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\chapter{Espace vectoriel normé}
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\minitoc
\newpage



        Dans ce chapitre, $\K$ désigne le corps $\R$ ou le corps $\C$, et $E$ un
$\K$-espace vectoriel de dimension finie ou non.


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\section{Un peu de vocabulaire}
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\subsection{Norme et distance}
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\begin{Df}[Norme]
        On appelle \emph{norme} sur le $\K$-espace vectoriel $E$, toute application
        $\Norme :       E\mapsto\intfo{0}{+\infty}$ vérifiant :
        \begin{prop}
                \item $\qqs\vc{x}\in E,\ \Norme(\vc{x})=0\iff
                        \vc{x}=\vc{0}$ \hspace*{\fill}\emph{ axiome de séparation};
                \item $\qqs(\lambda,\vc{x})\in\K\times E,\ 
                        \Norme(\lambda\vc{x})=\abs{\lambda}\Norme(\vc{x})$
                        \hspace*{\fill}\emph{ axiome d'homogénéité};
                \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ 
                        \Norme(\vc{x}+\vc{y})\leq\Norme(\vc{x})
                        +\Norme(\vc{y})$ \hspace*{\fill}\emph{ inégalité triangulaire}.
        \end{prop}                
\end{Df}

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\begin{Prop}[Inégalité de Minkowski]
        Pour tout $(\vc{x},\vc{y})\in E^2$, on~a :
        $$
        \abs[\big]{\Norme(\vc{x})-\Norme(\vc{y})}\leq
                \Norme(\vc{x}-\vc{y})
        $$
\end{Prop}

\begin{proof}
        En écrivant $\vc{x}=(\vc{x}-\vc{y})+\vc{y}$, on
obtient à l'aide de l'inégalité triangulaire : $\Norme(\vc{x}) \leq
\Norme(\vc{x}-\vc{y}) + \Norme(\vc{y})$, soit
$\Norme(\vc{x})-\Norme(\vc{y})\leq
\Norme(\vc{x}-\vc{y})$.
En échangeant les rôles de $\vc{x}$ et $\vc{y}$, on obtient :
$\Norme(\vc{y})-\Norme(\vc{x})\leq
\Norme(\vc{y}-\vc{x})=\Norme(\vc{x}-\vc{y})$,
ce qui donne l'inégalité annoncée.
\end{proof}
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\begin{Df}[Distance associée à une norme]                                
        Soit $\Norme$ une norme sur $E$; on appelle \emph{distance associée à}
$\Norme$ l'application $\dist : E\times E\mapsto \intfo{0}{+\infty}$ définie par :
$$
\dist(\vc{x},\vc{y})=\Norme(\vc{y}-\vc{x})
$$
\end{Df}

Les propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition :
\begin{prop}
        \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ \dist(\vc{x},\vc{y})=0
                \iff \vc{x}=\vc{y}$ \hspace*{\fill} \emph{axiome de séparation};
        \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ \dist(\vc{x},\vc{y})=
                d(\vc{y},\vc{x})$ \hspace*{\fill} \emph{axiome de symétrie};
        \item $\qqs(\vc{x},\vc{y},\vc{z})\in E^3,\
                \dist(\vc{x},\vc{z})\leq \dist(\vc{x},\vc{y})+
                \dist(\vc{y},\vc{z})$
                \hspace*{\fill} \emph{inégalité triangulaire};
        \item $\qqs (\vc{a},\vc{x},\vc{y})\in E^3,\
                \dist(\vc{x}+\vc{a},\vc{y}+\vc{a})=\dist(\vc{x},\vc{y})$
                \hspace*{\fill} \emph{invariance par translation};
        \item $\qqs(\lambda,\vc{x},\vc{y})\in\K\times E^2,\
                \dist(\lambda\vc{x},\lambda\vc{y})=\abs{\lambda}\dist(\vc{x},\vc{y})$
                \hspace*{\fill} \emph{homogénéité}.
\end{prop}

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\subsection{Boules}
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\begin{Df}[Boules ouverte et fermée]
        Soit $\vc{a}\in E$ et $r\in\into{0}{+\infty}$.

        L'ensemble $\Bo ar=\ens{\vc{x}\in E}{\Norme(\vc{x}-\vc{a})
=\dist(\vc{a},\vc{x})<r}$ est appelée \emph{boule ouverte de centre $\vc{a}$
        et de rayon $r$}.
  
        L'ensemble $\Bf ar=\ens{\vc{x}\in E}{\Norme(\vc{x}-\vc{a})
=\dist(\vc{a},\vc{x})\leq r}$ est appelée
\emph{boule fermée de centre $\vc{a}$
et de rayon $r$}.
\end{Df}

Rappelons la définition d'un ensemble convexe :
\begin{Df}[Ensemble convexe]
        Une partie $A$ de $E$ est dite \emph{convexe} si, et seulement si, pour tous $\vc x$ et
$\vc y$ de $A$, le segment d'extrémités $\vc x$ et $\vc y$ est contenu
dans $A$, \ie{} :
$$
\qqs(\vc x,\vc y)\in A,\ \qqs t\in\intf01,\ (1-t)\vc x+t\vc y\in A
$$
\end{Df}

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\begin{Prop}[Convexité des boules]
        Les boules ouvertes et les boules fermées sont des ensembles convexes.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Soient $(\vc{a},r)\in E\times\into{0}{+\infty}$; pour $\vc{x}   $ et $\vc{y}$
        dans $\Bo ar$ et $t\in\intf01$, on~a :
\begin{align*}
        d\bigl(\vc{a},(1-t)\vc{x}+t\vc{y}\bigr) 
                &= \Norme\bigl((1-t)\vc{x}+t(\vc{y}-\vc{a})\bigr)
                                = \Norme\bigl((1-t)(\vc{x}-\vc{a})+t(\vc{y}-\vc{a})\bigr)                                                                                                       \\
                &\leq \Norme\bigl((1-t)(\vc{x}-\vc{a})\bigr) +
                        \Norme\bigl(t(\vc{y}-\vc{a})\bigr)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              \\
                &= (1-t)\Norme(\vc{x}-\vc{a})+t\Norme(\vc{y}-\vc{a})
                        < (1-t)r + t\,r=r
\end{align*}
Ceci montre que $(1-t)\vc{x} +t\vc{y}\in\Bo ar$ pour tout
$t\in\intf01$, ou encore que le segment d'extrémités
$\vc{x}$ et $\vc{y}$ est contenu dans la boule ouverte $\Bo ar$.

Le lecteur ou la lectrice est invité à montrer la convexité de la boule fermée.
\end{proof}
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\section{Norme euclidienne}
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        Dans cette section, $E$ désigne un $\R$-espace vectoriel de
dimension finie ou infinie.

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\subsection{Produit scalaire réel}
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\begin{Df}[Produit scalaire]
        On appelle \emph{produit scalaire réel} sur $E$, toute forme
bilinéaire symétrique et définie positive, \ie{} toute
application $\vphi : E\times E\to\R$ telle que
\begin{prop}
        \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc
y\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire        \hfill  \emph{linéarité à
droite};

        \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc x,\vc y)=\vphi(\vc
y,\vc x)$ \hfill \emph{symétrie};

        \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$
\hfill \emph{définie positive}.
\end{prop}
\end{Df}

\begin{Df}[Espace préhilbertien réel, espace euclidien]
$E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé un
\emph{espace préhilbertien réel}. Si $E$
est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace euclidien}.
\end{Df}

        Le produit scalaire scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté
$\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$,
$\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$\dots

\begin{NBs}\alaligne

        La linéarité à droite et la symétrie impliquent la linéarité à
gauche.

        Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

        Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut
s'établir en montrant que
$$
\qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0
$$

        Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, tout produit
scalaire sur $E$ induit un produit scalaire sur~$F$.
\end{NBs}

\begin{Exs}\alaligne

\begin{prop}

\item Produit scalaire canonique sur $\R^n$ : il est défini par
$$
\qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad
\Scal xy=\sum_{k=1}^n x_k y_k
$$

        \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\R}$ : il est défini par
$$
\qqs(X,Y)\in\bigl(\Mnp[n,1]{\R}\bigr)^2,\quad
\scal XY=\trans XY=\sum_{k=1}^nx_k y_k
$$

        \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\R}$ : il est défini par
$$
\qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\R}\bigr)^2,\quad
\scal AB=\tr(\trans A B)=\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}
$$

        \item Produit scalaire sur le $\R$-espace vectoriel des fonctions continues
sur le segment $\intf ab$ et à valeurs réelles :
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\R)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\int_a^b f(t) g(t)\,\dt
$$

        \item Produit scalaire sur le $\R$-espace vectoriel des fonctions continues
sur $R$, $2\pi$-périodiques et à valeurs réelles :
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}(\R)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,\dt
$$

        \item Produit scalaire sur l'espace $\R[X]$ des polynômes à
coefficients réels :
$$
\qqs(P,Q)\in\bigl(\R[X]\bigr)^2,\
\scal PQ=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,\dt
$$
\end{prop}
\end{Exs}


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\subsection{Norme associée à un produit scalaire réel}
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        $E$ désigne un espace préhilbertien réel dont le produit
scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$.


\begin{Dfs}[Norme et distance associées]
        La norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ est
définie par
\begin{center}
        \shadowbox{$
                                \qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}
                                $}
\end{center}

        La distance associée au produit scalaire est définie par
\begin{center}
        \shadowbox{$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad
\dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x}
        =\sqrt{\scal{\vc y-\vc x}{\vc y-\vc x}}
                                $}
\end{center}


        Dans ce cas réel, la norme et la distance associée sont qualifiées
d'\emph{euclidiennes}. 
\end{Dfs}

\begin{Prop}
        L'application $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de
$E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie :
\begin{prop}
        \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$
\hfill axiome de séparation;

        \item $\qqs(\lambda,\vc x)\in\R\times E,\ \norme{\lambda\vc
x}=\abs\lambda\,\norme{\vc x}$ \hfill axiome d'homogénéité.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$;

        \monitem $\norme{\lambda\vc x}
=\sqrt{\scal{\lambda\vc x}{\lambda\vc x}}
=\sqrt{\lambda^2\Scal xx}=\abs{\lambda}\sqrt{\Scal xx}$
\end{demprop}

\end{proof}
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L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section.

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\subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme}
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\begin{Prop}
        Voici trois relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ :
\begin{prop}
        \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2={\norme{\vc x}}^2+2\Scal
xy+{\norme{\vc y}}^2$;

        \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2=
2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill
égalité du parallélogramme;

        \item $\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem Utilisons la linéarité à droite et à gauche, et la
symétrie du produit scalaire
\begin{align*}
\norme{\vc x+\vc y}^2
        &                       =                       \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy
                                +\Scal yx+\Scal yy                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      \\
        &                       =                       \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
\end{align*}
        \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient
$$
\norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
$$
Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le
résultat annoncé.
\end{demprop}
\end{proof}
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La deuxième égalité s'interprète par le
\begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme]
        La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme
est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales.
\end{Cor}

\begin{NB}
        L'égalité du parallélogramme caractérise les normes
euclidiennes, \ie{} les normes qui sont associées à un produit
scalaire (réel).
\end{NB}


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\subsection{Inégalité de Schwarz}
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\begin{Th}[Inégalité de Schwarz]
        Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a
\begin{center}
        \shadowbox{$
                                \abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
                                $}
\end{center}

\noindent
L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est
liée.
\end{Th}

\begin{proof}
        Si $\norme{\vc x}=0$, $\vc x$ est le vecteur nul, l'inégalité,
qui devient une égalité dans ce cas, est vérifiée, et la famille
$(\vc x=\vc 0,\vc y)$ est une famille liée.

        Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose pour $\lambda\in\R$
$$
T(\lambda)=\norme{\lambda\vc x+\vc y}^2
=\lambda^2\norme{\vc x}^2+2\lambda\Scal xy+\norme{\vc y}^2
$$
$T(\lambda)$ est un trinôme du second degré, que l'on écrit sous
forme canonique
\begin{equation}
0\leq T(\lambda)
=\norme{\vc x}^2\Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2
+\ra{\norme{\vc x}^2\norme{\vc y}^2-{\Scal xy}^2}{\norme{\vc x}^2}
\end{equation}
En donnant la valeur particulière
$\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient
l'inégalité annoncée.

        Dans le cas de l'égalité, on a
\begin{equation}
0\leq T(\lambda)
=\norme{\vc x}^2\Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2
\end{equation}
Donnant à $\lambda$ la valeur particulière
$\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient
$0=T(\lambda_0)=\norme{\lambda_0\vc x+\vc y}^2$, soit
$\lambda_0\vc x+\vc y=\vc 0$ et la famille $(\vc x,\vc y)$ est
une famille liée.

        Réciproquement, si la famille $(\vc x,\vc y)$ est une famille
liée, par exemple $\vc y=\mu\vc x$, alors
$$
\abs{\Scal xy}=\abs{\scal{\vc x}{\mu\vc x}}=\abs{\mu}\,\Scal xx
=\abs{\mu}\,\norme{\vc x}^2
=\norme{\vc x}\,\norme{\mu\vc x}=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
$$
\end{proof}
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\begin{Exs}
        Voici quelques exemples d'application de l'inégalité de Schwarz :
  
\begin{prop}

        \item cas de $\R^n$ :
$$
\abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n x_k y_k}
\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n x_k^2\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{k=1}^n y_k^2\Bigr)^{\ra12}
=\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}\,\sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2}
$$

        \item cas de    $\Mnp[n,1]{\R}$ : 
$$
\abs{\scal XY}=\abs{\trans XY}\leq
\bigl(\trans XX\bigr)^{\ra12}\bigl(\trans YY\bigr)^{\ra12}
=\sqrt{\trans XX}\,\sqrt{\trans YY}
$$

        \item cas de $\Mnp{\R}$ : 
$$
\abs{\scal AB}
=\abs{\tr(\trans A B)}=\abs[\Big]{\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}}
\leq\bigl(\tr(\trans AA)\bigr)^{\ra12}\bigl(\tr(\trans BB)\bigr)^{\ra12}=
\Bigl(\sum_{i,j}a_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{i,j}b_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12}
$$

        \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\R)$ : 
$$
\abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_a^b f(t) g(t)\,\dt}
\leq\Bigl(\int_a^b \bigl(f(t)\bigr)^2\,\dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_a^b \bigl(g(t)\bigr)^2\,\dt\Bigr)^{\ra12}
$$
\end{prop}
\end{Exs}

        L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls
$\vc x$ et $\vc y$ de~$E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc
x}\,\norme[]{\vc y}}$ est un réel de $\intf{-1}1$; il existe un
unique $\theta$ compris entre $0$ et $\pi$ tel que $\cos\theta$
soit égal à ce quotient, ce qui donne la

\begin{Df}[Écart angulaire entre deux vecteurs réels]\mbox{}\\
        Si $\vc x$ et $\vc y$ sont deux vecteurs non nuls d'un espace
préhilbertien réel, il existe un unique $\theta\in\intf0\pi$ tel que
$$
\Scal xy=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}\cos\theta
$$
$\theta$ est appelé \emph{l'angle (non orienté) entre $\vc x$ et
$\vc y$}; cet  angle est défini à $\pi$ près.
\end{Df}

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Prop}[Inégalité de Minkowski]
        Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$,
$$
\norme{\vc x+\vc y}\leq\norme{\vc x}+\norme{\vc y}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
        Développons $\norme{\vc x+\vc y}^2$ et utilisons l'inégalité de
Schwarz : 
$$
\norme{\vc x+\vc y}^2
        =                       \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
        \leq            \norme{\vc x}^2+2\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}+\norme{\vc y}^2
                =\bigl(\norme{\vc x}+\norme{\vc y}\bigr)^2
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}
        L'application $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une norme sur $E$.
\end{Cor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


        Dans cette section, $E$ désigne un $\C$-espace vectoriel de
dimension finie ou infinie.

\begin{NB}
        Sur $\R$, l'égalité $x_1^2+x_2^2=0$ est équivalente à $x_1=0$
\emph{et} $x_2=0$. Sur $\C$, la situation est différente; on a :
$$
0=z_1^2+z_2^2=(z_1+iz_2)(z_1-iz_2)\iff
z_1+iz_2=0 \text{\textbf{ ou }} z_1-iz_2=0
$$
tandis que
$$
0=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2
=z_1\conjug{z_1}+z_2\conjug{z_2} \iff z_1=0 \text{\textit{ et }} z_2=0
$$
\end{NB}

\begin{Df}[Produit scalaire hermitien]
        On appelle \emph{produit scalaire complexe} ou \emph{produit
scalaire hermitien} sur $E$, toute forme
\emph{sesquilinéaire à symétrie hermitienne} et \emph{définie positive}, \ie{} toute
application $\vphi : E\times E\to\C$ telle que
\begin{prop}
        \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc
y\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire        \hfill \emph{linéarité à
droite};

        \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc y,\vc x)=\conjug{\vphi(\vc
x,\vc y)}$ \hfill \emph{symétrie hermitienne};

        \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$
\hfill \emph{définie positive}.
\end{prop}
\end{Df}

\begin{Df}[Espace préhilbertien complexe, espace hermitien]\alaligne

        $E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé \emph{espace
préhilbertien complexe}. Si $E$
est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace hermitien}.
\end{Df}

        Le produit scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté
$\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$,
$\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$\dots

\begin{NBs}\alaligne

        La linéarité à droite et la symétrie hermitienne impliquent la
\emph{semi-linéarité}  à gauche, \ie{} pour tous nombres complexes
$\lambda_1$ et $\lambda_2$, pour tous vecteurs $\vc x_1$, $\vc x_2$
et $\vc y$ de $E$, 
\begin{align*}
\scal{\lambda_1\vc x_1+\lambda_2\vc x_2}{\vc y}
        &                       =                       \conjug{\scal{\vc y}{\lambda_1\vc x_1+\lambda_2\vc x_2}}
                        \qquad\text{symétrie hermitienne}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       \\
        &                       =                       \conjug{\lambda_1\scal{\vc y}{\vc x_1}
                                +\lambda_2\scal{\vc y}{\vc x_2}}
                                \qquad\text{linéarité à droite}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 \\
        &                       =                       \conjug{\lambda_1}\scal{\vc x_1}{\vc y}+
                                \conjug{\lambda_2}\scal{\vc x_2}{\vc y}
                                \qquad\text{symétrie hermitienne}
\end{align*}

        Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

        Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut
s'établir en montrant que
$$
\qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0
$$

        Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, tout produit
scalaire sur $E$ induit un produit scalaire sur~$F$.
\end{NBs}

\begin{Exs}
        Reprenons les mêmes exemples que dans le cas réel, arrangés
à la sauce complexe par l'utilisation de la
conjugaison de la première variable.
\begin{prop}

\item Produit scalaire canonique sur $\C^n$ : il est défini par
$$
\qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad
\Scal xy=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k
$$

        \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\C}$ : il est défini par
$$
\qqs(X,Y)\in\bigl(\Mnp[n,1]{\C}\bigr)^2,\quad
\scal XY=\trans\conjug{X}Y=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k
$$

        \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\C}$ : il est défini par
$$
\qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\C}\bigr)^2,\quad
\scal AB=\tr(\trans\conjug{A} B)=\sum_{i,j}\conjug{a_{i,j}} b_{i,j}
$$

        \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues sur
le segment $\intf ab$ et à valeurs complexes:
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\C)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,\dt
$$

        \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues,
$2\pi$-périodiques sur~$\R$ et à valeurs complexes:
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}\bigr)^2,\quad
\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conjug{f(t)}g(t)\,\dt
$$

        \item Produit scalaire sur l'espace $\C[X]$ des polynômes à
coefficients complexes :
$$
\qqs(P,Q)\in\bigl(\C[X]\bigr)^2,\
\scal PQ=\int_{-1}^1 \conjug{P(t)}Q(t)\,\dt
$$

\end{prop}
\end{Exs}


%--------------------------------------------------
\subsection{Norme et distance associées à un produit scalaire hermitien}
%--------------------------------------------------


        $E$ désigne un espace préhilbertien complexe dont le produit
scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$.


\begin{Dfs}[Norme et distance associées]
        Les définitions sont identiques au cas réel.
        La norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ est
définie par
\Reponse{$
        \qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}
$}

        La distance associée au produit scalaire est définie par
\Reponse{$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad
\dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x}
        =\sqrt{\scal{\vc y-\vc x}{\vc y-\vc x}}
$}
                                
        Dans ce cas complexe, on donne le qualificatif
d'\emph{hermitienne} à la norme et à la distance associées au
produit scalaire.
\end{Dfs}

\begin{Prop}[]\mbox{}
        $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de
$E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie
\begin{prop}
        \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$
\hfill séparation;

        \item $\qqs(\lambda,\vc x)\in\C\times E,\ \norme{\lambda\vc
x}=\abs\lambda\,\norme{\vc x}$ \hfill
homogénéité.
\end{prop}
\end{Prop}
\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$;

        \monitem $\norme{\lambda\vc x}
=\sqrt{\scal{\lambda\vc x}{\lambda\vc x}}
=\sqrt{\abs{\lambda}^2\Scal xx}=\abs{\lambda}\sqrt{\Scal xx}$
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------
L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[]\mbox{}
        Voici des relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ :
\begin{prop}
        \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2
={\norme{\vc x}}^2+2\RE\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2$;

        \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2=
2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill
égalité du parallélogramme;

        \item
$\RE\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$                                                      \\
$\IM\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$                                            \\
et
$\Scal xy=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)
+\ra i4\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$
\end{prop}
\end{Prop}
\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem Utilisons la linéarité à droite, la semi-linéarité à gauche et la
symétrie hermitienne du produit scalaire
\begin{align*}
\norme{\vc x+\vc y}^2
        &       = \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy
                                +\Scal yx+\Scal yy                                                                                                                                                                                                                      \\
        & =     \norme{\vc x}^2+\Scal xy+\conjug{\Scal xy}+\norme{\vc y}^2              \\
        &       =       \norme{\vc x}^2+2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2
\end{align*}

        \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient
$$
\norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2
$$
Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le
résultat annoncé.

        \monitem Changeons $\vc y$ en $-i\vc y$; on obtient, en
utilisant $\RE(-iz)=\IM z$,
\begin{align*}
{\norme{\vc x-i\vc y}}^2
        & =     {\norme{\vc x}}^2+2\RE(-i\Scal xy)+{\norme{\vc y}}^2            \\
        & =     {\norme{\vc x}}^2+2\IM\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2
\end{align*}
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------
La deuxième égalité s'interprète toujours par le
\begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme]
        La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme
est égale au double de la somme des carrés des longueurs des diagonales.
\end{Cor}

\begin{NB}
        L'égalité du parallélogramme caractérise les normes
hermitiennes, \ie{} les normes associées à un produit scalaire
complexe (ou hermitien).
\end{NB}



%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Inégalité de Schwarz}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Inégalité de Schwarz]
        Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a
\begin{center}
        \shadowbox{
$
\abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
                        $}
\end{center}
\noindent
L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est
liée.
\end{Th}
\begin{proof}
        Si $\norme{\vc x}=0$\dots{} voir le cas réel.

        Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose pour $\lambda\in\C$
\begin{align*}
0\leq T(\lambda)
        & = \norme{\lambda\vc x+\vc y}^2
                =\scal{\lambda\vc x+\vc y}{\lambda\vc x+\vc y}                                                          \\
        & =     \lambda\conjug{\lambda}\norme{\vc x}^2
                +\conjug{\lambda}\Scal xy+\lambda\conjug{\Scal xy}+\norme{\vc y}^2              \\
        & =     \norme{\vc x}^2
\Bigl(\conjug{\lambda}+\ra{\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)
\Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)
+\norme{\vc y}^2-\ra{{\Scal xy}\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2}                              \\
        & =     \norme{\vc x}^2
                \abs[\Big]{\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}}^2
                +\ra{\norme{\vc x}^2 \norme{\vc y}^2-\abs{\Scal xy}^2}{\norme{\vc x}^2}
\end{align*}

$T(\lambda)$ est un trinôme du second degré en la variable
\emph{complexe} $\lambda$, que l'on a écrit sous
sa forme canonique.
En donnant la valeur particulière
$\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient
l'inégalité annoncée.

        Le reste de la démonstration se traite comme dans le cas réel.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Exs}
        Toujours les mêmes exemples d'application de l'inégalité de
Schwarz; il suffit d'ajouter une pincée de condiment \og
conjugaison\fg{} sur la première variable et le plat est prêt.
  
\begin{prop}

        \item cas de $\C^n$ :
$$
\abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k}
\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2\Bigr)^{\ra12}
\bigl(\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2\bigr)^{\ra12}
=\sqrt{\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2}\,\sqrt{\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2}
$$

        \item cas de    $\Mnp[n,1]{\C}$ : 
$$
\abs{\scal XY}=\abs{\trans\conjug XY}\leq
\bigl(\trans\conjug{X} X\bigr)^{\ra12}\bigl(\trans\conjug{Y}Y\bigr)^{\ra12}
=\sqrt{\trans\conjug{X} X}\sqrt{\trans\conjug{Y} Y}
$$

        \item cas de $\Mnp{\C}$ : 
$$
\abs{\scal AB}=\abs{\tr(\trans\conjug{A} B)}
        =\abs[\Big]{\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}}
\leq\bigl(\tr(\trans\conjug{A}A)\bigr)^{\ra12}
                        \bigl(\tr(\trans\conjug{B}B)\bigr)^{\ra12}
        =\Bigl(\sum_{i,j} \abs{a_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12}