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\chapter{Espace euclidien}
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\minitoc
\newpage

        On note $E$ un $\R$-espace vectoriel de \emph{dimension finie} $n$, muni d'un
produit scalaire (réel) qui est noté $\scal{\ }{\ }$. Rappelons qu'un $\C$-espace
vectoriel de dimension finie et muni d'un produit scalaire (complexe), est appelé
espace hermitien.

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\section{Résumé des épisodes précédents}
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\subsection{Produit scalaire}
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\subsubsection{Son expression dans une base quelconque}
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        Soit $\mcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_n)$ une base \emph{quelconque} de $E$. On
note $\nuple{x}$ (resp. $\nuple{y}$) les composantes de $\vc x$ (resp.
$\vc y$) relativement à la base $\mcal{B}$. Ainsi,
\begin{equation}
        \vc x=\sum_{j=1}^n x_j\,\vc e_j \et \vc y=\sum_{j=1}^n y_j\,\vc e_j
\end{equation}
ce qui donne
\begin{equation}
\Scal xy=\scal{\sum_{i=1}^n x_i\vc e_i}{\sum_{j=1}^n y_j\vc e_j}
=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i y_j\scal{\vc e_i}{\vc e_j}
=\sum_{i,j} g_{i,j}\,x_i y_j
\end{equation}
avec $g_{i,j}=\scal{\vc e_i}{\vc e_j}$. Dans le cas complexe, on a
$$
\Scal xy=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \conjug{x_i} y_j\scal{\vc e_i}{\vc e_j}
=\sum_{i,j} g_{i,j}\,\conjug{x_i} y_j
$$

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\subsubsection{Expression matricielle du produit scalaire}
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        Appelons $G$ la matrice de terme général $g_{i,j}=\scal{\vc e_i}{\vc e_j}$;
$G$ est une matrice carrée d'ordre $n$, à coefficients réels et symétrique.
L'expression du produit scalaire s'écrit à l'aide de $G$ :
\begin{equation}
\scal{\vc x}{\vc y}=\sum_{i,j} g_{i,j}\,x_i y_j
        =\trans X G Y   
\end{equation}
où $X=\mat(\vc x)$ (resp. $Y=\mat(\vc y)$) est la matrice-colonne des composantes
de $\vc x$ (resp. $\vc y$) relativement à $\mcal{B}$.

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\subsubsection{Effet d'un changement de base}
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        Soient $\mcal{B}'=(\vc e'_1,\dots,\vc e'_n)$ une autre base de $E$ et $P$ la
matrice de passage de la base $\mcal{B}$ à la base $\mcal{B}'$, \ie{} la matrice
$P=\mat(\mcal{B}')$ dont la $j$\ieme{} colonne est la colonne des composantes
du vecteur $\vc e'_j$ relativement à $\mcal{B}$. Ainsi,
$$
\mat(\vc x)=\mat(\mcal{B}')\mat[B'](\vc x)
\text{, soit : } X=P\,X'
$$
et le produit scalaire devient :
\begin{equation}
\Scal xy=\trans XGY=\trans(PX')G(PY')
=\trans X'(\trans PGP)Y'=\trans X'G'Y'
\end{equation}
La matrice $G'$ du produit scalaire relativement à la base $\mcal{B}'$ s'écrit :
$$
G'=\trans{P}GP
$$

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\subsubsection{Cas d'une base orthonormale}
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        Si $\mcal{U}=(\vc u_1,\dots,\vc u_n)$ est une base \emph{orthonormale} de $E$, alors
$\scal{\vc u_i}{\vc u_j}=\delta_{i,j}$ et la matrice du produit scalaire
relativement à la base \emph{orthonormale} $\mcal{U}$ est la matrice unité $I_n$.

        Si $\mcal{V}=(\vc v_1,\dots,\vc v_n)$ est une base \emph{orthogonale} de $E$, alors
$\scal{\vc v_i}{\vc v_j}=\delta_{i,j}\norme{\vc v_i}^2$; la matrice du produit scalaire
relativement à la base \emph{orthogonale} $\mcal{V}$ est la matrice diagonale
$\mathrm{Diag}(\norme{\vc v_1}^2,\dots,\norme{\vc v_n}^2)$.



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\subsection{Base orthonormale}
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\subsubsection{Leur existence}
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        Tout espace euclidien (resp. hermitien) possède, au moins, une base
orthonormale : l'orthonormalisation d'une base (quelconque) de $E$ donne le
résultat.

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\subsubsection{Diverses expressions dans une base orthonormale}
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        Considérons une base orthonormale $\mcal{U}=\nuple{\beps}$ de $E$.
La composante $x_j$ de $\vc x$ suivant $\beps_j$ est
$x_j=\scal{\beps_j}{\vc x}=\scal{\vc x}{\beps_j}$ et
\begin{gather*}
\vc x=\sum_{j=1}^n x_j\beps_j=\sum_{j=1}^n \scal{\beps_j}{\vc x}\beps_j                                 \\
\Scal xy=\sum_{j,k=1}^n x_j y_k\scal{\beps_j}{\beps_k}
        =\sum_{j,k=1}^n x_j y_k\delta_{j,k}=\sum_{k=1}^n x_k y_k                                                                                        \\
\norme{\vc x}^2=\Scal xx=\sum_{k=1}^n x_k^2                                                                                                                                                     \\
\dist^2(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x}^2=\sum_{k=1}^n(y_k-x_k)^2
\end{gather*}

        Dans le cas complexe, le lecteur mettra les barres de module et de conjugaison
là où il faut !

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\subsubsection{Isomorphisme de $E$ sur $\Mnp[n,1]{\R}$}
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        La donnée d'une base orthonormale $\mcal{U}=\nuple{\beps}$ de $E$ permet de
construire un isomorphisme de $E$ sur $\Mnp[n,1]{\R}$ muni de son produit scalaire
naturel (canonique) :
$$
\vc x\mapsto\mat[U](\vc x)=\trans\nuple{x}=X
$$

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\subsubsection{Matrice d'un endomorphisme relativement à une base orthonormale}
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        Soient $u$ un endomorphisme de $E$ et $A=[a_{i,j}]=\mat[U](u)$ sa matrice
relativement à une base orthonormale $\mcal{U}$ de $E$; le terme $a_{i,j}$, $i$\ieme{}
composante du vecteur $u(\beps_j)$ relativement à la base $\mcal{U}$, se calcule
par :
$$
a_{i,j}=\scal{\beps_i}{u(\beps_j)}
$$

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\subsubsection{Caractérisation de la matrice d'un produit scalaire (réel)}
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\begin{Th}
        Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $\mcal{B}=\nuple{\vc e}$ une
base (quelconque) de $E$ et $G$ une matrice symétrique réelle d'ordre $n$; alors
$\Scal xy=\trans XGY$ définit un produit scalaire sur $E$ si, et seulement si,
il existe une matrice inversible $P\in\GLn{\R}$ telle que $G=\trans PP$
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

        \CN
        $G$ est la matrice du produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ relativement à
$\mcal{B}$. Si $\mcal{U}$ est une base orthonormale de $E$, et si
$P=\mat(\mcal{U})$ est la matrice de passage de $\mcal{B}$ à $\mcal{U}$,
$G'=\trans PGP$ est la matrice du produit scalaire relativement à $\mcal{U}$,
donc $G'=I_n$ et $G=\trans P^{-1}P^{-1}$.

        \CS
        L' application $(\vc x,\vc y)\mapsto \trans X\,\trans
PP\,Y=\trans(PX)\,PY$ est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur
$E$. La démonstration, facile, est à rédiger.
\end{proof}
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\subsection{Supplémentaires orthogonaux}
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\subsubsection{Leur existence}
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        Tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$ admet un supplémentaire orthogonal
$F^\perp$, puisque $F$ est de dimension finie. D'autre part
$\bigl(F^\perp\bigr)^\perp=F$.

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\subsubsection{Leur dimension}
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$\dim F^\perp=\dim E-\dim F$

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\subsubsection{Leurs équations}
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Si $\puple{\vc f}$ est une base de $F$, ou plus généralement une famille
génératrice de $F$, alors
\begin{equation}
\vc x\in F^\perp=\mcal{V}\mathrm{ect}\{\vc f_1,\dots,\vc f_p\}^\perp
\iff
\qqs j\in\Intf1p,\ \Scal{f_j}x=0
\end{equation}

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\subsubsection{Base orthonormale adaptée à un sous-espace vectoriel}
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        Puisque $E=F\Somdir F^\perp$, on peut construire une base orthonormale de $E$,
en réunissant une base orthonormale de $F$ et une base orthonormale de
$F^\perp$; une telle base est appelée \emph{base orthonormale adaptée} à $F$.

\begin{Th}[de la base orthonormale incomplète]\alaligne

        Toute famille orthonormale $\puple{\vc u}$ d'un espace vectoriel euclidien $E$
de dimension $n$, peut être complétée en une base orthonormale
$(\vc u_1,\dots,\vc u_p,\vc u_{p+1},\dots,\vc u_n)$ de $E$.
\end{Th}

\begin{proof}
        Il suffit d'appliquer la remarque précédente au sous-espace vectoriel $F$
engendré par $\puple{\vc u}$.
\end{proof}
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\section{Adjoint d'un endomorphisme}
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\subsection{Isomorphisme naturel (canonique) de $E$ sur son dual}
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\begin{Th}[Isomorphisme naturel de $E$ sur son dual]\alaligne

        L'application $\Phi : \vc x\in E\mapsto\scal{\vc x}{\cdot}$ réalise un
isomorphisme de $E$ sur son dual $E^*$; on le qualifie de \emph{naturel} ou de
\emph{canonique}.
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

        Pour tout $\vc x\in E$, $\Phi(\vc x)=\scal{\vc x}{\cdot} : \vc y\mapsto\Scal xy$ 
est une application linéaire de $E$ vers $\R$, \ie{} une forme linéaire sur $E$,
\ie{} un élément de $E^*$.

        $\Phi$ est une application linéaire car, pour tout $\vc x_1$ et $\vc x_2$ dans
$E$, pour tout $\la_1$ et $\la_2$ dans $\R$, on a l'égalité des applications
$\scal{\la_1\vc x_1+\la_2\vc x_2}{\cdot}$ et $\la_1\scal{\vc x_1}{\cdot}+
\la_2\scal{\vc x_2}{\cdot}$. En effet, pour tout $\vc y$ dans $E$,
$$
\scal{\la_1\vc x_1+\la\vc x_2}{\vc y}
=       \la_1\scal{\vc x_1}{\vc y}+\la_2\scal{\vc x_2}{\vc y}
=       \bigl[\Phi(\la_1\vc x_1+\la_2\vc x_2)\bigr](\vc y)
$$


        $\vc z\in\ker\bigl(\vc x\mapsto\scal{\vc x}{\cdot}\bigr)$ si, et seulement si,
$\scal{\vc z}{\cdot}$ est la forme linéaire nulle, \ie{} $\qqs \vc y\in E$,
$\Scal zy=0$, soit $\vc z=\vc 0$. L'application linéaire $\Phi$ est donc
injective.

        $E$ et $E^*$ sont deux espaces vectoriels de même dimension finie;
l'application linéaire injective $\Phi$ est donc un isomorphisme de $E$ sur $E^*$.
\end{proof}
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\begin{Th}[de représentation de Riesz]\alaligne

        À toute forme linéaire $\vphi$ sur $E$ correspond un unique vecteur $\vc a$ de
$E$ tel que
$$
\qqs\vc y\in E,\ \vphi(\vc y)=\Scal ay
$$
\end{Th}

\begin{proof}
        Utilisons l'isomorphisme naturel $\Phi$ et posons $\vc a=\Phi^{-1}(\vphi)$.
Ainsi $\vphi=\Phi(\vc a)=\scal{\vc a}{\cdot}$.
\end{proof}
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\begin{Ex}\alaligne

        À toute forme linéaire $\vphi$ sur $\Mnp{\R}$ correspond une une unique matrice
$A\in\Mnp{\R}$ qui \og représente\fg{} $\vphi$ pour le produit scalaire naturel
(canonique) de $\Mnp{\R}$, soit
$$
\qqs M\in\Mnp{\R},\ \vphi(M)=\tr(\trans AM)
$$
\end{Ex}

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\subsubsection*{Produit vectoriel en dimension 3}
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        Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension 3, orienté par la donnée
d'une base orthonormale $\mcal{B}=(\vc i,\vc j,\vc k)$. Le produit mixte
$$
[\vc x,\vc y,\vc z]=\det(\vc x,\vc y,\vc z)
$$
est indépendant de la base orthonormale directe $\mcal{B}$ choisie. Pour $\vc x$
et $\vc y$ fixés dans $E$, l'application $\vc z\mapsto[\vc x,\vc y,\vc z]$ est
une forme linéaire que l'on peut représenter à l'aide d'un vecteur $\vc w$ que
l'on note $\vc x\wedge\vc y$, et l'on a :
$$
\qqs\vc z\in E,\ \scal{\vc x\wedge\vc y}{\vc z}=[\vc x,\vc y,\vc z]=
\det(\vc x,\vc y,\vc z)
$$
À l'aide de cette définition, on retrouve les propriétés habituelles du produit
vectoriel. Pouvez-vous les démontrer?

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\subsection{Endomorphisme associé à une forme bilinéaire}
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\begin{Th}
        À toute forme bilinéaire $\Psi$ sur $E$ est associée un unique endomorphisme
$u$ de $E$ tel que
$$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E,\ \Psi(\vc x,\vc y)=\scal{u(\vc x)}{\vc y}
$$
$u$ est appelé \emph{endomorphisme naturel} (canonique) \emph{associé à la forme
bilinéaire} $\Psi$.
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

        $\vc y\mapsto\Psi(\vc x,\vc y)$ est une forme linéaire sur $E$. Le théorème de
représentation de Riesz montre l'existence d'un unique vecteur de $E$, que l'on
note $u(\vc x)$, tel que
\begin{equation}
\qqs\vc y\in E,\ \Psi(\vc x,\vc y)=\scal{u(\vc x)}{\vc y}
\end{equation}

        L'application $u$ est linéaire, car pour tout vecteur $\vc x_1$, $\vc x_2$ et
$\vc y$, pour tout réel $\la_1$ et $\la_2$, on a
\begin{align*}
\scal{u(\la_1\vc x_1+\la_2\vc x_2)}{\vc y}
&=      \Psi(\la_1\vc x_1+\la_2\vc x_2,\vc y)=\la_1\Psi(\vc x_1,\vc y) +
                        \la_2\Psi(\vc x_2,\vc y)                                                                                                                                                                \\
&=      \la_1\scal{u(\vc x_1)}{\vc y} + \la_2\scal{u(\vc x_2)}{\vc y}                   \\
&=      \scal{\la_1u(\vc x_1)+\la_2u(\vc x_2)}{\vc y}
\end{align*}
L'unicité de la représentation de Riesz montre l'égalité entre $u(\la_1\vc
x_1+\la_2\vc x_2)$ et $\la_1 u(\vc x_1)+\la_2 u(\vc x_2)$.

\end{proof}
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\subsection{Adjoint d'un endomorphisme}
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\begin{Th}[Existence et unicité de l'adjoint]\alaligne

        À tout endomorphisme $u$ de $E$ est associé un unique endomorphisme de $E$
noté $u^*$ tel que
\Reponse{$\dps
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \scal{u^*(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{u(\vc y)}
$}
L'endomorphisme $u^*$ est appelé \emph{l'adjoint de} $u$.
\end{Th}

\begin{proof} $u^*$ est l'endomorphisme naturel (canonique) associé à la forme
bilinéaire symétrique
\begin{equation}
\Psi : \vc x\in E\mapsto\scal{\vc x}{u(\vc y)}
\end{equation}
Cher lecteur, la vérification de la bilinéarité de $\Psi$ est laissée à votre
initiative.
\end{proof}
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\begin{Th}[Matrice de l'adjoint dans une base orthonormale]\alaligne

        Si $\mcal{B}$ est une base \textbf{orthonormale} de $E$, alors
$$
\mat(u^*)=\trans\mat(u)
$$
\end{Th}

\begin{proof}
        Appelons $\nuple{\vc e}$ les vecteurs de la base orthonormale
$\mcal{B}$ de $E$; alors
$$
\bigl(\mat(u^*)\bigr)_{i,j}=\scal{\vc e_i}{u^*(\vc e_j)}
=\scal{e_j}{u(\vc e_i)}=\bigl(\mat(u)\bigr)_{j,i}
$$
ce qui donne l'égalité annoncée.
\end{proof}
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\begin{Prop}[Règles de calcul]\alaligne

        Si $u$ et $v$ sont des endomorphismes de $E$ et $\la$ un réel, alors
\begin{prop}
        \item   $(u+v)^*=u^*+v^*$; $(\la u)^*=\la\,u^*$; $(u^*)^*=u$; ainsi $u\mapsto
u^*$ est un automorphisme involutif de $\LE$;
        \item   $(u\circ v)^*=v^*\circ u^*$; $(I_E)^*=I_E$;
        \item   $u\in\GLE\iff u^*\in\GLE$ et, dans ce cas, $(u^*)^{-1}=(u^{-1})^*$;
        \item   $\tr(u^*)=\tr u$ et $\det(u^*)=\det u$.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}
        Si $\vc x$ et $\vc y$ sont des vecteurs de $E$, alors
\begin{demprop}
        \monitem
$\scal{(u+v)^*(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{(u+v)(\vc y)}
=\scal{\vc x}{u(\vc y)}+\scal{\vc x}{v(\vc y)}
=\scal{u^*(\vc x)}{\vc y}+\scal{v^*(\vc x)}{\vc y}
=\scal{u^*(\vc x)+v^*(\vc x)}{\vc y} = \scal{(u^*+v^*)(\vc x)}{\vc y}$;
l'unicité de la représentation de Riesz montre l'égalité entre $(u+v)^*(\vc x)$
et $(u^*+v^*)(\vc x)$, ceci pour tout $\vc x$, donc l'égalité des applications
$(u+v)^*$ et $u^*+v^*$.                                                                                                                                                                                         \\
%
$\scal{(\la u)^*(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{\bigl(\la u\bigr)(\vc y)}
=\la\scal{\vc x}{u(\vc y)}=\la\scal{u^*(\vc x)}{\vc y}
=\scal{\la u^*(\vc x)}{\vc y}$;
l'unicité de la représentation de Riesz montre l'égalité entre $(\la u)^*(\vc x)$
et $\la u^*(\vc x)$, ceci pour tout $\vc x$, donc l'égalité des applications
$(\la u)^*$ et $\la u^*$.                                                                                                                                                                                               \\
%
$\scal{(u^*)^*(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{u^*(\vc y)}
=\scal{u(\vc x)}{\vc y}$; et, d'après l'unicité de la repré\dots, l'égalité des
applications $(u^*)^*$ et $u$ est démontrée.

        Ainsi, $u\mapsto u^*$ est une application linéaire qui est son propre inverse;
$u\mapsto u^*$ est une involution.

        \monitem
$\scal{\bigl(u\circ v\bigr)^*(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{u\bigl(v(\vc y)\bigr)}
=\scal{u^*(\vc x)}{v(\vc y)}=\scal{v^*\circ u^*(\vc x)}{\vc y}$; d'où l'égalité
des applications $(u\circ v)^*$ et $v^*\circ u^*$.                                                                              \\
%
$\scal{\bigl(I_E^*\bigr)(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{I_E(\vc y)}
=\scal{\vc x}{\vc y}=\scal{I_E(\vc x)}{\vc y}$ et $(I_E)^*=I_E$.

        \monitem
$u\circ v=v\circ u=I_E\implique v^*\circ u^*=u^*\circ v^*=(I_E)^*=I_E$; ceci
montre l'implication $u\in\GLE\implique u^*\in\GLE$ et l'égalité de
$v^*=(u^{-1})^*$ avec $(u^*)^{-1}$. L'égalité $(u^*)^*=u$ montre la réciproque.

        \monitem        Si $\mcal{B}$ est une base \emph{orthonormale} de $E$, la matrice de
$u^*$ relativement à $\mcal{B}$ est la transposée de la matrice de $u$
relativement à la même base; ces matrices ont la même trace et le même
déterminant; $u$ et $u^*$ ont donc même trace et même déterminant.
\end{demprop} 
\end{proof}
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\subsection{Adjoint et stabilité}
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\begin{Th}
        Si $u$ est un endomorphisme de $E$, alors,
\begin{prop}
        \item   $\ker u^*=\bigl(\im u\bigr)^\perp$, $\im u^*=\bigl(\ker u\bigr)^\perp$
et $\rg u^*=\rg u$;
        \item   soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$; $F$ est stable par $u$ si, et
seulement si, $F^\perp$ est stable par $u^*$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem        $\vc x\in\ker u^*\iff u^*(\vc x)=\vc 0
\iff\qqs\vc y\in E,\ 0=\scal{u^*(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{u(\vc y)}
\iff\vc x\in\bigl(\im u\bigr)^\perp$

        On applique l'égalité précédente à $u^*$ et on trouve :
$\bigl(\im u^*\bigr)^\perp=\ker(u^*)^*=\ker u$; en prenant les orthogonaux, on
obtient l'égalité annoncée.                                             \\
%
$\rg u^*=\dim\bigl(\im u^*\bigr)=\dim\bigl(\ker u^\perp\bigr)
=\dim E-\dim(\ker u)=\rg u$;

        \monitem        si $F$ est stable par $u$, alors, pour tout $\vc y\in F$,
$u(\vc y)\in F$. Si $\vc x\in F^\perp$, alors, pour tout $\vc y\in F$,
$0=\scal{\vc x}{u(\vc y)}=\scal{u^*(\vc x)}{\vc y}$, ce qui montre que
$u^*(\vc x)\in F^\perp$; ainsi, $F^\perp$ est stable par $u^*$.

        Si $F^\perp$ est stable par $u^*$, $(F^\perp)^\perp=F$ est stable par
$(u^*)^*=u$.
\end{demprop}

\end{proof}
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\section{Endomorphisme autoadjoint}
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\subsection{Généralités}
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\begin{Dfs}[Endomorphisme autoadjoint ou symétrique, antisymétrique]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme d'un espace euclidien $E$, $u$ est dit
\emph{autoadjoint} ou \emph{symétrique} si
$$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \scal{u(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{u(\vc y)}
$$
$u$ est dit \emph{antisymétrique} si
$$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \scal{u(\vc x)}{\vc y}=-\scal{\vc x}{u(\vc y)}
$$
On note $\SE$ l'ensemble des endomorphismes autoadjoints ou symétriques et
$\ASE$ l'ensemble des endomorphismes antisymétriques.
\end{Dfs}

\begin{Th}[Caractérisation des endomorphismes autoadjoints]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme d'un espace euclidien $E$, les assertions
suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
        \item   $u$ est autoadjoint;
        \item   $u=u^*$;
        \item   pour toute base \emph{orthonormale} $\mcal{B}$ de $E$, la matrice de $u$
relative à $\mcal{B}$ est symétrique;
        \item   il existe une base \emph{orthonormale} $\mcal{B}$ de $E$  telle que la
matrice de $u$ relative à $\mcal{B}$ soit symétrique;
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
        $u\text{ est auto-adjoint }\iff\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\
\scal{u(\vc x)}{\vc y}=\scal{\vc x}{u(\vc y)}=\scal{u^*(\vc x)}{\vc y}
\iff u=u^*$, ce qui montre l'équivalence des deux premières assertions.

        \Implique23
        Les matrices de $u$ et $u^*$, relatives à $\mcal{B}$, sont égales puisque
$u=u^*$; d'autre part, $\mat(u^*)=\trans\mat(u)$ puisque $\mcal{B}$ est une base
orthonormale.  

        \Implique34
        Qui peut le plus, peut le moins.

        \Implique42
        Les égalités $\mat(u)=\trans\mat(u)=\mat(u^*)$ montrent que $u=u^*$.
\end{proof}
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\subsubsection*{Endomorphisme symétrique et matrice symétrique réelle}
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        Si $S$ est une matrice symétrique réelle d'ordre $n$, l'endomorphisme $u_S$
associé à $S$, est un endomorphisme autoadjoint (symétrique) de $\Mnp[n,1]{\R}$
muni de son produit scalaire naturel (canonique). En effet :
\begin{equation}
\scal{u_S(X)}{Y}=\trans(SX)Y=\trans X\trans SY=\trans XSY
=\scal{X}{SY}=\scal{X}{u_S(Y)}
\end{equation}

        Soient $E$ un espace euclidien et $\mcal{B}$ une base orthonormale de $E$; à
toute matrice symétrique réelle d'ordre $n$, on associe l'endomorphisme $u_S$ de
$E$, de matrice $S$ relativement à $\mcal{B}$; $u_S$ est un endomorphisme
autoadjoint (symétrique) de $E$ car
\begin{equation}
\scal{u_S(\vc x)}{\vc y}=\trans(SX)Y=\trans XSY
=\scal{\vc x}{u_S(\vc y)}
\end{equation}
Tout ceci donne la

\begin{Prop}
        Si $\mcal{B}$ est une base orthonormale d'un espace euclidien $E$,
l'application $u\mapsto\mat(u)$ réalise un isomorphisme du $\R$-espace vectoriel $\SE$
des endomorphismes autoadjoints (symétriques), sur le
$\R$-espace vectoriel $\SnR$ des matrices symétriques réelles d'ordre $n$, et
$$
\dim\SE=\dim\SnR=\ra{n(n+1)}2
$$
\end{Prop}
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\begin{Th}[Caractérisation des endomorphismes antisymétriques]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme d'un espace euclidien $E$, les assertions
suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
        \item   $u$ est antisymétrique;
        \item   $u^*=-u$;
        \item   pour toute base \emph{orthonormale} $\mcal{B}$ de $E$, la matrice de $u$
relative à $\mcal{B}$ est antisymétrique;
        \item   il existe une base \emph{orthonormale} $\mcal{B}$ de $E$  telle que la
matrice de $u$ relative à $\mcal{B}$ soit antisymétrique;
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
        La démonstration ressemble comme une goutte d'eau à la démonstration
précédente; elle est laissée aux soins de la lectrice ou du lecteur.
\end{proof}
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\begin{Prop}
        Si $\mcal{B}$ est une base orthonormale d'un espace euclidien $E$,
l'application $u\mapsto\mat(u)$ réalise un isomorphisme du $\R$-espace vectoriel $\ASE$
des endomorphismes antisymétriques, sur le
$\R$-espace vectoriel $\AnR$ des matrices antisymétriques réelles d'ordre $n$, et
$$
\dim\ASE=\dim\AnR=\ra{n(n-1)}2
$$
\end{Prop}
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\subsection{Projecteur orthogonal}
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\begin{Df}[Projecteur orthogonal]\alaligne

        Si $F$ est un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien $E$, le projecteur
$p_F$ d'image $F$, parallèlement à $F^\perp$, est appelé \emph{projecteur
orthogonal} de $E$ sur $F$.     
\end{Df}

\begin{Prop}[Expression analytique d'un projecteur orthogonal]\alaligne

        Si $\Nuple{\vc u}{r}$ est une base \emph{orthonormale} de $F$, on a
$$
\qqs\vc x\in E,\ p_F(\vc x)=\sum_{j=1}^r\scal{\vc u_j}{\vc x}\,\vc u_j
$$
Cas d'une droite $\mcal{D}=\R\vc a$ :
$\dps p_{\mcal{D}} : \vc x\mapsto\ra{\Scal ax}{\norme{\vc a}^2}\vc a$
\\
Cas d'un hyperplan $\mcal{H}=\{\vc a\}^\perp$ :
$\dps p_{\mcal{H}}=I_E-p_{\mcal{D}} :
        \vc x\mapsto\vc x - \ra{\Scal ax}{\norme{\vc a}^2}\vc a$
\end{Prop}
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\begin{Prop}[Expression matricielle d'un projecteur orthogonal]\alaligne

        Si $\mcal{B}$ est une base orthonormale de $E$, si $\Nuple{\vc u}{r}$ est une
base \emph{orthonormale} de $F$ et si $U_j=\mat(\vc u_j)$ est le vecteur-colonne
des composantes de $\vc u_j$ relativement à $\mcal{B}$, alors
$$
\mat(p_F)=\sum_{j=1}^r U_j\trans U_j 
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
        Appelons $P_F=\mat(p_F)$ la matrice de $p_F$ relative à la base orthonormale~$\mcal{B}$.
L'égalité $p_F(\vc x)=\sum_{j=1}^r\scal{\vc u_j}{\vc x}\,\vc u_j$ s'écrit
matriciellement $P_FX=\sum_{j=1}^r\bigl(\trans U_j X\bigr)U_j$. Or, $\trans U_j
X$ est un nombre réel ou plutôt une matrice de taille $1\times1$ qui commute avec
toute matrice. Ainsi
$$
PX=\sum_{j=1}^r U_j\bigl(\trans U_j X\bigr)
=\sum_{j=1}^r \bigl(U_j\trans U_j \bigr) X
=\Bigl(\sum_{j=1}^r U_j\trans U_j \Bigr) X
$$
\end{proof}
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\begin{Th}[Projecteurs orthogonaux et projecteurs]\alaligne 

        Un projecteur d'un espace euclidien $E$ est un
projecteur orthogonal si, et seulement si, il est autoadjoint (symétrique).
\end{Th}

\begin{proof}
        Tout projecteur $p$ est la projection de $E$ sur $\im p$, parallèlement à
$\ker p$.

        \CN
        Soit $p$ le projecteur orthogonal sur $\im p$ parallèlement à $(\im p)^\perp$;
dans une base orthonormale $\mcal{B}$ adaptée à la somme directe
orthogonale $E=\im p\somdir (\im p)^\perp$, la matrice de $p$ relative à
$\mcal{B}$ est la matrice diagonale par blocs $\mathrm{Diag}(I_r,0_{n-r})$ où $r$
est le rang de $p$. Cette matrice est symétrique réelle, donc $p$ est autoadjoint.

        \CS Si $p$ est autoadjoint, $\ker p=\ker p^*=(\im p)^\perp$ et $p$ est le
projecteur de $E$ sur $\im p$ et parallèlement à $(\im p)^\perp$; $p$ est un
projecteur orthogonal.
\end{proof}
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\begin{Prop}[Interprétation matricielle]\alaligne

        Soient $p$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E$, $\mcal{B}$ une base
\emph{orthonormale} de $E$ et $M=\mat(p)$ la matrice de $p$ relative à
$\mcal{B}$; alors, $p$ est un projecteur orthogonal si, et seulement si,
$M\in\SnR$ et $M^2=M$.
\end{Prop}
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\subsection{Symétrie orthogonale}
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\begin{Df}[Symétrie orthogonale]\alaligne

        Si $F$ est un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien $E$, la symétrie
par rapport à $F$ et parallèlement à $F^\perp$ est appelée \emph{symétrie
orthogonale} par rapport à $F$.
\end{Df}
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\begin{Prop}[Symétrie et projecteur orthogonaux]\alaligne

        Soient $F$ un sous-espace vectoriel d'un espace euclidien, $s_F$ la symétrie
orthogonale par rapport à $F$ et $p_F$ le projecteur orthogonal d'image $F$;
alors :
$$
s_F+I_E=2p_F
$$
Cas d'une droite $\mcal{D}=\R\vc a$ :
$\dps s_{\mcal{D}}=2p_{\mcal{D}}-I_E :
        \vc x\mapsto2\ra{\Scal ax}{\norme{\vc a}^2}\vc a-\vc x$
\\
Cas d'un hyperplan ${\mcal{H}}=\{\vc a\}^\perp$ :
$\dps s_{\mcal{H}}=2p_{\mcal{H}}-I_E=-s_{\mcal{D}} :
        \vc x\mapsto\vc x - 2\ra{\Scal ax}{\norme{\vc a}^2}\vc a$
\end{Prop}

\begin{proof}
        Faire un dessin et se rappeler des propriétés des diagonales d'un losange.
\end{proof}
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\begin{Th}[Caractérisation des symétries orthogonales parmi les
symétries]\alaligne 

        Si $s$ est une symétrie d'un espace euclidien $E$, $s$ est une
symétrie orthogonale si, et seulement si, $s$ est autoadjoint (symétrique).
\end{Th}

\begin{proof}
        Toute symétrie, \ie{} tout endomorphisme $s$ de $E$ vérifiant $s\circ s=I_E$,
est la symétrie par rapport à $\ker(s-I_E)$ (espace des invariants)
parallèlement à $\ker(s+I_E)$ qui est identique à $\im(s-I_E)$ dans ce cas.

        \CN
        Soit $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $F$;
dans une base orthonormale $\mcal{B}$ adaptée à la somme directe
orthogonale $E=F\somdir F^\perp$, la matrice de $s$ relative à
$\mcal{B}$ est la matrice diagonale par blocs $\mathrm{Diag}(I_r,-I_{n-r})$ où $r$
est la dimension de $F$. Cette matrice est symétrique réelle, donc $s$ est autoadjoint.

        \CS Si $s$ est autoadjoint, alors
$\ker(s+I_E)=\ker(s^*+I_E)=\ker(s+I_E)^*=\bigl(\im(s+I_E)\bigr)^\perp
=\bigl(\ker(s-I_E)\bigr)^\perp$; $s$ est la symétrie orthogonale par rapport à
$\ker(s-I_E)$.
\end{proof}
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\subsection{Endomorphisme symétrique positif, défini positif}
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\begin{Df}[Endomorphisme symétrique positif, défini positif]\alaligne

        Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint (symétrique) d'un espace euclidien $E$;
$u$ est dit \emph{positif}~si
$$
\qqs\vc x\in E,\ \scal{u(\vc x)}{\vc x}\geq 0
$$
$u$ est dit \emph{ défini positif} si
$$
\qqs\vc x\in E\setminus\{\vc 0\},\ \scal{u(\vc x)}{\vc x}>0
$$
\end{Df}

\begin{Prop}[Endomorphisme symétrique défini positif et automorphisme]\alaligne 

        Tout endomorphisme symétrique défini positif est un automorphisme de $E$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Le noyau d'un endomorphisme $u$ symétrique défini positif est réduit à $\{\vc 0\}$
car $\vc x\neq\vc 0\implique\scal{u(\vc x)}{\vc x}>0$, donc $u(\vc x)\neq\vc 0$.
En dimension finie, ceci montre que $u$ est application linéaire inversible, \ie{}
un automorphisme.
\end{proof}
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\begin{Df}[Matrice symétrique positive, définie positive]\alaligne

        Soit $A\in\SnR$ une matrice symétrique réelle d'ordre $n$;
\\
$A$ est dite \emph{positive} si
$$
\qqs X\in\Mnp[n,1]{\R},\ \trans XAX\geq 0
$$
$A$ est dite \emph{définie positive} si
$$
\qqs X\in\Mnp[n,1]{\R}\setminus\{0\},\ \trans XAX>0
$$
\end{Df}

\begin{Prop}[Matrice symétrique positive et endomorphisme associé]\alaligne

        Si $A\in\SnR$ est une matrice symétrique et $u_A : X\mapsto AX$ l'endomorphisme
autoadjoint (symétrique) de $\Mnp[n,1]{\R}$ muni de son produit scalaire
naturel, alors
\begin{prop}
        \item   $A\text{ est positive }\iff u_A\text{ est positif;}$
        \item   $A\text{ est définie positive }\iff u_A\text{ est défini positif.}$
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}
        Remarquons que $\scal{u_A(X)}{X}=\trans(XA)X=\trans XAX$, puisque $A$ est
symétrique.
\end{proof}
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\begin{Prop}[Cas des matrices diagonales]\alaligne

        Si $D=\diag{\la}$ est une matrice diagonale à coefficients réels, alors
\begin{prop}
        \item   $D\text{ est positive }\iff\qqs i\in\Intf1n,\ \la_i\geq0$
        \item   $D\text{ est définie positive }\iff\qqs i\in\Intf1n,\ \la_i>0$
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}
        Soit $X=\trans\nuple{x}$; alors $\trans XDX=\sum_{i=1}^n \la_i x_i^2$ et
\begin{gather*}
\qqs X\in\Mnp[n,1]{\R},\ \trans XDX=\sum_{i=1}^n \la_i x_i^2\geq0
        \iff\qqs i\in\Intf1n,\ \la_i\geq0                                                                                                                                                       \\
\qqs X\in\Mnp[n,1]{\R}\setminus\{0\},\ \trans XDX=\sum_{i=1}^n \la_i x_i^2>0
        \iff\qqs i\in\Intf1n,\ \la_i>0                                                                                                                                                  \\
\end{gather*}
\end{proof}
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\begin{Prop}[Cas des adjoints]\alaligne

        Si $u$ est un endomorphisme d'un espace euclidien $E$, alors
\begin{prop}
        \item   $u^*\circ u$ et $u\circ u^*$ sont des endomorphismes symétriques
positifs, $\ker(u^*\circ u)=\ker u$ et $\ker(u\rond u^*)=\ker u^*$;
        \item   $u\rond u^*$ (resp. $u^*\rond u$) est défini positif si, et seulement si,
$u$ est inversible.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem
$\qqs\vc x\in E$, $\scal{u^*\rond u(