\Titre{Méthode des rectangles pour un calcul d'aire}
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\textsl{\textcolor{blue}{Issue d'un T-P fait avec des élèves de Terminale S.}}

Considérons la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par :
$f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}$.

Nous cherchons à déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}=\left\{M(x;y)/
0\leqslant x \leqslant 1 \quad \text{et} \quad 0\leqslant y \leqslant f(x)\right\}$.

Pour celà, nous allons utiliser la méthode des rectangles.

Dans un repère orthonormal
$(O;\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ})$, $C_f$ est la courbe
représentative de la fonction $f$. $\mathcal{D}$ est le domaine situé
sous la courbe $C_f$.

On choisit de prendre l'aire du carré $OIKJ$ pour unité d'aire et on se
propose de déterminer l'aire $\mathcal{A}$ de $\mathcal{D}$. Pour cela:

\begin{itemize}

    \item on subdivise l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de
    longueur $\dfrac{1}{n}$ avec $n\in\N^*$;

    \item sur chaque intervalle
    $\left[\dfrac{k}{n};\dfrac{k+1}{n}\right]$ (avec $0\leqslant k\leqslant n-1$),
    on construit le rectangle $R_k$ de hauteur
    $f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ et le rectangle $R'_k$ de hauteur
    $f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)$.

\end{itemize}

Déclarons la fonction qui va calculer la somme des aires des
rectangles $R_k$ sous la courbe $C_f$:

.s function [s]=sommeinf(a,b,n)
.s s=0;for k=0:n-1;s=s+f(a+k*(b-a)/n);end
.s s=s*(b-a)/n,
.s endfunction

Faisons de même avec la somme des rectangles $R'_k$ \emph{au-dessus}
de $C_f$:

.s function [S]=sommesup(a,b,n)
.s S=0;for k=1:n;S=S+f(a+k*(b-a)/n);end
.s S=S*(b-a)/n
.s endfunction

Vous remarquerez que l'on a pas encore défini la fonction $f$ et que
ces deux sous-programmes sont utilisables pour d'autres fonctions
que celle définie plus haut et sur un autre intervalle que $[0;1]$.

Déclarons donc notre fonction $f$:

.s function y=f(x) ;y=1/(1+x^2);endfunction

Demandons les approximations pour $n=100$, $n$ étant le nombre de
subdivisions de l'intervalle $[0;1]$

.s sommeinf(0,1,100)
.s sommesup(0,1,100)

Demandons maintenant de calculer les approximations pour $n$ variant
de 1 à 100 et traçons ce que nous obtenons:

.s for i=1:100;s(i)=sommeinf(0,1,i);S(i)=sommesup(0,1,i);end
.s z=%pi/4;
.s x=1:100;
.s legends(['sommes inf';'sommes sup';'la limite des deux suites'],[5,3,2],'ur')
.s plot(x,s,"r+",x,S,"g+"),plot(x,z)

.f:titre Valeur des sommes \textit{sup} et \textit{inf} en fonction du nombre de subdivisions de \([0,1]\)

.f

On observe que les deux suites ainsi définies semblent être  adjacentes.

Elles convergent vers un réel $l$ que l'on admettra être égal à
$\dfrac{\pi}{4}$, en effet vous verrez après la terminale que
$\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{\pi}{4}$,ce qui est une autre affaire...