%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Espace vectoriel normé} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage Dans ce chapitre, $\K$ désigne le corps $\R$ ou le corps $\C$, et $E$ un $\K$-espace vectoriel de dimension finie ou non. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Un peu de vocabulaire} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Norme et distance} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Norme] On appelle \emph{norme} sur le $\K$-espace vectoriel $E$, toute application $\Norme : E\mapsto\intfo{0}{+\infty}$ vérifiant : \begin{prop} \item $\qqs\vc{x}\in E,\ \Norme(\vc{x})=0\iff \vc{x}=\vc{0}$ \hspace*{\fill}\emph{ axiome de séparation}; \item $\qqs(\lambda,\vc{x})\in\K\times E,\ \Norme(\lambda\vc{x})=\abs{\lambda}\Norme(\vc{x})$ \hspace*{\fill}\emph{ axiome d'homogénéité}; \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ \Norme(\vc{x}+\vc{y})\leq\Norme(\vc{x}) +\Norme(\vc{y})$ \hspace*{\fill}\emph{ inégalité triangulaire}. \end{prop} \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Prop}[Inégalité de Minkowski] Pour tout $(\vc{x},\vc{y})\in E^2$, on~a : $$ \abs[\big]{\Norme(\vc{x})-\Norme(\vc{y})}\leq \Norme(\vc{x}-\vc{y}) $$ \end{Prop} \begin{proof} En écrivant $\vc{x}=(\vc{x}-\vc{y})+\vc{y}$, on obtient à l'aide de l'inégalité triangulaire : $\Norme(\vc{x}) \leq \Norme(\vc{x}-\vc{y}) + \Norme(\vc{y})$, soit $\Norme(\vc{x})-\Norme(\vc{y})\leq \Norme(\vc{x}-\vc{y})$. En échangeant les rôles de $\vc{x}$ et $\vc{y}$, on obtient : $\Norme(\vc{y})-\Norme(\vc{x})\leq \Norme(\vc{y}-\vc{x})=\Norme(\vc{x}-\vc{y})$, ce qui donne l'inégalité annoncée. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Distance associée à une norme] Soit $\Norme$ une norme sur $E$; on appelle \emph{distance associée à} $\Norme$ l'application $\dist : E\times E\mapsto \intfo{0}{+\infty}$ définie par : $$ \dist(\vc{x},\vc{y})=\Norme(\vc{y}-\vc{x}) $$ \end{Df} Les propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition : \begin{prop} \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ \dist(\vc{x},\vc{y})=0 \iff \vc{x}=\vc{y}$ \hspace*{\fill} \emph{axiome de séparation}; \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ \dist(\vc{x},\vc{y})= d(\vc{y},\vc{x})$ \hspace*{\fill} \emph{axiome de symétrie}; \item $\qqs(\vc{x},\vc{y},\vc{z})\in E^3,\ \dist(\vc{x},\vc{z})\leq \dist(\vc{x},\vc{y})+ \dist(\vc{y},\vc{z})$ \hspace*{\fill} \emph{inégalité triangulaire}; \item $\qqs (\vc{a},\vc{x},\vc{y})\in E^3,\ \dist(\vc{x}+\vc{a},\vc{y}+\vc{a})=\dist(\vc{x},\vc{y})$ \hspace*{\fill} \emph{invariance par translation}; \item $\qqs(\lambda,\vc{x},\vc{y})\in\K\times E^2,\ \dist(\lambda\vc{x},\lambda\vc{y})=\abs{\lambda}\dist(\vc{x},\vc{y})$ \hspace*{\fill} \emph{homogénéité}. \end{prop} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Boules} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Boules ouverte et fermée] Soit $\vc{a}\in E$ et $r\in\into{0}{+\infty}$. L'ensemble $\Bo ar=\ens{\vc{x}\in E}{\Norme(\vc{x}-\vc{a}) =\dist(\vc{a},\vc{x})<r}$ est appelée \emph{boule ouverte de centre $\vc{a}$ et de rayon $r$}. L'ensemble $\Bf ar=\ens{\vc{x}\in E}{\Norme(\vc{x}-\vc{a}) =\dist(\vc{a},\vc{x})\leq r}$ est appelée \emph{boule fermée de centre $\vc{a}$ et de rayon $r$}. \end{Df} Rappelons la définition d'un ensemble convexe : \begin{Df}[Ensemble convexe] Une partie $A$ de $E$ est dite \emph{convexe} si, et seulement si, pour tous $\vc x$ et $\vc y$ de $A$, le segment d'extrémités $\vc x$ et $\vc y$ est contenu dans $A$, \ie{} : $$ \qqs(\vc x,\vc y)\in A,\ \qqs t\in\intf01,\ (1-t)\vc x+t\vc y\in A $$ \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Prop}[Convexité des boules] Les boules ouvertes et les boules fermées sont des ensembles convexes. \end{Prop} \begin{proof} Soient $(\vc{a},r)\in E\times\into{0}{+\infty}$; pour $\vc{x} $ et $\vc{y}$ dans $\Bo ar$ et $t\in\intf01$, on~a : \begin{align*} d\bigl(\vc{a},(1-t)\vc{x}+t\vc{y}\bigr) &= \Norme\bigl((1-t)\vc{x}+t(\vc{y}-\vc{a})\bigr) = \Norme\bigl((1-t)(\vc{x}-\vc{a})+t(\vc{y}-\vc{a})\bigr) \\ &\leq \Norme\bigl((1-t)(\vc{x}-\vc{a})\bigr) + \Norme\bigl(t(\vc{y}-\vc{a})\bigr) \\ &= (1-t)\Norme(\vc{x}-\vc{a})+t\Norme(\vc{y}-\vc{a}) < (1-t)r + t\,r=r \end{align*} Ceci montre que $(1-t)\vc{x} +t\vc{y}\in\Bo ar$ pour tout $t\in\intf01$, ou encore que le segment d'extrémités $\vc{x}$ et $\vc{y}$ est contenu dans la boule ouverte $\Bo ar$. Le lecteur ou la lectrice est invité à montrer la convexité de la boule fermée. \end{proof} %-------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Norme euclidienne} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section, $E$ désigne un $\R$-espace vectoriel de dimension finie ou infinie. %-------------------------------------------------- \subsection{Produit scalaire réel} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Produit scalaire] On appelle \emph{produit scalaire réel} sur $E$, toute forme bilinéaire symétrique et définie positive, \ie{} toute application $\vphi : E\times E\to\R$ telle que \begin{prop} \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc y\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire \hfill \emph{linéarité à droite}; \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc x,\vc y)=\vphi(\vc y,\vc x)$ \hfill \emph{symétrie}; \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$ \hfill \emph{définie positive}. \end{prop} \end{Df} \begin{Df}[Espace préhilbertien réel, espace euclidien] $E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé un \emph{espace préhilbertien réel}. Si $E$ est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace euclidien}. \end{Df} Le produit scalaire scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté $\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$, $\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$\dots \begin{NBs}\alaligne La linéarité à droite et la symétrie impliquent la linéarité à gauche. Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul. Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut s'établir en montrant que $$ \qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0 $$ Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, tout produit scalaire sur $E$ induit un produit scalaire sur~$F$. \end{NBs} \begin{Exs}\alaligne \begin{prop} \item Produit scalaire canonique sur $\R^n$ : il est défini par $$ \qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad \Scal xy=\sum_{k=1}^n x_k y_k $$ \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\R}$ : il est défini par $$ \qqs(X,Y)\in\bigl(\Mnp[n,1]{\R}\bigr)^2,\quad \scal XY=\trans XY=\sum_{k=1}^nx_k y_k $$ \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\R}$ : il est défini par $$ \qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\R}\bigr)^2,\quad \scal AB=\tr(\trans A B)=\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j} $$ \item Produit scalaire sur le $\R$-espace vectoriel des fonctions continues sur le segment $\intf ab$ et à valeurs réelles : $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\R)\bigr)^2,\quad \scal fg=\int_a^b f(t) g(t)\,\dt $$ \item Produit scalaire sur le $\R$-espace vectoriel des fonctions continues sur $R$, $2\pi$-périodiques et à valeurs réelles : $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}(\R)\bigr)^2,\quad \scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,\dt $$ \item Produit scalaire sur l'espace $\R[X]$ des polynômes à coefficients réels : $$ \qqs(P,Q)\in\bigl(\R[X]\bigr)^2,\ \scal PQ=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,\dt $$ \end{prop} \end{Exs} %-------------------------------------------------- \subsection{Norme associée à un produit scalaire réel} %-------------------------------------------------- $E$ désigne un espace préhilbertien réel dont le produit scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$. \begin{Dfs}[Norme et distance associées] La norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ est définie par \begin{center} \shadowbox{$ \qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx} $} \end{center} La distance associée au produit scalaire est définie par \begin{center} \shadowbox{$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad \dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x} =\sqrt{\scal{\vc y-\vc x}{\vc y-\vc x}} $} \end{center} Dans ce cas réel, la norme et la distance associée sont qualifiées d'\emph{euclidiennes}. \end{Dfs} \begin{Prop} L'application $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de $E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie : \begin{prop} \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$ \hfill axiome de séparation; \item $\qqs(\lambda,\vc x)\in\R\times E,\ \norme{\lambda\vc x}=\abs\lambda\,\norme{\vc x}$ \hfill axiome d'homogénéité. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$; \monitem $\norme{\lambda\vc x} =\sqrt{\scal{\lambda\vc x}{\lambda\vc x}} =\sqrt{\lambda^2\Scal xx}=\abs{\lambda}\sqrt{\Scal xx}$ \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop} Voici trois relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ : \begin{prop} \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2={\norme{\vc x}}^2+2\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2$; \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2= 2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill égalité du parallélogramme; \item $\Scal xy =\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr) =\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$ \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Utilisons la linéarité à droite et à gauche, et la symétrie du produit scalaire \begin{align*} \norme{\vc x+\vc y}^2 & = \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy +\Scal yx+\Scal yy \\ & = \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2 \end{align*} \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient $$ \norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\Scal xy+\norme{\vc y}^2 $$ Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le résultat annoncé. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- La deuxième égalité s'interprète par le \begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme] La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales. \end{Cor} \begin{NB} L'égalité du parallélogramme caractérise les normes euclidiennes, \ie{} les normes qui sont associées à un produit scalaire (réel). \end{NB} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Schwarz} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Inégalité de Schwarz] Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a \begin{center} \shadowbox{$ \abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y} $} \end{center} \noindent L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est liée. \end{Th} \begin{proof} Si $\norme{\vc x}=0$, $\vc x$ est le vecteur nul, l'inégalité, qui devient une égalité dans ce cas, est vérifiée, et la famille $(\vc x=\vc 0,\vc y)$ est une famille liée. Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose pour $\lambda\in\R$ $$ T(\lambda)=\norme{\lambda\vc x+\vc y}^2 =\lambda^2\norme{\vc x}^2+2\lambda\Scal xy+\norme{\vc y}^2 $$ $T(\lambda)$ est un trinôme du second degré, que l'on écrit sous forme canonique \begin{equation} 0\leq T(\lambda) =\norme{\vc x}^2\Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2 +\ra{\norme{\vc x}^2\norme{\vc y}^2-{\Scal xy}^2}{\norme{\vc x}^2} \end{equation} En donnant la valeur particulière $\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient l'inégalité annoncée. Dans le cas de l'égalité, on a \begin{equation} 0\leq T(\lambda) =\norme{\vc x}^2\Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2 \end{equation} Donnant à $\lambda$ la valeur particulière $\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient $0=T(\lambda_0)=\norme{\lambda_0\vc x+\vc y}^2$, soit $\lambda_0\vc x+\vc y=\vc 0$ et la famille $(\vc x,\vc y)$ est une famille liée. Réciproquement, si la famille $(\vc x,\vc y)$ est une famille liée, par exemple $\vc y=\mu\vc x$, alors $$ \abs{\Scal xy}=\abs{\scal{\vc x}{\mu\vc x}}=\abs{\mu}\,\Scal xx =\abs{\mu}\,\norme{\vc x}^2 =\norme{\vc x}\,\norme{\mu\vc x}=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y} $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Exs} Voici quelques exemples d'application de l'inégalité de Schwarz : \begin{prop} \item cas de $\R^n$ : $$ \abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n x_k y_k} \leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n x_k^2\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{k=1}^n y_k^2\Bigr)^{\ra12} =\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}\,\sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2} $$ \item cas de $\Mnp[n,1]{\R}$ : $$ \abs{\scal XY}=\abs{\trans XY}\leq \bigl(\trans XX\bigr)^{\ra12}\bigl(\trans YY\bigr)^{\ra12} =\sqrt{\trans XX}\,\sqrt{\trans YY} $$ \item cas de $\Mnp{\R}$ : $$ \abs{\scal AB} =\abs{\tr(\trans A B)}=\abs[\Big]{\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}} \leq\bigl(\tr(\trans AA)\bigr)^{\ra12}\bigl(\tr(\trans BB)\bigr)^{\ra12}= \Bigl(\sum_{i,j}a_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{i,j}b_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\R)$ : $$ \abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_a^b f(t) g(t)\,\dt} \leq\Bigl(\int_a^b \bigl(f(t)\bigr)^2\,\dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_a^b \bigl(g(t)\bigr)^2\,\dt\Bigr)^{\ra12} $$ \end{prop} \end{Exs} L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls $\vc x$ et $\vc y$ de~$E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}\,\norme[]{\vc y}}$ est un réel de $\intf{-1}1$; il existe un unique $\theta$ compris entre $0$ et $\pi$ tel que $\cos\theta$ soit égal à ce quotient, ce qui donne la \begin{Df}[Écart angulaire entre deux vecteurs réels]\mbox{}\\ Si $\vc x$ et $\vc y$ sont deux vecteurs non nuls d'un espace préhilbertien réel, il existe un unique $\theta\in\intf0\pi$ tel que $$ \Scal xy=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}\cos\theta $$ $\theta$ est appelé \emph{l'angle (non orienté) entre $\vc x$ et $\vc y$}; cet angle est défini à $\pi$ près. \end{Df} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Inégalité de Minkowski] Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, $$ \norme{\vc x+\vc y}\leq\norme{\vc x}+\norme{\vc y} $$ \end{Prop} \begin{proof} Développons $\norme{\vc x+\vc y}^2$ et utilisons l'inégalité de Schwarz : $$ \norme{\vc x+\vc y}^2 = \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2 \leq \norme{\vc x}^2+2\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}+\norme{\vc y}^2 =\bigl(\norme{\vc x}+\norme{\vc y}\bigr)^2 $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Cor} L'application $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une norme sur $E$. \end{Cor} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section, $E$ désigne un $\C$-espace vectoriel de dimension finie ou infinie. \begin{NB} Sur $\R$, l'égalité $x_1^2+x_2^2=0$ est équivalente à $x_1=0$ \emph{et} $x_2=0$. Sur $\C$, la situation est différente; on a : $$ 0=z_1^2+z_2^2=(z_1+iz_2)(z_1-iz_2)\iff z_1+iz_2=0 \text{\textbf{ ou }} z_1-iz_2=0 $$ tandis que $$ 0=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2 =z_1\conjug{z_1}+z_2\conjug{z_2} \iff z_1=0 \text{\textit{ et }} z_2=0 $$ \end{NB} \begin{Df}[Produit scalaire hermitien] On appelle \emph{produit scalaire complexe} ou \emph{produit scalaire hermitien} sur $E$, toute forme \emph{sesquilinéaire à symétrie hermitienne} et \emph{définie positive}, \ie{} toute application $\vphi : E\times E\to\C$ telle que \begin{prop} \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc y\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire \hfill \emph{linéarité à droite}; \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc y,\vc x)=\conjug{\vphi(\vc x,\vc y)}$ \hfill \emph{symétrie hermitienne}; \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$ \hfill \emph{définie positive}. \end{prop} \end{Df} \begin{Df}[Espace préhilbertien complexe, espace hermitien]\alaligne $E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé \emph{espace préhilbertien complexe}. Si $E$ est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace hermitien}. \end{Df} Le produit scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté $\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$, $\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$\dots \begin{NBs}\alaligne La linéarité à droite et la symétrie hermitienne impliquent la \emph{semi-linéarité} à gauche, \ie{} pour tous nombres complexes $\lambda_1$ et $\lambda_2$, pour tous vecteurs $\vc x_1$, $\vc x_2$ et $\vc y$ de $E$, \begin{align*} \scal{\lambda_1\vc x_1+\lambda_2\vc x_2}{\vc y} & = \conjug{\scal{\vc y}{\lambda_1\vc x_1+\lambda_2\vc x_2}} \qquad\text{symétrie hermitienne} \\ & = \conjug{\lambda_1\scal{\vc y}{\vc x_1} +\lambda_2\scal{\vc y}{\vc x_2}} \qquad\text{linéarité à droite} \\ & = \conjug{\lambda_1}\scal{\vc x_1}{\vc y}+ \conjug{\lambda_2}\scal{\vc x_2}{\vc y} \qquad\text{symétrie hermitienne} \end{align*} Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul. Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut s'établir en montrant que $$ \qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0 $$ Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, tout produit scalaire sur $E$ induit un produit scalaire sur~$F$. \end{NBs} \begin{Exs} Reprenons les mêmes exemples que dans le cas réel, arrangés à la sauce complexe par l'utilisation de la conjugaison de la première variable. \begin{prop} \item Produit scalaire canonique sur $\C^n$ : il est défini par $$ \qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad \Scal xy=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k $$ \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\C}$ : il est défini par $$ \qqs(X,Y)\in\bigl(\Mnp[n,1]{\C}\bigr)^2,\quad \scal XY=\trans\conjug{X}Y=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k $$ \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\C}$ : il est défini par $$ \qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\C}\bigr)^2,\quad \scal AB=\tr(\trans\conjug{A} B)=\sum_{i,j}\conjug{a_{i,j}} b_{i,j} $$ \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues sur le segment $\intf ab$ et à valeurs complexes: $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\C)\bigr)^2,\quad \scal fg=\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,\dt $$ \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues, $2\pi$-périodiques sur~$\R$ et à valeurs complexes: $$ \qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}\bigr)^2,\quad \scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conjug{f(t)}g(t)\,\dt $$ \item Produit scalaire sur l'espace $\C[X]$ des polynômes à coefficients complexes : $$ \qqs(P,Q)\in\bigl(\C[X]\bigr)^2,\ \scal PQ=\int_{-1}^1 \conjug{P(t)}Q(t)\,\dt $$ \end{prop} \end{Exs} %-------------------------------------------------- \subsection{Norme et distance associées à un produit scalaire hermitien} %-------------------------------------------------- $E$ désigne un espace préhilbertien complexe dont le produit scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$. \begin{Dfs}[Norme et distance associées] Les définitions sont identiques au cas réel. La norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ est définie par \Reponse{$ \qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx} $} La distance associée au produit scalaire est définie par \Reponse{$ \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad \dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x} =\sqrt{\scal{\vc y-\vc x}{\vc y-\vc x}} $} Dans ce cas complexe, on donne le qualificatif d'\emph{hermitienne} à la norme et à la distance associées au produit scalaire. \end{Dfs} \begin{Prop}[]\mbox{} $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de $E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie \begin{prop} \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$ \hfill séparation; \item $\qqs(\lambda,\vc x)\in\C\times E,\ \norme{\lambda\vc x}=\abs\lambda\,\norme{\vc x}$ \hfill homogénéité. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$; \monitem $\norme{\lambda\vc x} =\sqrt{\scal{\lambda\vc x}{\lambda\vc x}} =\sqrt{\abs{\lambda}^2\Scal xx}=\abs{\lambda}\sqrt{\Scal xx}$ \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[]\mbox{} Voici des relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ : \begin{prop} \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2 ={\norme{\vc x}}^2+2\RE\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2$; \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2= 2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill égalité du parallélogramme; \item $\RE\Scal xy =\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr) =\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$ \\ $\IM\Scal xy =\ra12\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr) =\ra14\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$ \\ et $\Scal xy=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr) +\ra i4\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$ \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Utilisons la linéarité à droite, la semi-linéarité à gauche et la symétrie hermitienne du produit scalaire \begin{align*} \norme{\vc x+\vc y}^2 & = \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy +\Scal yx+\Scal yy \\ & = \norme{\vc x}^2+\Scal xy+\conjug{\Scal xy}+\norme{\vc y}^2 \\ & = \norme{\vc x}^2+2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2 \end{align*} \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient $$ \norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2 $$ Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le résultat annoncé. \monitem Changeons $\vc y$ en $-i\vc y$; on obtient, en utilisant $\RE(-iz)=\IM z$, \begin{align*} {\norme{\vc x-i\vc y}}^2 & = {\norme{\vc x}}^2+2\RE(-i\Scal xy)+{\norme{\vc y}}^2 \\ & = {\norme{\vc x}}^2+2\IM\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2 \end{align*} \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- La deuxième égalité s'interprète toujours par le \begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme] La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme est égale au double de la somme des carrés des longueurs des diagonales. \end{Cor} \begin{NB} L'égalité du parallélogramme caractérise les normes hermitiennes, \ie{} les normes associées à un produit scalaire complexe (ou hermitien). \end{NB} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Schwarz} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Inégalité de Schwarz] Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a \begin{center} \shadowbox{ $ \abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y} $} \end{center} \noindent L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est liée. \end{Th} \begin{proof} Si $\norme{\vc x}=0$\dots{} voir le cas réel. Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose pour $\lambda\in\C$ \begin{align*} 0\leq T(\lambda) & = \norme{\lambda\vc x+\vc y}^2 =\scal{\lambda\vc x+\vc y}{\lambda\vc x+\vc y} \\ & = \lambda\conjug{\lambda}\norme{\vc x}^2 +\conjug{\lambda}\Scal xy+\lambda\conjug{\Scal xy}+\norme{\vc y}^2 \\ & = \norme{\vc x}^2 \Bigl(\conjug{\lambda}+\ra{\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2}\Bigr) \Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr) +\norme{\vc y}^2-\ra{{\Scal xy}\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2} \\ & = \norme{\vc x}^2 \abs[\Big]{\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}}^2 +\ra{\norme{\vc x}^2 \norme{\vc y}^2-\abs{\Scal xy}^2}{\norme{\vc x}^2} \end{align*} $T(\lambda)$ est un trinôme du second degré en la variable \emph{complexe} $\lambda$, que l'on a écrit sous sa forme canonique. En donnant la valeur particulière $\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient l'inégalité annoncée. Le reste de la démonstration se traite comme dans le cas réel. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Exs} Toujours les mêmes exemples d'application de l'inégalité de Schwarz; il suffit d'ajouter une pincée de condiment \og conjugaison\fg{} sur la première variable et le plat est prêt. \begin{prop} \item cas de $\C^n$ : $$ \abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k} \leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2\Bigr)^{\ra12} \bigl(\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2\bigr)^{\ra12} =\sqrt{\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2}\,\sqrt{\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2} $$ \item cas de $\Mnp[n,1]{\C}$ : $$ \abs{\scal XY}=\abs{\trans\conjug XY}\leq \bigl(\trans\conjug{X} X\bigr)^{\ra12}\bigl(\trans\conjug{Y}Y\bigr)^{\ra12} =\sqrt{\trans\conjug{X} X}\sqrt{\trans\conjug{Y} Y} $$ \item cas de $\Mnp{\C}$ : $$ \abs{\scal AB}=\abs{\tr(\trans\conjug{A} B)} =\abs[\Big]{\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}} \leq\bigl(\tr(\trans\conjug{A}A)\bigr)^{\ra12} \bigl(\tr(\trans\conjug{B}B)\bigr)^{\ra12} =\Bigl(\sum_{i,j} \abs{a_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\sum_{i,j}\abs{b_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12} $$ \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\C)$ : $$ \abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,\dt} \leq\Bigl(\int_a^b \abs{f(t)}^2\,\dt\Bigr)^{\ra12} \Bigl(\int_a^b \abs{g(t)}^2\,\dt\Bigr)^{\ra12} $$ \end{prop} \end{Exs} L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}\,\norme[]{\vc y}}$ est un nombre \emph{complexe} de module inférieur ou égal à $1$; on ne peut plus parler d'écart angulaire entre deux vecteurs d'un espace vectoriel complexe. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[]\mbox{} Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, $$ \norme{\vc x+\vc y}\leq\norme{\vc x}+\norme{\vc y} $$ \end{Prop} \begin{proof} Démonstration identique au cas réel : $$ \norme{\vc x+\vc y}^2 = \norme{\vc x}^2+2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2 \leq \norme{\vc x}^2+2\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}+\norme{\vc y}^2 =\bigl(\norme{\vc x}+\norme{\vc y}\bigr)^2 $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Cor} $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une norme sur $E$. \end{Cor} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Les normes fondamentales sur $\K^n$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %--------------------------------------------------------------------- \subsection{La norme $\Norme_1$} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df} Pour $\vc x=\nuple x\in\K^n$, on pose : $$ \Norme_1(\vc x)=\sum_{j=1}^n\abs{x_j} $$ \end{Df} \begin{Prop} L'application $\Norme_1$ est une norme sur $\K^n$. \end{Prop} \begin{proof}\alaligne\\ Séparation : $\Norme_1(\vc x) =0 \iff\sum_j\abs{x_j}=0 \iff\qqs j\in\Intf1n,\ \abs{x_j}=0 \iff \vc x=\vc0$\\ % Homogénéité : $\Norme_1(\lambda\vc x)=\sum_j \abs{\lambda x_j}= \abs{\lambda} \sum_j\abs{x_j} = \abs{\lambda}\Norme_1(\vc x)$\\ % Inégalité triangulaire : $\Norme_1(\vc x + \vc y) =\sum_{j=1}^n\abs{x_j+y_j} \leq\sum_{j=1}^n \bigl(\abs{x_j}+\abs{y_j}\bigr) =\sum_{j=1}^n\abs{x_j}+\sum_{j=1}^n\abs{y_j} =\Norme_1(\vc x)+\Norme_1(\vc y)$ \end{proof} %-------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------------------- \subsection{La norme euclidienne ou norme $\Norme_2$} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Norme euclidienne] Pour $\vc x=\nuple x\in\K^n$, on pose : $$ \Norme_2(\vc x)=\sqrt{\sum_{j=1}^n \abs{x_j}^2}=\Bigl(\sum_{j=1}^n \abs{x_j}^2\Bigr)^{1/2} $$ \end{Df} \begin{NB} La norme euclidienne $\Norme_2$ est la norme associée au produit scalaire canonique sur $\K^n$ : $$\Scal xy= \begin{cases} \quad\dsp\sum_{j=1}^n x_j y_j & \text{dans le cas réel,} \\ \quad\dsp\sum_{j=1}^n \conjug{x_j} y_j & \text{dans le cas complexe.} \end{cases} $$ \end{NB} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{La norme $\Norme_\infty$} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df} Pour $\vc x=\nuple x\in\K^n$, on pose : $$ \Norme_\infty(\vc x)= \sup\ens[\big]{\abs{x_j}}{j\in\Intf1n}=\max\ens{\abs{x_j}}{j\in\Intf1n} $$ \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} L'application $\Norme_\infty$ est une norme sur $\K^n$. \end{Prop} \begin{proof}\alaligne\\ Séparation : $ \Norme_\infty(\vc x) =0\iff\sup_{j\in\Intf1n}\abs{x_j}=0\iff\qqs j\in\Intf1n,\ \abs{x_j}=0 \iff \vc x=\vc0 $ \\ Homogénéité : $ \Norme_\infty(\lambda\vc x)=\sup_{j\in\Intf1n}\abs{\lambda x_j}= \abs{\lambda} \sup_{j\in\Intf1n}\abs{x_j} = \abs{\lambda}\Norme_\infty(\vc x) $ \\ Inégalité triangulaire : des inégalités $\abs{x_k + y_k} \leq \abs{x_k} + \abs{y_k} \leq \sup_j\abs{x_j} + \sup_j\abs{y_j}$ vraies pour tout $k\in\Intf1n$, on tire que $\sup_j\abs{x_j} + \sup_j\abs{y_j}$ est un majorant de $\ens[\big]{\abs{x_k+y_k}}{k\in\Intf1n}$; ainsi : $$ \Norme_\infty(\vc x + \vc y) = \sup_{j\in\Intf1n}\abs{x_j+y_j} \leq\sup_{j\in\Intf1n}\abs{x_j}+\sup_{j\in\Intf1n}\abs{y_j} =\Norme_\infty(\vc x)+\Norme_\infty(\vc y) $$ \end{proof} %--------------------------------------------------------------------- \section{Les normes fondamentales sur $\mathcal{C}(\intf ab)$} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsection{La norme de la convergence en moyenne} %-------------------------------------------------- \begin{Df} Pour $f\in \mathcal{C}(\intf ab)$, on pose : $$ \Norme_1(f) = \int_{a}^{b} \abs{f} = \int_{a}^{b} \abs[\big]{f(t)}\,\dt $$ \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} L'application $\Norme_1$ est une norme sur $\mathcal{C}(\intf ab)$; elle est appelée la \emph{norme de la convergence en moyenne} sur $\intf ab$. \end{Prop} \begin{proof} Puisque $\abs{f}$ est une application positive et continue sur le segment $\intf ab$, son intégrale existe et est positive, ce qui montre que $\Norme_1$ est une application de $\mathcal{C}(\intf ab)$ à valeurs dans $\intfo 0{+\infty}$. \\ Séparation : $\Norme_1(f)=\int_{a}^{b} \abs{f} = 0 \iff \qqs t\in\intf ab, \abs[\big]{f(t)}=0 \iff f=0$, car $\abs{f}$ est une fonction \textbf{positive}, \textbf{continue}, d'intégrale \textbf{nulle} sur le segment $\intf ab$. \\ Homogénéité : $\Norme_1(\lambda f) = \int_{a}^{b} \abs{\lambda f} = \abs{\lambda} \int_{a}^{b} \abs{f}=\lambda\Norme_1(f)$ \\ Inégalité triangulaire : $\Norme_1(f+g) = \int_{a}^{b} \abs{f+g}\leq \int_{a}^{b} \bigl(\abs{f} + \abs{g} \bigr) = \int_{a}^{b} \abs{f} + \int_{a}^{b} \abs{g}= \Norme_1(f) + \Norme_1(g) $ \end{proof} %-------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------------------- \subsection{La norme de la convergence en moyenne quadratique} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df} Pour $f\in \mathcal{C}(\intf ab)$, on pose : $$ \Norme_2(f) = \sqrt{\int_{a}^{b} \abs{f}^2}=\sqrt{\int_a^b \abs[\big]{f(t)}\,\dt} $$ \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} L'application $\Norme_2$ est une norme sur $\mathcal{C}(\intf ab)$; elle est appelée \emph{la norme de la convergence en moyenne quadratique} sur $\intf ab$. $\Norme_2$ est la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique sur $\mathcal{C}(\intf ab)$ : $$\scal fg= \begin{cases} \int_{a}^{b}f\,g & \text{dans le cas réel} \\ \int_{a}^{b}\conjug{f}\,g & \text{dans le cas complexe} \end{cases} $$ \end{Prop} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{La norme de la convergence uniforme} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df} Pour $f\in \mathcal{C}(\intf ab)$, on pose : $$ \Norme_\infty(f) = \sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab} = \max\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab} $$ \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} L'application $\Norme_\infty$ est une norme sur $\mathcal{C}(\intf ab)$; elle est appelée \emph{la norme de la convergence uniforme} sur $\intf ab$. \end{Prop} \begin{proof} L'application $\abs{f}$ est une application continue sur le segment $\intf ab$; elle est donc bornée et atteint ses bornes, ce qui montre que $\Norme_\infty$ est une application de $\mathcal{C}(\intf ab)$ à valeurs dans $\intfo 0{+\infty}$.\\ % Séparation : $\Norme_\infty(f) = \sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab} = 0 \iff \qqs t\in\intf ab, \abs[\big]{f(t)}=0 \iff f=0 $ \\ Homogénéité : $\Norme_\infty(\lambda f) = \sup_{t\in\intf ab}{\abs[\big]{\lambda f(t)}} = \abs{\lambda}\sup_{t\in\intf ab}{\abs[\big]{f(t)}} =\abs{\lambda}\Norme_{\infty}(f)$ \\ Inégalité triangulaire : de l'inégalité $\qqs t \in\intf ab,\ \abs[\big]{f(t)+g(t)}\leq \abs[\big]{f(t)} + \abs[\big]{g(t)} \leq \sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab}+ \sup\ens[\big]{\abs[\big]{g(t)}}{t\in\intf ab} $, on tire : $ \normi{f+g}= \sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)+g(t)}}{t\in\intf ab} \leq \sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab}+ \sup\ens[\big]{\abs[\big]{g(t)}}{t\in\intf ab} =\normi{f}+\normi{g} $ \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Les normes fondamentales sur $\MnpK$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Df} Pour $A=(a_{ij})\in\MnpK$, on pose : \begin{align*} \Norme_1(A) &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p\abs{a_{ij}} \\ \Norme_2(A) &= \sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p\abs{a_{ij}}^2} \\ \Norme_\infty(A) &= \sup\ens{\abs{a_{ij}}}{i\in\Intf1n, j\in\Intf1p} \end{align*} \end{Df} $\Norme_1$, $\Norme_2$ et $\Norme_\infty$ sont des normes sur $\MnpK$. Le lecteur est invité à démontrer ces affirmations. De plus $\Norme_2$ est la norme euclidienne associée au produit scalaire $$\scal AB= \begin{cases} \quad\tr(\trans A\,B) & \text{dans le cas réel} \\ \quad\tr(\trans \conjug A\,B) & \text{dans le cas complexe} \end{cases} $$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Les suites dans un espace vectoriel normé} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section, $E$ est un $\K$-espace vectoriel normé muni de sa norme $\norme{\ }$. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Suites convergentes} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Suite convergente, suite divergente]\alaligne On dit que la suite $(\vc u_n)_n\in E^{\N}$ à valeurs dans $E$ \emph{converge} si, et seulement si, il existe un vecteur $\vc a\in E$ tel que la suite réelle $\bigl(\norme{\vc u_n - \vc a}\bigr)_n$ converge vers~0, \ie{} : $$ \qqs\eps>0,\ \exists N_\eps\in\N,\ \qqs n\in\N,\ n\geq N_\eps\implique \norme{\vc u_n - \vc a}\leq\eps $$ On dit alors que la suite $\Suite u$ \emph{converge} vers $\vc a$, ou que $\vc a$ est la \emph{limite} de la suite $\Suite u$. Une suite qui ne converge pas est dite \emph{divergente}. \end{Df} \begin{NB} On a donc, comme \textbf{toujours} : $$ \vc u_n \tend\vc a \iff \vc u_n - \vc a\tend \vc 0 \iff\norme{\vc u_n - \vc a}\tend 0 $$ \end{NB} %------------------------------------------------- \begin{Th}[Unicité de la limite] La limite d'une suite convergente $(\vc u_n)_n$ est unique; elle est notée $\dsp\lim_{n\uparrow+\infty}\vc u_n$ ou $\dsp\lim_n \vc u_n$ ou $\lim\,(\vc u_n)_n$. \end{Th} \begin{proof} Soient $\vc a_1$et $\vc a_2$ deux limites de la suite convergente $\Suite u$; alors : $$ 0\leq \norme{\vc a_1 - \vc a_2}=\norme{\vc a_1-\vc u_n+\vc u_n-\vc a_2} \leq \norme{\vc a_1-\vc u_n}+ \norme{\vc u_n-\vc a_2} $$ et puisque les suites $\bigl(\norme{\vc u_n-\vc a_1}\bigr)_n$ et $\bigl(\norme{\vc u_n-\vc a_2}\bigr)_n$ convergent vers~0, la suite constante $\bigl(\norme{\vc a_1-\vc a_2}\bigr)_n$ tend vers 0 par encadrement; ainsi $\norme{\vc a_1-\vc a_2}=0$ et donc $\vc a_1=\vc a_2$. \end{proof} %-------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Règles de calcul} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{Limite d'une combinaison linéaire} %-------------------------------------------------- \begin{Prop}[$\K$-espace vectoriel des suites convergentes]\alaligne L'ensemble des suites convergentes à valeurs dans $E$ est un $\K$-espace vectoriel et l'application qui à toute suite convergente $\Suite u$ associe sa limite $\lim_n \vc u_n$ est une application linéaire. En d'autres termes, si $\Suite u$ converge vers $\vc a$ et $\Suite v$ vers $\vc b$, alors pour tout $(\lambda, \mu)\in\K^2$ la suite $(\lambda\vc u_n+\mu\vc v_n)_n$ converge vers $\lambda\vc a+\mu\vc b$. \end{Prop} \begin{proof} De $0\leq\norme{(\lambda\vc u_n+\mu\vc v_n)-(\lambda\vc a+\mu\vc b)} =\norme{\lambda(\vc u_n-\vc a)+\mu(\vc v_n-\vc b)}\leq \abs{\lambda}\,\norme{\vc u_n-\vc a}+\abs{\mu}\,\norme{\vc v_n-\vc b}$, on tire, par encadrement, que $\norme{(\lambda\vc u_n+\mu\vc v_n)-(\lambda\vc a+\mu\vc b)}$ tend vers 0. Puisque la suite nulle converge vers $\vc 0$, les suites convergentes constituent un sous-espace vectoriel sur $\K$ des suites quelconques sur $E$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Suite bornée} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Suite bornée]\mbox{}\\ La suite $\Suite u$ est \emph{bornée} si, et seulement si, il existe un nombre positif $M$, indépendant de $n$ tel que pour tout $n\in\N$ on ait $\norme{\vc u_n} \leq M$. \end{Df} \begin{Prop}[Suite bornée et suite de limite nulle]\mbox{}\\ Soient $\Suite u$ une suite de $E$ et $\suite\lambda$ une suite de $\K$. \begin{prop} \item Si $\Suite u$ est bornée et $\lim_n \lambda_n=0$, alors $\lim_n\lambda_n\vc u_n=\vc 0$. \item Si $\Suite u$ tend vers $\vc 0$ et $\suite\lambda$ est bornée, alors $\lim_n\lambda_n\vc u_n=\vc 0$. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne %\mbox{}\\ \begin{demprop} \monitem Puisque la suite $\Suite u$ est bornée, il existe un nombre positif $M$, indépendant de $n$, tel que pour tout $n\in\N$ on ait $\norme{\vc u_n} \leq M$. Ainsi $$ \qqs n\in \N,\ 0\leq\norme{\lambda_n\vc u_n}=\abs{\lambda_n}\,\norme{\vc u_n} \leq \abs{\lambda_n}M $$ et par encadrement $\lim_n\norme{\lambda_n\vc u_n}=0$. \monitem La suite $\suite \lambda$ est bornée si, et seulement si, il existe un nombre positif $\Lambda$, indépendant de $n$ tel que pour tout $n\in\N$ on ait $\abs{\lambda_n}\leq\Lambda$. Ainsi $$ \qqs n\in \N,\ 0\leq\norme{\lambda_n\vc u_n}=\abs{\lambda_n}\,\norme{\vc u_n} \leq \Lambda\norme{\vc u_n} $$ et par encadrement $\lim_n\norme{\lambda_n\vc u_n}=0$. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Norme de la limite d'une suite convergente} %-------------------------------------------------- \begin{Prop}%\alaligne Si $\Suite u$ est une suite convergente à valeurs dans $E$, la suite $\bigl(\norme{\vc u_n}\bigr)_n$ converge et $$ \lim_n\norme{\vc u_n}=\norme{ \lim_n\vc u_n} $$ La réciproque est fausse sauf si $\lim_n\vc u_n=\vc 0$ \end{Prop} \begin{proof} Notons $\vc a$ la limite de $\Suite u$; d'après l'inégalité de Minkowski, on a $$ \qqs n\in\N,\ 0\leq\abs[\big]{ \norme{\vc a} - \norme{\vc u_n}} \leq \norme{\vc a - \vc u_n} $$ et par encadrement $\abs[\big]{\norme{\vc a} - \norme{\vc u_n}}\tend 0$ La suite $((-1)^n)_n$ est un contre-exemple dans $\R$. \end{proof} %-------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Applications lipschitziennes} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section, $(E,\Norme)$ et $(F,\|\cdot\|)$ sont deux $\K$-espaces vectoriels normés. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Un peu de vocabulaire} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df} Soit $A$ une partie de $E$ et $\vc f$ une application de $A$ à valeurs dans $F$; $\vc f$ est dite \emph{lipschitzienne} si, et seulement si, il existe une constante $k\in\intfo 0{+\infty}$ telle que : $$ \qqs (\vc x,\vc y)\in A^2,\ \norme[\big]{\vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)} \leq k\,\Norme(\vc x-\vc y) $$ $k$ est appelé \emph{rapport de Lipschitz} de $f$, et $f$ est dite \emph{$k$-lipschitzienne}. \end{Df} L'ensemble $K$ des rapports de Lipschitz d'une fonction lipschitzienne $\vc f$ est un intervalle fermé non borné, \ie{} un intervalle du type $\intf{\alpha}{+\infty}$; ainsi il existe un plus petit rapport $\alpha$. En effet, si $k$ est un rapport, tout $k'\geq k$ est encore un rapport ce qui montre que $K$ est un intervalle non borné. D'autre part, si $\suite k$ est une suite convergente vers $\kappa$ de rapports, alors $$ \qqs n\in\N,\ \qqs (\vc x,\vc y)\in A^2,\ \norme[\big]{\vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)} \leq k_n\Norme(\vc x-\vc y) $$ et par passage à la limite sur $n$ $$ \qqs (\vc x,\vc y)\in A^2,\ \norme[\big]{\vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)} \leq \kappa\Norme(\vc x-\vc y) $$ ce qui montre que $\kappa$ est encore un rapport de Lipschitz pour $\vc f$ et donc que $K$ est fermé. %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Exemples} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{Les fonctions numériques de classe $\mathcal{C}^1$ sur un segment.} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} Toute fonction numérique de classe $\mathcal{C}^1$ sur le segment $\intf ab$ est lipschitzienne de rapport $\normi{f'}$. \end{Prop} \begin{proof} Puisque pour tout $t\in\intf ab$, $\abs{f'(t)}$ est inférieur à $\normi{f'}$, l'inégalité des accroissements finis montre que : $$ \qqs(u,v)\in{\intf ab}^2,\ \abs{f(u)-f(v)}\leq\normi{f'}\abs{u-v} $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \subsubsection{La norme} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} Si $\Norme$ est une norme sur $E$, $\Norme$ est une application lipschitzienne sur $E$ de rapport $1$. \end{Prop} \begin{proof} On considère l'application $\Norme$ de $E$ muni de la norme $\Norme$ vers $\R$ muni de la valeur absolue $\abs{\ }$; l'inégalité de Minkowski donne $$ \abs[\big]{\Norme(\vc x) - \Norme(\vc y)}\leq \Norme(\vc x-\vc y) $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{L'intégrale d'une fonction continue sur un segment} %-------------------------------------------------- % Soit la forme linéaire $I : f\in\Cab\mapsto\int_{a}^{b}f\in\K$. L'inégalité $\abs{I(f)}=\abs{\int_{a}^{b}f} \leq \int_{a}^{b}\abs{f}=\Norme_1(f)$ montre que $$ \abs{I(f) - I(g)} = \abs{I(f-g)}\leq\Norme_1(f-g) $$ et $I$ est une application 1-lipschitzienne sur $\Cab$ muni de la norme~$\Norme_1$. L'inégalité $\abs{I(f)}=\abs{\int_{a}^{b}f} \leq \int_{a}^{b}\abs{f}\leq \int_{a}^{b}\sup \abs{f}= (b-a)\,\Norme_\infty(f)$ montre que $$ \abs{I(f) - I(g)} = \abs{I(f-g)}\leq\Norme_\infty (f-g) $$ et $I$ est une application $(b-a)$-lipschitzienne sur $\Cab$ muni de la norme~$\Norme_\infty$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz $$ \abs{I(f)}=\abs[\Big]{\int_{a}^{b}f} \leq \sqrt{\int_{a}^{b}\abs{f}^2} \sqrt{\int_{a}^{b}1^2}= \sqrt{b-a}\,\Norme_2(f) $$ montre que $$ \abs{I(f) - I(g)} = \abs{I(f-g)}\leq \sqrt{b-a}\,\Norme_2 (f-g) $$ et $I$ est une application $\sqrt{b-a}$-lipschitzienne sur $\Cab$ muni de la norme~$\Norme_2$. \subsection{Opérations algébriques} \begin{Prop} Toute combinaison linéaire d'applications lipschitziennes est lipschitzienne. \end{Prop} \begin{proof} Soient $\vc f$ et $\vc g$ deux applications lipschitziennes sur $A\subset(E,\Norme)$ à valeurs dans $(F,\norme{\ })$ de rapports respectifs $k_{\vc f}$ et $k_{\vc g}$, et $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires de $\K$; on a, pour tout $(\vc x,\vc y)\in A^2$ : \begin{align*} \norme{(\lambda\vc f+\mu\vc g)(\vc x)-(\lambda\vc f+\mu\vc g)(\vc y)} &= \norme[\big]{\lambda\bigl( \vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)\bigr) + \mu\bigl( \vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)\bigr)} \\ &\leq\abs{\lambda}\,\norme[\big]{\vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)} + \abs{\mu}\,\norme[\big]{\vc g(\vc x) - \vc g(\vc y)} \\ &\leq \abs{\lambda} k_{\vc f}\Norme(\vc x-\vc y) + \abs{\mu} k_{\vc g}\Norme(\vc x-\vc y) \end{align*} et $\lambda\vc f + \mu\vc g$ est lipschitzienne de rapport $\abs{\lambda}k_{\vc f} +\abs{\mu} k_{\vc g}$. \end{proof} \begin{Prop} Toute composée d'applications lipschitziennes est lipschitzienne. \end{Prop} \begin{proof} Soient $(E,\Norme)$, $(F,\mathcal{N'})$ et $(G,\mathcal{N''})$ trois $\K$-espaces vectoriels normés, $\vc f : A\subset E\mapsto F$ et $\vc g : B\subset F\mapsto G$ deux applications lipschitziennes de rapports respectifs $k_{\vc f}$ et $k_{\vc g}$ telles que $\vc f(A)\subset B$; alors, pour tout $(\vc x,\vc y)\in A^2$, on a : $$ \mathcal{N''}\bigl(\vc g\bigl(\vc f(\vc x) \bigr)- \vc g\bigl(\vc f(\vc y) \bigr) \bigr) \leq k_{\vc g}\mathcal{N'}\bigl( \vc f(\vc x) - \vc f(\vc y) \bigr) \leq k_{\vc g}k_{\vc f}\Norme(\vc x-\vc y) $$ et $\vc g\circ \vc f$ est lipschitzienne de rapport $k_{\vc g}k_{\vc f}$. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Comparaison des normes} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section, $\Norme$ et $\mathcal{N'}$ désignent deux normes sur le \emph{même} $\K$-espace vectoriel $E$. %-------------------------------------------------- \subsection{Comparaison de normes} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Finesse] Soient $\Norme$ et $\mathcal{N'}$ deux normes sur le même $\K$-espace vectoriel~$E$; on dit que $\Norme$ est \emph{plus fine } que $\mathcal{N'}$, ou encore $\mcal{N'}$ est \emph{moins fine } que $\mcal{N}$, si, et seulement si, toute suite de $E$ qui converge vers $\vc 0$ pour $\Norme$ converge, aussi, vers $\vc 0$ pour $\mathcal{N'}$. \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation] $$ \Norme \text{ est plus fine que }\mathcal{N'}\iff \exists\alpha>0,\ \mathcal{N'}\leq\alpha\Norme $$ \end{Th} \begin{proof}\alaligne\\ % \CS Par hypothèse, $\mathcal{N'}\leq\alpha\,\Norme$, \ie{} $\qqs \vc x\in E, \mathcal{N'}(\vc x)\leq\alpha\,\Norme(\vc x)$, et donc $$ \lim_n\Norme(\vc u_n)=0 \implique \lim_n\mathcal{N'}(\vc u_n)=0 $$ % \CN Montrons la contraposée à savoir: \begin{multline*} \Bigl( \qqs\alpha>0,\exists\vc x\in E, \mathcal{N'}(\vc x)> \alpha\Norme(\vc x) \Bigr) \\ \implique\Bigl( \exists\Suite v\in E^\N\text{ telle que } \Norme(\vc v_n)\tend 0 \text{ et }\mathcal{N'}(\vc v_n) \tendpas 0\Bigr) \end{multline*} Ainsi, : $\qqs n\in\N, \exists\vc u_n\in E,\mathcal{N'}(\vc u_n) > n\Norme(\vc u_n)$; en particulier $\vc u_n\neq \vc0$ et en posant : $\vc v_n = \dfrac1{ \sqrt n\Norme(\vc u_n)}\vc u_n$, on obtient : $$ \Norme(\vc v_n)=\dfrac1{\sqrt n}\tend0\text{ et }\mathcal{N'}(\vc v_n) = \dfrac1{\sqrt n}\dfrac{\mathcal{N'}(\vc v_n)}{\Norme(\vc v_n)}> \sqrt n\tend+\infty $$ \end{proof} \begin{NB} La condition $(\exists\alpha>0,\quad \mathcal{N'}\leq\alpha\,\Norme)$ équivaut à ce que toute suite de $E$ convergente pour $\Norme$ est convergente pour $\mathcal{N'}$, car la convergence de $\Suite u$ vers $\vc a$ équivaut à la convergence de la suite $(\vc u_n - \vc a)_n$ vers $\vc 0$. \end{NB} \begin{Prop}[Finesse et application lipschitzienne]\mbox{}\\ $\Norme$ est plus fine que $\mathcal{N'}$ si, et seulement si, l'application identique de $E$ $I_E : (E,\Norme)\mapsto(E,\mathcal{N'})$ est lipschitzienne. \end{Prop} \begin{proof} $\Norme$ est plus fine que $\mathcal{N'}$ si, et seulement si, $\exists\alpha>0, \mathcal{N'} \leq \alpha\,\Norme$, si, et seulement si, $\exists\alpha > 0, \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2, \mathcal{N'}(\vc x - \vc y) \leq \alpha\,\Norme(\vc x - \vc y)$. Ainsi, $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2, \abs{\mathcal{N'}(\vc x) - \mathcal{N'}(\vc y)} \leq\mathcal{N'}(\vc x - \vc y) \leq \alpha\,\Norme(\vc x - \vc y)$, \ie{} l'application identique $I_E : (E,\Norme)\mapsto(E,\mathcal{N'})$ est $\alpha$-lipschitzienne. Réciproquement, si $I_E$ est $\alpha$-lipschitzienne, on a $\qqs \vc x\in E, \abs{\mathcal{N'}(\vc x) - \mathcal{N'}(\vc 0)} \leq\alpha\abs{\Norme(\vc x - \vc 0)}$, \ie{} $\mathcal{N'}\leq\alpha\,\Norme$. \end{proof} \subsection{Normes équivalentes} \begin{Df} Deux normes $\Norme$ et $\mathcal{N'}$ sur le même $\K$-espace vectoriel $E$ sont dites \emph{équivalentes} si, et seulement si, toute suite de $E$ convergeant pour l'une est convergente pour l'autre. \end{Df} \begin{Th}[Caractérisation] Les conditions suivantes sont équivalentes : \begin{prop} \item $\Norme$ et $\mathcal{N'}$ sont équivalentes; \item $\qqs\Suite u\in E^\N$, $\Suite u$ converge vers $\vc a$ pour $\Norme$ si, et seulement si, $\Suite u$ converge vers $\vc a$ pour~$\mathcal{N'}$; \item $\exists(\alpha,\beta)\in\into0{+\infty}\times\into0{+\infty}, \quad \alpha\,\Norme\leq\mathcal{N'}\leq\beta\,\Norme$; \item Les applications identiques $I_E : (E,\Norme)\mapsto(E,\mathcal{N'})$ et $I_E : (E,\mathcal{N'})\mapsto(E,\Norme)$ sont lipschitziennes. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} $(i) \iff (ii)$ : c'est la définition.\\ % (ii) $\iff$ (iii) car (ii) est équivalent à $\mathcal{N'}$ plus fine que $\Norme$ et $\Norme$ plus fine que $\mathcal{N'}$.\\ % (iii) $\iff$ (iv) : voir la caractérisation de la finesse par le caractère lipschitzien de l'identité. \end{proof} \begin{NBs}\mbox{}\\ Deux normes équivalentes définissent la même notion de convergence sur $E$.\\ % L'équivalence des normes est une relation d'équivalence. \end{NBs} %-------------------------------------------------- \subsection{Exemples} %-------------------------------------------------- \begin{Th} Les normes $\Norme_1$, $\Norme_2$ et $\Norme_\infty$ sont équivalentes sur $\K^n$, et on a les égalités : \begin{gather*} \Norme_\infty\leq\Norme_1\leq\sqrt n\,\Norme_2 \leq n\,\Norme_\infty \\ \Norme_\infty\leq\Norme_2\leq\Norme_1\leq n\,\Norme_\infty \end{gather*} \end{Th} \begin{proof} Soit $\vc x\in\K^n$; $$\displaylines{ \Norme_\infty(\vc x)=\sup_j\abs{x_j}=\abs{x_{j_0}} \leq\sum_j\abs{x_j}=\Norme_1(\vc x) \text{ donc }\Norme_\infty\leq\Norme_1 \hfill\cr \Norme_\infty(\vc x)=\sup_j\abs{x_j}=\abs{x_{j_0}} =\sqrt{\smash[b]{\abs{x_{j_0}}^2}}\leq\sqrt{\smash[b]{\sum_j\abs{x_j}^2}} %\hfill\cr =\Norme_2(\vc x) \text{ donc }\Norme_\infty\leq\Norme_2 \hfill\cr \Norme_1(\vc x)=\sum_j\abs{x_j}\leq \sqrt{\smash[b]{\sum_j\abs{x_j}^2}} \sqrt{\smash[b]{\sum_j1^2}} =\sqrt n\,\Norme_2(\vc x) \text{ donc }\Norme_1\leq\sqrt n\,\Norme_2 \hfill\cr \Norme_2^2(\vc x)=\sum_j\abs{x_j}^2\leq \sum_j\sup_j\abs{x_j}^2=n\,\Norme_\infty^2(\vc x)\text{ donc } \Norme_2\leq\sqrt n\,\Norme_\infty \hfill\cr \Norme_2^2(\vc x)=\sum_j\abs{x_j}^2\leq \bigl( \sum_j\abs{x_j} \bigr)^2=\Norme_1^2(\vc x) \text{ donc }\Norme_2\leq\Norme_1 \hfill\cr }$$ Les constantes trouvées sont les meilleures possibles. Le démontrer! \end{proof} \begin{Prop} Les normes $\Norme_1$, $\Norme_2$ et $\Norme_\infty$ ne sont pas équivalentes sur $\Cab$, mais on a les égalités : $$ \Norme_1\leq\sqrt{b-a}\,\Norme_2\leq(b-a)\,\Norme_\infty $$ \end{Prop} \begin{proof} Soit $f\in\Cab$;\\[1ex] $\dps \Norme_1(f)=\int_{a}^{b}\abs{f}\leq \sqrt{\int_{a}^{b}\abs{f}^2}\sqrt{\int_{a}^{b}1^2}= \sqrt{b-a}\,\Norme_2(f) \text{, donc : }\Norme_1\leq\sqrt{b-a}\,\Norme_2 $\\[1ex] $\dps \Norme_2^2(f)=\int_{a}^{b}\abs{f}^2\leq \int_{a}^{b}\sup \abs{f}^2=(b-a)\,\Norme_\infty^2(f) \text{, donc : }\Norme_2\leq\sqrt{b-a}\,\Norme_\infty $ On considère la suite de fonctions $f_n : x\in\intf ab\mapsto ( \frac{x-a}{b-a} )^n$; alors : \begin{align*} \Norme_1(f_n) &= \int_a^b\left( \dfrac{x-a}{b-a} \right)^n\,\dt[x] =\frac{b-a}{n+1} \\ \Norme_2(f_n) &= \sqrt{\int_a^b \left(\dfrac{x-a}{b-a} \right)^{2n}\,\dt[x]} =\sqrt{\frac{b-a}{2n+1}} \\ \Norme_\infty(f_n) &=1 \end{align*} Ainsi la suite $\left( n^{\ra34}f_n \right)_n$ converge en moyenne vers 0 et $\Norme_2(n^{\ra34}f_n)=n^{3/4}\sqrt{\frac{b-a}{2n+1}}$ tend vers l'infini; d'autre part, la suite $\suite f$ converge en moyenne et en moyenne quadratique vers 0, mais elle ne converge pas uniformément vers~0 sur l'intervalle~$\intf ab$. \end{proof} \subsection{\'Equivalence des normes en dimension finie} \begin{Th} Toutes les normes sur un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $E$ sont équivalentes. \end{Th} \begin{proof} Soit $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_p)$ une base de $E$, $\vc x=\sum_jx_j\vc e_j$ la décomposition de $\vc x$ sur $\mathcal{B}$. On pose : $$ \Norme_\infty(\vc x)=\sup\ens[\big]{\abs{x_j}}{j\in\Intf{1}{p}} $$ $\Norme_\infty$ est une norme sur $E$, ce qui montre qu'il en existe. Soit $\Norme$ une norme quelconque sur $E$; alors pour $\vc x\in E$ : \begin{align*} \Norme(\vc x) &=\Norme\Bigl(\sum_j x_j\vc e_j\Bigr) \leq \sum_j\abs{x_j}\Norme(\vc e_j) \\ &\leq\sum_j\bigl(\sup_j\abs{x_j}\bigr)\Norme(\vc e_j)= \Norme_\infty(\vc x)\sum_j\Norme(\vc e_j) \end{align*} Ainsi, $\dsp\Norme\leq \bigl( \sum_{j=1}^p\Norme(\vc e_j)\bigr)\Norme_\infty$ et la norme $\Norme_\infty$ est plus fine que $\Norme$. On admet que la norme $\Norme$ est plus fine que la norme $\Norme_\infty$. \end{proof} \begin{NB} Ce théorème est fondamental; il indique que sur un $\K$-espace vectoriel normé de dimension finie, il n'y a qu'\emph{une seule} notion de convergence. \end{NB} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: