sqrt3}{2},\,\cos
60=\dfrac{1}{2}$ et $\tan60=\sqrt3$.\par Calculer les valeurs exactes
de la hauteur $HS$ de ce cône et du rayon $HA$ de son disque de base.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume du cône sous la forme $k\times\pi$, $k$ étant
un nombre entier.
\item Donner ensuite la valeur de ce volume arrondie au $cm^3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="clermont1998geo3" patron="base1"

%S{Problème}
TAG:8
FICHIER:clermont1998.3:*:
FICHIER:clermont1998pb.tex:
\par\compo{3}{clermont1998}{1}{L'unité de longueur est le centimètre
et l'unité d'aire est le $cm^2$.\par Sur la figure ci-dessous, $AFET$
est un rectangle et $ETC$ un triangle rectangle en $T$.\par On donne
les longueurs $TC=5$; $ET=6$ et $EF=3$.\par Le point $M$ peut se
déplacer sur le segment $[TE]$, et la longueur $TM$ est désignée par
$x$.}
\paragraph{Première partie}
Dans cette partie, on choisit $x=2$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de la longueur $CM$, puis sa valeur
arrondie au dixième.
\item Calculer la valeur exacte de la tangente de l'angle
$\widehat{TCM}$ et en déduire la mesure de l'angle $\widehat{TOM}$
arrondie au degré.
\item Calculer l'aire ${\cal A}_1$ du triangle $TCM$ et l'aire ${\cal
A}_2$ du triangle $MEF$.
\end{enumerate}
\paragraph{Deuxième partie} Dans cette partie, le point $M$ peut se
déplacer librement sur le segment $[TE]$.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les valeurs possibles de $x$?
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire ${\cal A}_1$ du triangle
$TCM$.
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer la longueur $ME$ en fonction de $x$.
\item Exprimer en fonction de $x$ l'aire ${\cal A}_2$ du triangle
$MEF$ et l'écrire sous la forme $ax+b$, $a$ et $b$ étant deux nombres
que l'on déterminera.
\end{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ l'aire ${\cal A}_2$ est-elle
strictement supérieure à l'aire ${\cal A}_1$ ?
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="clermont1998pb" patron="base1"

FICHIER:clermont1998pbbis.tex:
\paragraph{Troisième partie}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Tracer la droite $(d_1)$ d'équation $y=\dfrac{5}{2}x$.
\item Tracer la droite $(d_2)$ d'équation $y=-\dfrac{3}{2}x+9$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection
$S$ des droites $(d_1)$ et $(d_2)$.
\item En déduire, sans nouveau calcul, pour quelle valeur de $x$ les
triangles $TCM$ et $MEF$ de la deuxième partie ont la même
aire. Quelle est alors la valeur commune de cette aire ?
\end{enumerate}
\item Utiliser le graphique pour déterminer avec la meilleure
précision possible les valeurs de $x$ pour lesquelles l'aire ${\cal
A}_2$ du triangle $MEF$ est supérieure ou égale à 3 (faire apparaître
les tracés ayant permis de répondre).
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="clermont1998pbbis" patron="base1"

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