\Titre{TP: Statistiques sur un demi-cercle}

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Soient $A$ et $B$ deux points du plan tels que \(AB=2\). On considère un
demi-cercle $(C)$ de diamètre $[AB]$. On choisit au hasard un point $M$
sur le demi-cercle ($C$). On note $\Theta$ l'angle
$(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OM})$. L'aire du triangle $OAM$
est égale à $\dfrac12\sin(\Theta)$

Le but du T-P est de simuler le tirage au hasard de $100$ points sur le
demi-cercle et calculer la fréquence   du nombre de triangles $OAM$ dont
l'aire est inférieure à $0,25$.

Recommencer l'expérience en prenant pour $n$ toutes les valeurs entières
entre 100 et 1000 et tracez l'évolution des fréquences successives
obtenues en fonction du nombre de tirages~$n$.

Que peut-on conjecturer quant à la probabilité $p$ que l'aire d'un
triangle $AOM$ soit inférieure à 0,25?
  
Voici le programme:

Déclarons le nombre de points simulés.

.s N=10000;
.s x=[1:N];

Calculons l'aire correspondante du triangle $OAM$ pour chaque points
simulé et dénombrons ceux dont l'aire est inférieure à 0.25.

.s aire=[0.5*sin(%pi*rand(N,1))];
.s for i=1:N,
.s  if aire(i)<=0.25 then eff(i)=1; 
.s  elseif aire(i)>0.25 then eff(i)=0; 
.s  end,
.s end;

On peut alors calculer les fréquences successives.

.s for i=1:N, f(i)=(sum(eff(1:i)))/i;end;

On trace l'évolution des fréquences en fonction du nombre de points
simulés.

.s plot2d(x,f,style=5)
.f width=0.9\linewidth

On pourrait recommencer la simulation plusieurs fois sans effacer le
graphique qui précède et observer ce qui se passe:

On admet que, \emph{choisir au hasard} un point $M$ sur le demi-cercle,
revient à dire que la variable $\Theta$ qui,à chaque point $M$ associe
l'aire du triangle $OAM$ suit une loi uniforme sur l'intervalle
$[0;\pi]$.

La densité de probabilité de cette loi uniforme est la fonction $f$
définie sur $[0;\pi]$  par $f(x)=\dfrac{1}{\pi}$.

L'aire du triangle $OAM$ est inféreure ou égale à 0,25 si et seulement
si $\Theta\in[0;\frac{\pi}{6}]\cup[\frac{5\pi}{6}{\pi}]$.

De ce qui précéde, on peut en déduire la probabilité
\[p=\frac{1}{\pi}\left[\int_0^{\frac{\pi}{6}}d\theta + 
\int_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi}d\theta\right]}=\frac13.\]

Cela est conforme à ce que l'on a observé grâce aux différents
simulations précédentes.

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