%TITRE{Groupe Est 2003}
%VTEX{\entete}

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%S{Partie numérique}

%SS{Exercice 1}
TAG:1
FICHIER:est2003num1.tex:
\begin{enumerate}
\item Ecrire $A$ sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des
nombres entiers naturels, $b$ étant le plus petit possible :
$$A=2\sqrt{45}-3\sqrt{5}+\sqrt{20}$$
\item calculer l'expression suivante $B$ et donner son écriture
scientifique :
$$B=\dfrac{150 \times 10^{3}\times 8 \times10^{5}}{6 \times 10^{7}}$$
\end{enumerate} 
§

M:texel: fichier="est2003num1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:2
FICHIER:est2003num2.tex:
On considère l'expresion :
$C=\left(2x+5 \right)^{2}-\left(x+3 \right) \left( 2x+5\right) $.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $C$.
\item Factoriser $C$.
\item Résoudre l'équation
$\left(2x+5 \right) \left(x+2 \right)=0 $.
\item Calculer l'expresion $C$ pour $x=-\dfrac{2}{3}$. On mettra le
résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="est2003num2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:3
FICHIER:est2003num3.tex:
\begin{enumerate}
\item Résoudre le système suivant :
$$\left\{\begin{tabular}{l}
$4x+3y=206$\\
$2x+2y=114$\\
\end{tabular}
\right.
$$
\item Lors d'un spectacle, la famille $A$, composée de $4$ adultes et
de $3$ enfants, a payé $206$ \textgreek{\euro}.
\\Pour le même spectacle, la famille $B$, composée de $2$ adultes et
de $2$ enfants, a payé $114$ \textgreek{\euro}.
\\Combien paiera la famille $C$, sachant qu'elle est composée de $3$
adultes et de $2$ enfants ?
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="est2003num3" patron="base1"

%S{Partie géométrique}

%SS{Exercice 1}
TAG:4
FICHIER:est2003.1:*:
FICHIER:est2003geo1.tex:
\textit{L'unité est le centimètre.}
\\Dans la figure ci-dessous, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont
parallèles.
\\Les droites $(AD)$ et $(BC)$ se coupent en $E$.
\\On donne $DE=6$, $AE=10$, $AB=20$ et $BE=16$.
$$\includegraphics{est2003.1}$$
\textit{Les figures ne sont pas réalisées en vraie grandeur. Elles ne
sont pas à reproduire.}
\begin{enumerate}
\item Calculer la distance $CD$.
\item Les points $F$ et $G$ appartiennent respectivement aux segments
$[BC]$ et $[AB]$. Ils vérifient : $BF=12,8$ et $BG=16$.\\
Montrer que les droites $(FG)$ et $(AE)$ sont parallèles.
\end{enumerate}
§

M:texel: fichier="est2003geo1" patron="base1"

%SS{Exercice 2}
TAG:5
FICHIER:est2003.2:*:
FICHIER:est2003geo2.tex:
\compo{2}{est2003}{1}
{On considère le cône ci-contre de sommet $S$ et dont la base est le
disque de rayon $[OA]$.\\ Ce cône a pour hauteur $SO=8cm$ et pour
génératrice $SA=10cm$.
\\$I$ est un point du segment $[SO]$ tel que $SI=2cm$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $OA=6cm$.
\item Montrer que la valeur exacte du volume $\cal V$ du cône est égale à
$96\pi\,cm^3$. Donner la valeur arrondie au $mm^3$ près.
\item Déterminer, au degré près, la mesure de l'angle $\widehat{ASO}$.
\item On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et passant par
le point $I$. La section obtenue est un disque de centre $I$,
réduction du disque de base.
\begin{enumerate}
\item Déterminer le rapport $k$ de cette réduction.
\item Soit ${\cal V}'$ le volume du cône de sommet $S$ et de base le disque de centre $I$.
\\Exprimer ${\cal V}'$ en fonction de $\cal V$, puis donner la valeur arrondie de ${\cal V}'$ au $mm^3$ près.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
§

M:texel: fichier="est2003geo2" patron="base1"

%SS{Exercice 3}
TAG:6
FICHIER:est2003.3:*:
FICHIER:est2003geo3.tex:
Sur la figure ci-après sont représentés 8 hexagones réguliers.
\begin{enumerate}
\item Construire le point $M$ tel que
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.
\item Construire le point $Q$, symétrique de $H$ par rapport à la
droite $(BE)$.
\item Construire le point $P$, image du point $C$ par la rotation de
centre $E$ et d'angle 60° dans le sens des aiguilles d'une montre.
\end{enumerate}
$$\includegraphics{est2003.3}$$
§

M:texel: fichier="est2003geo3" patron="base1"

%S{Problème}
TAG:8

FICHIER:est2003.4:*:
FICHIER:est2003pbpart1.tex:
\textit{Les parties A et B sont indépendantes.}
\par\compo{4}{est2003}{1}
{La figure ci-contre est une vue de la surface au sol du CDI d'un
collège. Ce CDI doit être réaménagé en deux parties distinctes : une
salle de recherche et une salle de travail.
\\$ABCE$ est un trapèze tel que $AB=9m$, $BC=8m$ et $DE=6m$.
\\$M$ est un point du segment $[AB]$.
\\On pose $AM=x$ ($x$ est une distance exprimée en mètres :
$0 \leqslant x  \leqslant 9$ ).
}
\\[0.5cm]
\textbf{Rappel :}
\\L'aire d'un trapèze de hauteur $h$, de bases $b$ et $B$, est donnée par
$a=\dfrac{h(b+B)}{2}$.

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie A}}
\end{center}

La documentaliste souhaite que l'aire de la salle de travail soit
égale à celle de la salle de recherche.
\begin{enumerate}
\item \textit{Dans cette question uniquement}, on suppose que : $x=1$.
\\Calculer l'aire du trapèze $AMFE$ (salle de recherche), et l'aire du
rectangle $MBCF$ (salle de travail).
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire du trapèze $AMFE$.
\item Exprimer, en fonction de $x$, l'aire du rectangle $MBCF$.
\end{enumerate}
\item On se propose de représenter graphiquement cette situation à
l'aide de deux fonctions affines $f$ et $g$.
\\$f$ est définie par : $f(x)=-8x+72$.
\\$g$ est définie par : $g(x)=8x+24$.
\\Sur une feuille de papier millimétré,, construire un repère orthogonal :
\begin{itemize}
\item l'origine sera placée en bas à gauche ;
\item en abscisse, on prendra $2cm$ pour 1 unité ($2cm$ pour $1m$) ;
\item en ordonnée, on prendra $1cm$ pour 4 unités ($1cm$ pour $4m^{2}$).
\end{itemize}
\par Représenter les fonctions affines $f$ et $g$, pour $0 \leqslant x
\leqslant 9$.
\item
\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique, indiquer la valeur de $x$ pour
laquelle $f(x)=g(x)$, ainsi que l'aire correspondante.
\\Mettre en évidence ces valeurs sur le graphique (pointillés, couleurs).
\item Retrouver les résultats précédents par le calcul.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\Large{Partie B}}
\end{center}
§

M:texel: fichier="est2003pbpart1" patron="base1"

FICHIER:est2003pbpart2.tex: 
Dans cette partie, on pose $x=3,5$.
\begin{enumerate}
\item Donner, en $cm$, les dimensions de la salle de travail $MBCF$.
\item On souhaite recouvrir le sol de la salle de travail à l'aide
d'un nombre entier de dalles carrés identiques, de côté $c$ entier le
plus grand possible.
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $c$ est le PGCD de $800$ et $550$.
\item Calculer la valeur de $c$, en indiquant la méthode utilisée.
\item Combien de dalles sont nécessaires pour recouvrir le sol de la
salle de travail ?
\end{enumerate}
\item Les dalles coutent $13,50$ \textgreek{\euro} le mètre carré.
\\Quelle somme devra-t-on payer pour acheter le nombre de dalles
nécessaires ?
\end{enumerate}
§
M:texel: fichier="est2003pbpart2" patron="base1"

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