\Titre{Épreuve pratique du Bac. S --- Sujet 1}

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Soit $(u_n)$ la suite définie par récurrence de la manière suivante:

$u_0=0$ et pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=u_n+2n-11$.

Déterminons les trente premiers termes de la suite en remarquant que le
premier terme est $u_0$ mais que, pour \textsl{Scilab}, ce sera u(1).

.s u(1)=0;
.s for n=1:29; u(n+1)=u(n)+2*n-11; end

Représentons graphiquement les points correspondants:

.s plot(u,"+")

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.f width=0.5\linewidth

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On peut penser que les points sont sur une parabole d'équation:

\[y=f(x)=ax^2+bx+c,\]

les coefficients $a$, $b$ et $c$ étant à déterminer.

Si $u_n=f(n)$, pour tout $n\in \mathbb N$, alors $a$, $b$ et $c$ doivent
vérifier le système $(S)$:

\begin{eqnarray*}
c&=&u(1)\\
a+b+c&=&u(2)\\
4a+2b+c&=&u(3)
\end{eqnarray*}

On définit pour cela les matrices $A$ et $B$ sous \textsl{Scilab} de la manière
suivante:

.s A=[0 0 1;1 1 1;4 2 1];
.s B=[u(1);u(2);u(3)];
.s X=A\B

Ce qui nous permet de conjecturer que \[u_n=n^2-10n.\] Comparons les
trente premiers termes calculés plus haut aux trente premiers termes
$n^2-10n$.

.s for i=1:30,v(i)=(i-1)^2-10*(i-1);end

Pour comparer \texttt{u} et \texttt{v}, déterminons le \textit{minimum}
et le \textit{maximum} de la différence, si nous trouvons 0 pour les
deux, c'est gagné!

.s min(u-v)

.s max(u-v)

Ne reste plus qu'à démontrer cette propriété par récurrence sur $n$ pour
être complètement rigoureux.
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