%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter[All you \dots{} VECTOR SPACES \dots]{All you ever wanted to know about\\ VECTOR SPACES \\ but were too afraid to ask!} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Exemples d'espaces vectoriels} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $\R^n$, $\C^n$, $\K^n$ où $\K$ est un corps. L'ensemble des suites à valeurs réelles, à valeurs complexes. L'ensemble des fonctions définies sur un intervalle $I\subset\R$, à valeurs réelles, complexes, ou à valeurs dans $\R^n$, dans $\C^n$. Plus généralement, l'ensemble des fonctions définies sur un ensemble quelconque $X$, à valeurs dans $E$, un $\K$-espace vectoriel quelconque. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Applications linéaires} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif $\K$; une application $u : E\to F$ est \emph{linéaire} si, et seulement si, $$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \qqs(\lambda,\mu)\in\K^2,\ u(\lambda\vc x+\mu\vc y)=\lambda\,u(\vc x)+\mu\,u(\vc y) $$ L'ensemble de toutes les applications linéaires de $E$ vers $F$ est un $\K$-espace vectoriel; il est noté~$\mathcal{L}(E,F)$. L'\emph{image} de $u$ est $\im(u)=u(E)=\ens{\vc y\in F}{\exists\vc x\in E,\ \vc y=u(\vc x)}$. Le \emph{noyau} de $u$ est $\ker(u)=\ens{\vc x\in E}{u(\vc x)=\vc 0}$. Un \emph{isomorphisme} de $E$ sur $F$ est une application linéaire et bijective. Un \emph{endomorphisme} de $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E$. L'ensemble des endomorphismes de $E$ muni de l'addition et de la composition des applications est une $\K$-algèbre; il est noté $\mathcal{L}(E)$. Un \emph{automorphisme} de $E$ est un endomorphisme bijectif de $E$. L'ensemble des automorphismes de $E$ muni de la composition des applications est un groupe non commutatif; il est noté $\mathcal{GL}(E)$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Comment montrer que $F$ est $\K$-espace vectoriel?} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% En montrant l'une des propositions suivantes : \begin{quote} \begin{itemize} \item $F$ est un $\K$-sous-espace vectoriel d'un $\K$-espace vectoriel connu $E$, soit \begin{itemize} \item $\vc 0\in F$; \item $\qqs(\lambda,\mu)\in\K^2,\ \qqs(\vc x,\vc y),\ \vc x\in F\et\vc y\in F\implique \lambda\vc x+\mu\vc y\in F$; \end{itemize} \item $F$ est le sous-espace vectoriel engengré par une famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ de vecteurs, \ie{} $F$ est l'ensemble des combinaisons linéaires $\sum_{k=1}^p\lambda_k\vc x_k$ avec $(\lambda_1,\dots,\vc\lambda_p)\in\K^p$; \item $F$ est le noyau d'une certaine application linéaire; \item $F$ est l'image d'une certaine application linéaire. \end{itemize} \end{quote} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Comment montrer l'égalité de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$?} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% En utilisant l'une des propositions suivantes : \begin{quote} \begin{itemize} \item la double inclusion : $F\subset G$ \textbf{et} $G\subset F$; \item \textbf{une} inclusion suffit si on possède un reseignement sur la dimension : $$ \dim(F)=\dim(G)\et F\subset G\implique F=G $$ \end{itemize} \end{quote} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Comment montrer que la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est une base de~$E$?} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% En utilisant l'une des propositions suivantes : \begin{quote} \begin{itemize} \item la définition : la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est une famille \emph{libre} \textbf{et} \emph{génératrice} de $E$; \item \textbf{une} seule propriété suffit si on possède un renseignement sur la dimension : $$ \left. \begin{array}{l} \dim(E)=p \\ \text{la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est libre} \end{array} \right\} \implique\text{la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est une base;} $$ $$ \left. \begin{array}{l} \dim(E)=p \\ \text{la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est génératrice} \end{array} \right\} \implique\text{la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est une base.} $$ \end{itemize} \end{quote} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Comment calculer la dimension d'un sous-espace vectoriel?} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% En utilisant l'une des propriétés suivantes : \begin{quote} \begin{itemize} \item la dimension de $E$ est le cardinal, \ie{} le nombre d'éléments, d'une base de $E$; \item si $E=F\oplus G$, alors $\dim E=\dim F+\dim G$; \item si $E=F\times G$, alors $\dim E=\dim F+\dim G$; \item si $E=F+G$, alors $\dim E=\dim F+\dim G-\dim F\inter G$; \item si $E$ et $F$ sont isomorphes, alors $\dim E=\dim F$; \item si $F$ est l'image ou le noyau d'une application linéaire $u\in\mathcal{L}(E,G)$, on utilise : $$ \dim E=\dim(\im u)+\dim(\ker u) $$ \end{itemize} \end{quote} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Comment démontrer que $E=F\oplus G$?} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% En utilisant l'une des propriétés suivantes : \begin{quote} \begin{itemize} \item la définition : $$ \qqs\vc x\in E,\ \exists!(\vc y,\vc z)\in F\times G,\ \vc x=\vc y+\vc z $$ \item la caractérisation : $E=F+G$ \textbf{et} $F\inter G=\{\vc 0\}$; \item \textbf{une} seule propriété suffit si on possède un renseignement sur la dimension : $$ \left. \begin{array}{l} \dim(E)=\dim(F)+\dim(G) \\ E=F+G \end{array} \right\} \implique E=F\oplus G\text{;} $$ $$ \left. \begin{array}{l} \dim(E)=\dim(F)+\dim(G) \\ F\inter G=\{\vc 0\} \end{array} \right\} \implique E=F\oplus G\text{;} $$ \end{itemize} \end{quote} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Comment calculer le rang de la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$?} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% En utilisant l'une des propriétés suivantes : \begin{quote} \begin{itemize} \item la définition : le rang d'une famille de vecteurs est la dimension de l'espace vectoriel engendré par cette famille, soit $$ \rg(\vc v_1,\dots,\vc v_p)=\dim\bigl(\text{Vect}\{\vc v_1,\dots,\vc v_p\}\bigr) $$ \item si la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est libre, alors $\rg(\vc v_1,\dots,\vc v_p)=p$; \item si le vecteur $\vc v_p$ est combinaison linéaire des vecteurs $\vc v_1,\dots,\vc v_{p-1}$, alors $$ \rg(\vc v_1,\dots,\vc v_p)=\rg(\vc v_1,\dots,\vc v_{p-1}) $$ \item soit $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_n)$ une base de $E$ et $V_j$ la matrice colonne des composantes de $\vc v_j$ relativement à $\mathcal{B}$, $V_j=\mat(\vc v_j)$, alors : $$ \rg(\vc v_1,\dots,\vc v_p)=\rg(V_1,\dots,V_p) $$ \item les manipulations sur les lignes $L_{i_0}\leftarrow L_{i_0}+\sum_{i>i_0}\lambda_i L_i$ laisse le rang invariant; \item les manipulations sur les colonnes $C_{j_0}\leftarrow C_{j_0}+\sum_{j>j_0}\lambda_j C_j$ laisse le rang invariant; \item le rang est le nombre de pivots non nuls de la matrice obtenue à la fin de la méthode du pivot de Gauss. \end{itemize} \end{quote} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Comment calculer la matrice d'une application linéaire?} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Rappelons la définition de la matrice de l'application linéaire $u\in\mathcal{L}(E,F)$ relativement aux bases $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_p)$ de $E$ et $\mathcal{C}=(\vc f_1,\dots,\vc f_n)$ de $F$ : si $A_j$ est la matrice colonne des composantes du vecteur $u(\vc e_j)$ relativement à la base $\mathcal{C}$, alors $$ \Mat{B}{C}(u)=[a_{i,j}]_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p}} =(A_1,\dots,A_n)\in\MnpK $$ Si $u\in\mathcal{L}(E)$ est un endomorphisme de $E$, on prend $\mathcal{B}=\mathcal{C}$ et $$ \mat(u)=[a_{i,j}]_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n}} =(A_1,\dots,A_n)\in\MnK $$ Comment calculer la matrice d'une application linéaire? En utilisant l'une des propriétés suivantes : \begin{quote} \begin{itemize} \item la définition, voir ci-dessus; \item si $u=\lambda v+\mu w$, alors $\mat(u)=\lambda\mat(v)+\mu\mat(v)$; \item si $u=v\rond w$, alors $\mat(u)=\mat(v)\times\mat(w)$; \item utilisation d'une matrice de changement de bases $P=\mat(\mathcal{B}')=(F_1,\dots,F_n)$ où $F_j=\mat(\vc e'_j)$ est la matrice colonne des composantes du $j$\ieme{} vecteur $\vc e'_j$ de la nouvelle base $\mathcal{B}'$ de $E$, relativement à la base $\mathcal{B}$ alors : $$ \mat[B'](u)=A'=P^{-1}AP=\mat[B'](\mathcal{B})\mat(u)\mat(\mathcal{B'}) $$ \item plus généralement, en posant $P=\mat(\mathcal{B'})$ et $Q=\mat[C](\mathcal{C'})$, alors : $$ \Mat{B'}{C'}(u)=A'=Q^{-1}AP=\mat[C'](\mathcal{C})\Mat{B}{C}(u)\mat(\mathcal{B'}) $$ \end{itemize} \end{quote}