%TITRE{Groupement 2 2001} %VTEX{\entete} %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %S{Partie numérique} %SS{Exercice 1} TAG:1 FICHIER:gpe22001num1.tex: \begin{enumerate} \item Ecrire sous la forme la plus simple possible $A=\dfrac{7}{3}-\dfrac{4}{3}\div\dfrac{2}{5}$. \item Donner l'écriture décimale de $$B=-4^2+10^3\times10^{-1}+(-3)^2$$ \item Ecrire sous la forme $a\sqrt3$ où $a$ est un nombre entier : $$C=2\sqrt{27}-4\sqrt3+\sqrt{12}$$ \end{enumerate} § M:texel: fichier="gpe22001num1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:2 FICHIER:gpe22001num2.tex: Soit $A=(7x-3)^2-9$. \begin{enumerate} \item Développer et réduire $A$. \item Factoriser $A$. \item Résoudre l'équation $7x(7x-6)=0$. \end{enumerate} § M:texel: fichier="gpe22001num2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:3 FICHIER:gpe22001num3.tex: \begin{enumerate} \item Déterminer le pgcd des nombres 108 et 135. \item Marc a 108 billes rouges et 135 billes noires. \par Il veut faire des paquets de sorte que : \begin{itemize} \item tous les paquets contiennent le même nombre de billes rouges, \item tous les paquets contiennent le même nombre de billes noires, \item toutes les billes rouges et toutes les billes noires soient utilisées. \end{itemize} \begin{enumerate} \item Quel nombre maximal de paquets pourra-t-il réaliser ? \item Combien y aura-t-il alors de billes rouges et de billes noires dans chaque paquet ? \end{enumerate} \end{enumerate} § M:texel: fichier="gpe22001num3" patron="base1" %S{Partie géométrique} %SS{Exercice 1} TAG:4 FICHIER:gpe22001geo1.tex: Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O;I;J)$. L'unité de longueur est le centimètre. \begin{enumerate} \item Placer les points $A(2;1)$, $B(5;5)$ et $C(6;2)$. \item Donner les coordonnées du vecteur $\vecteur{\strut AB}$. \item Calculer la distance $AB$. \item Placer le point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme. \item Donner sans justifier les coordonnées du point $D$. \item Calculer les coordonnées du centre de symétrie $W$ du parallélogramme $ABCD$. \end{enumerate} § M:texel: fichier="gpe22001geo1" patron="base1" %SS{Exercice 2} TAG:5 FICHIER:gpe22001.1:*: FICHIER:gpe22001geo2.tex: Sur le dessin ci-dessous, la sphère a pour centre $O$.\par Un plan coupe cette sphère selon un cercle $({\cal C})$ de centre $H$ et de rayon $4,5\,cm$ ($HA=4,5\,cm$). \begin{enumerate} \item Sachant que $HO=2,2\,cm$, dessiner le triangle $OHA$ en vraie grandeur. \item Calculer la longueur $OA$ à $1\,mm$ près. \end{enumerate} $$\includegraphics{gpe22001.1}$$ {\em Sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées.} § M:texel: fichier="gpe22001geo2" patron="base1" %SS{Exercice 3} TAG:6 FICHIER:gpe22001.2:*: FICHIER:gpe22001geo3.tex: \par\compo{2}{gpe22001}{1}{On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=6\,cm$, $AC=9\,cm$ et $BC=\sqrt{117}\,cm$. \par{\em sur ce dessin, les dimensions ne sont pas respectées}. \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? \item Le point $E$ est le point du segment $[AC]$ tel que $AE=4\,cm$. La médiatrice du segment $[EC]$ coupe le segment $[EC]$ en $H$, le segment $[BC]$ en $J$ et la droite $(BE)$ en $M$. \begin{enumerate} \item Prouver que : \begin{itemize} \item Les droites $(JH)$ et $(AB)$ sont parallèles; \item le segment $[HC]$ mesure $2,5\,cm$. \end{itemize} \item Calculer la valeur exacte de longueur $JH$. \item Calculer la longueur $HM$. \end{enumerate} \end{enumerate} } § M:texel: fichier="gpe22001geo3" patron="base1" %S{Problème} TAG:7 FICHIER:gpe22001.3:*: FICHIER:gpe22001pb.tex: \paragraph{Partie A}\subitem{} \par\compo{3}{gpe22001}{1}{$EFG$ est un triangle isocèle en $E$ tel que $FG=5\,cm$ et $EG=6\,cm$. Le cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[EG]$ coupe le segment $[FG]$ en $K$.\par{\em La figure ci-dessous n'est pas desinée en vraie grandeur}. } %$$\includegraphis{gpe22001.3}$$ \begin{enumerate} \item Réaliser la figure en vraie grandeur (utiliser une feuille à part). \item \begin{enumerate} \item Démontrer que $EKG$ est un triangle rectangle. \item Démontrer que $K$ est le milieu du segment $[FG]$. \item Calculer la valeur exacte de $EK$. Donner une valeur approchée à $1\,mm$ près. \end{enumerate} \item Soit $S$ l'image du point $E$ par la translation de vecteur $\vecteur{\strut KG}$. \begin{enumerate} \item Placer le point $S$ sur la figure. \item Démontrer que $ESGK$ est un rectangle. \end{enumerate} \end{enumerate} \paragraph{Partie B}\subitem{} \par Compléter la figure en plaçant un point $P$ sur un segment $[EG]$ (ne pas placer $P$ en $O$).\par Tracer la parallèle à la droite $(FG)$ passant par $P$. Elel coupe la droite $(EF)$ en $R$.\par On nomme $x$ la longueur du segment $[EP]$ exprimée en $cm$. \begin{enumerate} \item Préciser sans justifier la nature du triangle $EPR$. \item Démontrer que $PR=\dfrac{5}{6}x$. \item Exprimer en fonction de $x$ le périmètre du triangle $EPR$. \item Démontrer que le périmètre du trapèze $RPGF$ est égal à $\dfrac{-7x}{6}+17$. \item Peut-on trouver une position du ponit $P$ sur le segment $[EG]$ pour laquelle le triangle et le trapèze aient le même périmètre ? Justifier la réponse. \end{enumerate} § M:texel: fichier="gpe22001pb" patron="base1" %P{§l/syracuse/poulecl/brevet/index.xml§Retour à l'index des sujets§} %%EOF