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\chapter{Intégrale des fonctions numériques sur un intervalle}
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\minitoc
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\section{Intégrale des fonctions positives}
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Le but de ce paragraphe est de donner un sens, ou de n'en pas donner, à des symboles comme :
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\Bigl(-\ra{t^2}{2}\Bigr)\,\dt,\qquad
\int_0^1(-\ln x)\,\dt[x],\qquad
\int_0^{+\infty}\ra{1}{t^2}\,\dt,\qquad
\int_0^1\ra{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dt[x]
$$
symboles que l'on peut encore écrire:
$$
\int_{\R}\exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)\,\dt,\qquad
\int_{\intof01}(-\ln x)\,\dt[x],\qquad
\int_{\into{0}{+\infty}} \ra{1}{t^2}\,\dt,\qquad
\int_{\intfo01} \ra{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dt[x]
$$

  Pour $-\infty\leq a<b\leq+\infty$, il y a quatre types
d'intervalles d'extrémités $a$ et $b$ : $\intf{a}{b}$,
$\intfo{a}{b}$, $\intof{a}{b}$ et $\into{a}{b}$; ce qui donne
quatre types d'intégrales possibles, qui doivent rester
\emph{compatibles} avec l'intégrale sur un segment.

\begin{nota}
  L'espace des fonctions continues par morceaux sur l'intervalle
$I$ et à valeurs positives est noté $\CMIE[I,\R_+]$ ou encore
$\CMplI$. 
\end{nota}

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\subsection{Intégrale d'une fonction sommable}
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\begin{Df}[Fonction intégrable, sommable]\alaligne

  Une fonction $f\in\CMplI$ est dite \emph{intégrable} ou
\emph{sommable} sur l'intervalle $I$, si, et seulement si, l'ensemble
$\ens[\big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I}$ est majoré, \ie
\Reponse{$\dps
\text{$f$ est sommable sur $I$}
\iff
\exists M>0,\ \qqs S\text{ segment }\subset I,\ \int_S f\leq M
$}
\end{Df}
La non-sommabilité de $f$ sur l'intervalle $I$ s'exprime par 
$$
\text{$f$ n'est pas sommable sur $I$}
\iff
\qqs M>0,\ \exists S\text{ segment }\subset I,\ \int_S f > M
$$

\begin{Df}[Intégrale d'une fonction]\alaligne
  
  Si $f$ est une fonction sommable sur l'intervalle $I$, on appelle
\emph{intégrale de $f$ sur $I$}, et on la note $\int_I f$,
la borne supérieure de $\ens[\big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I}$.
\Reponse{$\dps
\int_I f = \sup\ens[\Big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I}
$}
Si $f$ n'est pas sommable sur l'intervalle $I$, alors 
$\sup_S \{\int_S f\}=+\infty$.
\end{Df}

\begin{NB}
  Toute fonction positive et continue par morceaux sur le segment
$\intf {a}{b}$ est sommable sur ce segment et son intégrale est
égale à l'intégrale habituelle.
\end{NB}


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\subsection{Sommabilité par réunion croissante de segments}
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  Au lieu de prendre la borne supérieure des intégrales $\int_S
f$ sur tous les segments $S$ de $I$, on peut se restreindre à une
suite de segments bien choisis.

\begin{Df}[Suite croissante de segments vers $I$]\alaligne
  
  On dit que la suite de segments $\suite S$ est \emph{croissante
vers $I$} si, et seulement si,
$$
\qqs n\in\N,\ S_n\subset S_{n+1}\quad\et\quad
\bigcup_{n\in\N}S_n=I
$$
\end{Df}

\begin{NBs}\alaligne

  Notons $a_n$ et $b_n$ les extrémités de $S_n$, soit 
$S_n=\intf{a_n}{b_n}$; $S_n$ est inclus dans $S_{n+1}$ si, et
seulement si, $a_n\geq a_{n+1}$ et $b_n\leq b_{n+1}$; la suite
$\suite S$ est croissante si, et seulement si, $\suite a$ est une
suite monotone décroissante et $\suite b$ monotone croissante et
$\bigcup_n\intf{a_n}{b_n}$ est un intervalle d'extrémités $a=\lim
a_n$ et $b=\lim_n b_n$.

  La suite $\suite S$ est croissante vers $\intfo ab$ si, et
seulement si, $\suite a$ est une suite décroissante qui stationne
en $a$ et $\suite b$ est une croissante non stationnaire de limite $b$.

  Soient $a<b$ deux nombres réels distincts et $n_0$ un entier
tel que $a\leq b-1/n_0< b$; alors la suite
$\bigl(\intf{a}{b-1/n}\bigr)_{n\geq n_0}$ est croissante vers $\intfo ab$. 

  La suite $\bigl(\intf{a}{n}\bigr)_{n>a}$ est croissante vers
$\intfo{a}{+\infty}$.

  Si $I=\intof{a}{b}$, on a des résultats analogues; de même pour
$I=\into{a}{b}$.
\end{NBs}

\begin{Prop}
  Si $\suite S$ est une suite de segments croissante vers $I$,
pour tout segment $K$ inclus dans $I$, il existe un entier $p$
tel que $K\subset S_{p}\subset I$.
\end{Prop}
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\begin{Prop}
  Soit $f\in\CMplI$; alors
\begin{prop}
  \item   $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, il existe
une suite $\suite S$ de segments croissante vers $I$ et un
nombre $M>0$ tels que
$$
\qqs n\in\N,\ \int_{S_n}f\leq M
$$

  \item   si $f$ est sommable sur $I$, alors pour \emph{toute} suite
$\suite T$ de segments croissante vers $I$
$$
\int_I f=\sup_n \int_{T_n}f =\lim_n \int_{T_n}f  
$$
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem\alaligne\\
%
\CS   Tout segment $K\subset I$ est contenu dans un $S_n$ et les inégalités
$$
\int_K f\leq\int_{S_n} f\leq M
$$
montrent que $f$ est intégrable sur $I$.\\
%
\CN   Partons d'une suite $\suite T$ de segments croissante vers
$I$. Puisque $f$ est intégrable sur $I$, la propriété de la borne
supérieure montre que :
$$
\qqs n\in\N,\ \exists K_n\text{ segment}\subset I,\
\int_I f - \ra1{n+1} < \int_{K_n} f \leq \int_I f
$$
Il suffit d'extraire de $\suite T$ une sous-suite
$\bigl(T_{\vphi(n)}\bigr)_n$ telle que $K_n\subset T_{\vphi(n)}$ pour tout
$n$. La suite $\suite S=\bigl(T_{\vphi(n)}\bigr)_n$ convient puisque
$$
\qqs n\in\N,\
\int_I f-\ra1{n+1} < \int_{K_n}f\leq\int_{K_{\vphi(n)}}f=\int_{S_n}f
  \leq\int_I f
$$

  \monitem  Si $\suite T$ est une suite de segments croissante
vers $I$, la suite $\bigl(\int_{T_n} f \bigr)_n$ est une suite croissante de
réels (positifs), majorée par $\int_I f$ donc convergente vers sa
borne supérieure et
$$
\lim_n\int_{T_n} f = \sup_n\int_{T_n} f\leq\int_I f
$$

  Tout segment $K$ de $I$ est contenu dans un des $T_p$ et
$$
\int_K f\leq\int_{T_p} f\leq\sup_n\int_{T_n} f
$$
Ainsi, $\sup_n\int_{T_n} f$ est un majorant des intégrales
$\int_K f$, ce qui donne
$$
\int_I f=\sup\ens[\Big]{\int_K f}{\text{$K$ segment contenu dans $I$}}
\leq\sup_n\int_{T_n} f
$$
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{Th}[Intégrabilité par réunion croissante de segments]\alaligne

  Soit $\suite S$ est une suite de segments croissante vers $I$;
$f\in\CMplI$ est intégrable sur $I$ si, et seulement si,
$\lim_n\int_{S_n} f$ existe dans $\R$; dans ce cas,
$$
\int_I f=\lim_n\int_{S_n} f=\sup_n\int_{S_n} f
$$
Sinon, $f$ n'est pas intégrable sur $I$ et
$\lim_n\int_{S_n} f=\sup_n\int_{S_n} f=+\infty$.
\end{Th}

\begin{Exs}
  Cas des primitives explicitées par des fonctions élémentaires.\\
%
$\int_{\intof 01}(-\ln t)\,\dt$ : on utilise la suite de segments
$S_n=\intf{1/n}{1}$ et
$$
\int_{\intf{1/n}{1}} (-\ln t)\,\dt=-t\ln t-t\entre{t=1/n}{t=1}
  \tend 1=\int_{\intof01} (-\ln t)\,\dt
$$
%
$\int_{\into{0}{+\infty}}t^{-2}\,\dt$ : on utilise la suite de segments
$S_n=\intf{\ra1n}{n}$ et
$$
\int_{\intf{1/n}{n}}\ra{1}{t^2}\,\dt=-\ra1t\entre[\bigg]{t=\ra1n}{t=n}\tend +\infty
\text{ \ie{} $\dps t \mapsto \ra1{t^2}$ n'est pas intégrable sur $\into0{+\infty}$}
$$

  Cas des primitives qui ne sont pas explicitées par des fonctions
élémentaires.\\
$\int_{\R} \exp(-t^2/2)\,\dt$ : on utilise la suite de segments
$S_n=\intf{-n}{n}$ et
$$
\int_{\intf{-n}{n}} \exp(-t^2/2)\,\dt=2\int_0^n\exp(-t^2/2)\,\dt=
2\int_0^1\exp(-t^2/2)\,\dt+2\int_1^n\exp(-t^2/2)\,\dt
$$
Or, pour tout $t\geq 1$, $\exp(-t^2/2)\leq t\exp(-t^2/2)$
et
$$
\int_1^n\exp(-t^2/2)\,\dt
\leq\int_1^n t\exp(-t^2/2)\,\dt
=-\exp(-t^2/2)\entre[\Big]{t=1}{t=n}<\exp(-1/2)
$$
ce qui donne
$$
\int_{\intf{-n}{n}} \exp(-t^2/2)\,\dt 
< 2\int_0^1 \exp(-t^2/2)\,\dt+2\exp(-1/2)
$$
La fonction $t\mapsto \exp(-\ra{t^2}{2})$ est donc intégrable sur $\R$.
On démontrera que
\Reponse{$\dsp
\int_{\R}\exp(-t^2/2)\,\dt=\sqrt{2\pi}
$}
\end{Exs}


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\subsection{Intégrabilité sur un segment}
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\begin{Th}[Intégrales sur $\intf ab$, $\intfo ab$, $\intof ab$ et
$\into ab$]\alaligne

  Toute fonction positive et continue par morceaux sur le segment
$\intf ab$ est intégrable sur ce segment, ainsi que sur les
intervalles $\intfo ab$, $\intof ab$ et $\into ab$; les quatre
intégrales sont égales à l'intégrale habituelle, celle du
chapitre précédent.
\end{Th}

\begin{proof}
  $\intf ab$ est un segment particulier de $I=\intf ab$; donc,
$\sup_S\int_S f=\int_{\intf ab}f=\int_a^b f$.

  Dans le cas $I=\intfo ab$, posons $S_n=\intf a{b-1/n}$
pour $n>1/(b-a)$, et appelons $F$ une primitive de $f$ sur
$\intf ab$; alors
$$
\int_{S_n} f=\int_a^{b-1/n} f(t)\,\dt=F(b-1/n)-F(a)
\tend F(b)-F(a)=\int_a^b f
$$
puisque $F$ est continue sur $\intf ab$. La fonction $f$ est donc intégrable
sur $\intfo ab$ et $\int_{\intfo ab}f=\int_a^b f$.

  La démonstration est analogue pour $I=\intof ab$, on pose
$S_n=\intf{a+1/n}{b}$ pour $n>1/(b-a)$, et pour $I=\into ab$,
on pose $S_n=\intf{a+1/n}{b-1/n}$ pour $n>\bigl(2(b-a)\bigl)^{-1}$.
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  L'extension de l'intégrale est donc compatible avec l'intégrale précédente.

  Une démonstration analogue montre que si $f$ est intégrable sur $\intfo
ab$,  $f$ est intégrable sur $\into ab$ et les deux intégrales
sont égales. On a un résultat identique pour $I=\intof ab$.
\end{NBs}

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\subsection{Intégrabilité par intersection}
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\begin{Th}[Intégrabilité par intersection]\alaligne
  
  Soient $I$ un intervalle et $c\in I$; posons
$I^g=I\cap\intof{-\infty}{c}$ et $I^d=I\cap\intfo{c}{+\infty}$.
Pour $f\in\CMplI$, $f$ est intégrable sur $I$ si, et seulement
si, $f$ est intégrable sur $I^g$ et $I^d$ et dans ce cas
$$
\int_I f=\int_{I^g} f + \int_{I^d} f
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$;
$(S_n^g)_n=(S_n\cap\intof{-\infty}c)_n$ (resp.
$(S_n^d)_n=(S_n\cap\intfo c{+\infty})_n$) est une suite de
segments croissante vers $I^g$ (resp. $I^d$) et la relation de
Chasles donne $\int_{S_n} f=\int_{S_n^g} f + \int_{S_n^d} f$.

  Si $f$ est intégrable sur $I$, les inégalités $\int_{S_n^g}
\leq\int_{S_n}f\leq\int_I f$ (resp. $\int_{S_n^d}
\leq\int_{S_n}f\leq\int_I f$) montrent que $f$ est intégrable sur
$I^g$ (resp. $I^d$).

  Réciproquement, si $f$ est intégrable sur $I^g$ et $I^d$, les inégalités 
$\int_{S_n} f=\int_{S_n^g} f+\int_{S_n^d}f\leq\int_{I^g}f+\int_{I^d}f$
montrent que $f$ est intégrable sur $I$.

  Dans ce cas,
$\lim_n\int_{S_n}f=\lim_n\int_{S_n^g}f+\lim_n\int_{S_n^d}f$, soit
$\int_I f=\int_{I^g}f+\int_{I^d}f$.
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  Montrer l'intégrabilité sur l'intervalle ouvert $\into ab$, c'est montrer
l'intégrabilité sur les intervalles $\intof ac$ et $\intfo cb$ pour $c$ choisi
dans $\into ab$.

  Montrer l'intégrabilité sur l'intervalle $\intfo ab$, c'est montrer
l'intégrabilité sur l'intervalle $\intfo cb$ pour $c$ choisi dans $\into ab$,
puisque toute fonction positive et continue par morceaux est
intégrable sur le segment $\intf ac$.
\end{NBs}

\begin{Th}[Additivité de l'intégrale]\alaligne

  Soient $f\in\mcal{CM}^+(\intfo ab)$ et $c\in\intfo ab$; alors
$f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, $f$ est
intégrable sur $\intfo cb$ et, dans ce cas,
$$
\int_{\intfo ab}f=\int_{\intf ac}f+\int_{\intfo cb}f
$$

  Soient $f\in\mcal{CM}^+(\into ab)$ et $c\in\intfo ab$; alors
$f$ est intégrable sur $\into ab$ si, et seulement si, $f$ est
intégrable sur $\intof ac$ \emph{et} sur $\intfo cb$ et, dans ce cas,
$$
\int_{\into ab}f=\int_{\intof ac}f+\int_{\intfo cb}f
$$
\end{Th}

\subsection{Sommabilité sur $\intfo ab$ à l'aide d'une primitive}

  Rappelons le résultat suivant sur les fonctions réelles, continues et
monotones.

\begin{Lem}
  Soient $F$ une fonction réelle définie sur $\intfo ab$ et
$\suite b$ une suite de $\intfo ab$, monotone croissante et de
limite $b$; alors
\begin{prop}
  \item   si $F$ est continue, l'existence de $\lim_{t\uparrow b}F(t)$ implique
    l'existence de $\lim_n F(b_n)$ et les limites sont égales;
  \item si $F$ est monotone croissante, $F$ est majorée si, et seulement si la
    suite $(F(b_n))_n$ est majorée, et dans ce cas $\lim_{t\uparrow b}F(t) =
    \lim_n F(b_n)$; 
  \item si $F$ est monotone décroissante, $F$ est minorée si, et seulement si la
    suite $(F(b_n))_n$ est minorée, et dans ce cas $\lim_{t\uparrow b}F(t) =
    \lim_n F(b_n)$; 
\end{prop}
\end{Lem}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  C'est bien connu;
  
  \monitem  Tout majorant de $F$ sur $\intfo ab$ est aussi un
majorant de la suite $(F(b_n))_n$. Puisque $\suite b$ admet $b$ pour limite,
pour tout $t\in\intfo ab$ il existe un entier $n_t$ tel que $t\leq b_{n_t}<b$,
et, $F$ étant croissante, $F(t)\leq F(b_n)$; ainsi, tout majorant de la suite
$(F(b_n))_n$ est aussi un majorant de $F$ sur $\intfo ab$. Par conséquent,
$\sup_{t\in\intfo ab}F(t)=\sup_n F(b_n)$, ce qui montre l'égalité des limites.

  \monitem La démonstration est identique.
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{Th}[Sommabilité et accroissement d'une primitive]\alaligne

  Soit $f$ une fonction positive et continue par morceaux sur $\intfo ab$; alors
$$
\reponse{
$f$ est intégrable sur $\intfo ab\iff F : x\mapsto\int_a^x f(t)\,\dt$
est majoré;\\[1ex]
dans ce cas
$\dps\int_{\intfo ab}f=\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt$
}
$$
sinon \hfill$\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt=+\infty$\hspace*{\fill}
\end{Th}

\begin{proof}
  $F : x\mapsto \int_a^x f(t)\,\dt$ est une fonction continue, de classe
$\mcal{C}^1$ par morceaux sur $\intfo ab$ et croissante ($f$ est positive). Soit
$\suite b$ une suite croissante de limite $b$; $(\intf a{b_n})_n$ est une
suite de segments croissante vers $\intfo ab$ et $f$ est intégrable sur $\intfo ab$
si, et seulement si, la suite $(\int_{\intf a{b_n}}f)_n=(F(b_n))_n$ est majorée.
Le lemme précédent permet de conclure.

\end{proof}
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  \begin{Exs}
$\int_{\intof 01}(-\ln t)\,\dt$ : on considère
$$
\int_x^1 (-\ln t)\,\dt=-t\ln t-t\entre{t=x}{t=1}
  \tend[x\downarrow 0] 1=\int_{\intof01} (-\ln t)\,\dt
$$

  $\int_{\intfo01}(1-t^2)^{-\ra12}\,\dt$ : considérons
$$
\int_0^x \ra{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\dt=\arcsin t\entre{t=0}{t=x}
\tend[x\uparrow 1]\ra{\pi}{2}=\int_{\intfo01}\ra{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\dt
$$
\end{Exs}



\begin{Prop}[Intégrale de Bertrand]\alaligne

  $\dps t\mapsto\ra1{t(\ln t)^\beta}$ est intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$ si,
et seulement si, $\beta>1$.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Le changement de variable $u=\ln t$, $\dt[u]=t^{-1}\,\dt$ permet d'écrire
\begin{equation}
  \int_2^x\ra{1}{t(\ln t)^\beta}\,\dt=\int_{\ln 2}^{\ln x}\ra{1}{u^\beta}\,\dt[u]=
  \begin{cases}
    \dps\ra{(\ln x)^{-\beta+1}-(\ln 2)^{-\beta+1}}{-\beta+1}
      &   \text{ si $\beta\neq1$}   \\
    \ln u=\ln(\ln x)-\ln(\ln 2)
      &   \text{ si $\beta=1$}
  \end{cases}
\end{equation}
et$\dps\lim_{x\uparrow+\infty}\int_2^x\ra{dt}{t(\ln t)^\beta}$ existe si, et
seulement si, $-\beta+1<0$.
\end{proof}
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\subsection{Les références fondamentales}
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\subsubsection{La fonction exponentielle}
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\Reponse{
$\dps\text{Pour $\lambda\in\R$, }
t\mapsto\exp(-\lambda t)\text{ est intégrable sur $\intfo0{+\infty}$}
\iff\lambda>0$\\
Dans ce cas, $\dps\int_{\intfo0{+\infty}}\exp(-\lambda t)\,\dt=\ra{1}{\lambda}$
}

\begin{proof}
  Si $\lambda\neq0$,
$\int_0^x\exp(-\lambda t)\,\dt=\ra{1}{-\lambda}(\exp(-\lambda x)-1)$
a une limite (finie) quand $x\to+\infty$ si, et seulement si $\lambda>0$; dans ce
cas, cette limite est $\ra{1}{\lambda}$. Si $\lambda=0$,
$\int_0^x 1\,\dt=x\tend[x\uparrow+\infty]+\infty$.
\end{proof}
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\subsubsection{La fonction logarithme}
%--------------------------------------------------
$$
\reponse{$\dps t\mapsto -\ln t$ est intégrable sur $\intof01$ et
$\dps\int_{\intof01}(-\ln t)\,\dt=1$}
$$

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Les intégrales de Riemann}
%--------------------------------------------------
  Soient $a>0$ et $\alpha\in\R$; $t\mapsto t^{-\alpha}$ est-elle
intégrable sur $\intof0a$, sur $\intfo{a}{+\infty}$, sur
$\into0{+\infty}$?
$$
\reponse{
$t\mapsto t^{-\alpha}$ est intégrable sur $\intof0a$
  $\iff\alpha<1$;\\[1ex]
$t\mapsto t^{-\alpha}$ est intégrable sur $\intfo{a}{+\infty}$
  $\iff\alpha>1$;\\[1ex]
$t\mapsto t^{-\alpha}$ N'EST PAS INTÉGRABLE sur $\into0{+\infty}$.
}
$$
\begin{proof}\alaligne

  Soit $I=\intof0a$; calculons
$$
\int_x^1 \ra1{t^{\alpha}}\,\dt=
\begin{cases}
  \dps
  \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=x}{t=a}
    =\ra{a^{-\alpha+1}-x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}
    &\tend[x\downarrow 0]
    \begin{cases}
      \dps
      \ra{a^{1-\alpha}}{1-\alpha}   &   \text{si $\alpha<1$}  \\
      +\infty           &   \text{si $\alpha>1$}
    \end{cases}                                                         \\
  \ln t\entre{t=x}{t=a}=\ln a-\ln x
    &   \tend[x\downarrow 0] +\infty\text{ si $\alpha=1$}
\end{cases}
$$
  
  Pour $I=\intfo{a}{+\infty}$, calculons
$$
\int_a^x \ra1{t^\alpha}\,\dt=
\begin{cases}
  \dps
  \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=a}{t=x}
    =\ra{x^{-\alpha+1}-a^{\alpha-1}}{-\alpha+1}
    &\tend
    \begin{cases}
      +\infty                         &   \text{si $\alpha<1$}  \\
      \dps\ra{1}{(\alpha-1)a^{\alpha-1}}  &   \text{si $\alpha>1$}
    \end{cases}                                                         \\
  \ln t\entre{t=a}{t=x}=\ln x - \ln a
    &   \tend +\infty\text{ si $\alpha=1$}
\end{cases}
$$

  Pour $I=\into{0}{+\infty}$, posons $S_n=\intf{1/n}{n}$ et calculons
$$
\int_{S_n}\ra1{t^\alpha}\,\dt=\int_{n^{-1}}^n\ra1{t^\alpha}\,\dt=
\left.
\begin{cases}
  \dps
  \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=n^{-1}}{t=n}
    =\ra{n^{-\alpha+1}-n^{\alpha-1}}{-\alpha+1}
    &   \text{ si $\alpha\neq 1$}                             \\[2ex]
  \ln t\entre{t=n^{-1}}{t=n}=2\ln n
    &   \text{ si $\alpha=1$}
\end{cases}
\right\}
\tend +\infty
$$
\end{proof}

\begin{NBs}
  La fonction $t\mapsto (b-t)^{-\alpha}$ (resp. $t\mapsto (t-b)^{-\alpha}$) est
intégrable sur l'intervalle $\intfo cb$ avec $c<b$ (resp. sur l'intervalle
$\intof bc$ avec $b<c$) si, et seulement si, $\alpha<1$.

  La fonction $t\mapsto (t-b)^{-\alpha}$ n'est \emph{jamais} intégrable sur
l'intervalle $\into b{+\infty}$.

  La fonction $t\mapsto (1+t^\alpha)^{-1}$ est intégrable sur l'intervalle
$\into0{+\infty}$ si, et seulement si, $\alpha>1$.
\end{NBs}



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\section{Opérations sur les fonctions intégrables}
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\subsection{Sommabilité par combinaison linéaire à coefficients positifs}
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\begin{Th}[Combinaison linéaire de fonctions sommables]\alaligne

  Soient $f$ et $g$ deux éléments de $\CMplI$; alors
\begin{prop}
  \item   si $f$ et $g$ sont sommables sur $I$, $f+g$ est sommable sur $I$ et
$$
\int_I(f+g)=\int_I f+\int_I g
$$

  \item   si $f$ est sommable sur $I$, pour tout $\lambda>0$, $\lambda f$ est
sommable sur $I$ et
$$
\int_I \lambda f=\lambda\int_I f
$$
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$;
  
\begin{demprop}
  \monitem  $\qqs n,\ \int_{S_n}(f+g)=\int_{S_n}f+\int_{S_n}g\tend\int_I f
+ \int_I g$; donc $f+g$ est sommable sur $I$ et
$\int_I(f+g)=\int_I f+\int_I g$. 

  \monitem  $\int_{S_n}\lambda f=\lambda\int_I f\tend\lambda\int_I f$ ce qui
montre la sommabilité de $\lambda f$ et l'égalité
$\int_I \lambda f=\lambda\int_I f$.
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{NB}
  Pour des raisons techniques (les fonctions considérées sont à valeurs réelles
positives pour le moment), les scalaires sont positifs; dans la prochaine
section, les scalaires seront des nombres réels quelconques, et même des nombres
complexes.
\end{NB}

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\subsection{Sommabilité par comparaison}
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\begin{Th}[Comparaison globale]\alaligne

  Soient $f$ et $g\in\CMplI$ telles que : $\qqs t\in I,\ 0\leq f(t)\leq g(t)$;
alors
\begin{prop}
  \item   si $g$ est sommable sur $I$, $f$ est sommable sur $I$ et
$\dps0\leq\int_I f\leq\int_I g$;

  \item   si $f$ n'est pas  sommable sur $I$, $g$ n'est pas sommable sur $I$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$; alors
$$
0\leq f\leq g\implique\qqs n,\ 0\leq\int_{S_n}f\leq\int_{S_n}g
$$
\begin{demprop}
  \monitem  si $g$ est sommable sur $I$, $\int_I g$ est un majorant de
$\int_{S_n}f$, ce qui montre que $f$ est sommable sur $I$ et
$0\leq\int_I f\leq\int_I g$;

  \monitem  si $f$ n'est pas sommable sur $I$, $sup_n\int_{S_n}f=+\infty$,
donc $\sup_n\int_{S_n}g=+\infty$ et $g$ n'est pas sommable sur $I$.
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{NB}
  Ce théorème est essentiel : il permet de montrer la sommabilité d'une fonction
sans en calculer une primitive.
\end{NB}

\begin{Cor}
  Soient $f$ et $g\in\CMplI$; s'il existe $A>0$ et $B>0$ tels que
$$
\qqs t\in I,\qquad 0\leq A\,f(t)\leq g(t)\leq B\,f(t)
$$
alors, $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $g$ est sommable sur $I$.
\end{Cor}

\begin{proof}
  Si $f$ est sommable, alors $B\,f$ est sommable, et $g$ est sommable par comparaison
globale ($g\leq B\,f$).
  Si $g$ est sommable, alors $\ra1A\,f$ est sommable ($A>0$), et $f$ est sommable par
comparaison globale ($f\leq \ra1A\,g$). 
\end{proof}
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\begin{Th}[Comparaison locale, intégrabilité sur $\intfo ab$]\alaligne

  Soient $f$ et $g\in\mcal{CM}^+(\intfo ab)$;
\begin{prop}
  \item   $f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, il existe
$c\in\into ab$ tel que $f$ soit intégrable sur~$\intfo cb$;
  \item   si $\dps f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$, alors l'intégrabilité de $g$ sur
$\intfo ab$ implique l'intégrabilité
de $f$ sur $\intfo ab$, et la non-intégrabilité de $f$ sur $\intfo ab$ implique
la non-intégrabilité de $g$ sur $\intfo ab$;
  \item   si $f\buildrel{\sim}_b^{} g$, alors $f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et
seulement si, $g$ est intégrable sur $\intfo ab$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  Déjà vu; rappelons qu'une fonction continue par morceaux est
intégrable sur tout segment;
  \monitem  si $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$, il existe un voisinage $\intfo cb$ de
$b$ et un nombre réel $M>0$ tels que $\qqs t\in\intfo cb,\ f(t)\leq M\,g(t)$, ce qui
assure l'intégrabilité de $f$ sur $\intfo cb$, et donc sur $\intfo ab$;
  \monitem  si $f\buildrel{\sim}_b^{} g$, alors $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$ et
$g\buildrel{=}_b^{}\OO{f}$, ce qui montre l'équivalence annoncée. 
\end{demprop}
\end{proof}
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\subsubsection{Intégrale de Bertrand, suite et fin}

\Reponse{$\dps t\mapsto\ra1{t^\alpha(\ln t)^\beta}$ est intégrable sur
$\intfo 2{+\infty} \iff \alpha>1\text{ ou }(\alpha=1\et\beta>1)$
}

\begin{proof}
  La fonction $t\mapsto t^{-\alpha}(\ln t)^{-\beta}$ est continue sur
l'intervalle $\intfo 2{+\infty}$.
  
  Le cas $\alpha=1$ déjà été étudié.

  Cas $\alpha>1$; on pose $\alpha = 1+2\eps$; $\eps$ est donc un nombre
strictement positif et
$$
f(t) = \ra1{t^{1+2\eps}}(\ln t)^{-\beta}=
  \ra1{t^{1+\eps}}\ra{(\ln t)^{-\beta}}{t^{\eps}}
  \buildrel{=}_{+\infty}^{}\OO[\bigg]{\ra1{t^{1+\eps}}}
$$
Or, $t\mapsto t^{-(1+\eps)}$ est intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$, ce qui
assure l'intégrabilité de $f$.

  Cas $\alpha<1$; on pose $\alpha = 1-\eps$;t $\eps$ est dons un nombre
strictement positif et
$$
f(t)=\ra1{t^{1-\eps}(\ln t)^{\beta}}=
  \ra1{t}\ra{t^{\eps}}{(\ln t)^{\beta}}\ \et\ 
  \ra1{t}=f(t)\ra{(\ln t)^\beta}{t^\eps}\buildrel{=}_{+\infty}^{}\OO{f}
$$
Or, $t\mapsto t^{-1}$ n'est pas intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$, ce qui
assure la non-intégrabilité de $f$.
\end{proof}


\subsubsection{La fonction $\Gamma$}

\begin{Df}
  On note $\Gamma$ la fonction définie sur $\into0{+\infty}$ par
$$
\reponse{$\dps
\qqs x>0,\ \Gamma(x)=\int_{\into0{+\infty}} e^{-t}t^{x-1}\,\dt
$}
$$
\end{Df}

\begin{proof}
  Pour $x\in\R$, on pose $f_x: t\mapsto e^{-t}t^{x-1}=e^{-t}e^{(x-1)\ln t}$;
$f_x$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into 0{+\infty}$.

  Au voisinage de $t=0$, $f_x(t)\buildrel{\sim}_{t=0}^{}t^{x-1}=t^{-(1-x)}$, ce
qui montre que $f_x$ est intégrable sur $\intof01$ si, et seulement si, $1-x<0$,
soit $x>0$.

  Au voisinage de $t=+\infty$, $f_x(t)=e^{-t/2}\,(e^{-t/2}t^{x-1})
\buildrel{=}_{t=+\infty}^{}\OO{e^{-t/2}}$, ce qui montre que $f_x$ est intégrable
sur $\intfo1{+\infty}$, sans condition sur $x$.

  En conclusion, $t\mapsto e^{-t}t^{x-1}$ est intégrable sur $\into0{+\infty}$ si,
et seulement si, $x>0$.
\end{proof}
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\begin{Prop}[\'Equation fonctionnelle de la fonction $\Gamma$]\alaligne

\Reponse{$\dps
\qqs x>0,\ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\quad\et\quad
\qqs n\in\N,\ \Gamma(n+1)=n!
$}
\end{Prop}

\begin{proof}
  Utilisons la suite de segments $(\intf{1/n}n)_{n>1}$ croissante vers
$\into0{+\infty}$; ainsi
$$
\Gamma(x)=\lim_n\int_{\ra1n}^n e^{-t}t^{x-1}\,\dt
$$
Une intégration par parties sur le segment $\intf{1/n}n$ s'impose et donne :
$$
\int_{\ra1n}^n e^{-t}t^{x}\,\dt=
-e^{-t}t^x\entre[\Big]{t=\ra1n}{t=n}-\int_{\ra1n}^n(-e^{-t})xt^{x-1}\,\dt
$$
Or $\lim_n n^x e^{-n}=0=\lim_n(\ra1n)^x e^{-1/n}$. Un passage à la limite sur $n$
donne :
$$
\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^x\,\dt=\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}x t^{x-1}\,\dt=
x\Gamma(x)
$$
$\Gamma(1)=\int_{\intfo0{+\infty}}e^{-t}\,\dt=-e^{-t}\entre{t=0}{t\to+\infty}=1$.\\
Par récurrence, $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=
n!\Gamma(1)=n!$
\end{proof}
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\begin{Prop}[Convexité de la fonction $\Gamma$]\alaligne

  La fonction $\Gamma$ est une fonction convexe sur $\into0{+\infty}$
\end{Prop}


\begin{proof}
  Pour $t>0$ fixé, $x\mapsto t^{x-1}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)$ est une
fonction convexe sur $\R$, car $\ra{d^2}{dx^2}(t^{x-1})=(\ln t)^2 t^{x-1}>0$. On
en déduit que pour $x$ et $y\in\into0{+\infty}$ et $\lambda\in\into01$
\begin{gather}
  t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1}=t^{\lambda(x-1)+(1-\lambda)(y-1)}
    \leq\lambda t^{x-1}+(1-\lambda)t^{y-1}                              \\
  \et(e^{-t}>0)\quad
    e^{-t}t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1}
    \leq\lambda e^{-t}t^{x-1}+(1-\lambda)e^{-t}t^{y-1}
\end{gather}
Le critère de comparaison globale montre
\begin{multline}
  \Gamma\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr)
    =\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1}\,\dt       \\
  \leq\lambda\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{x-1}\,\dt
    +(1-\lambda)\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{y-1}\,\dt
    =\lambda\Gamma(x)+(1-\lambda)\Gamma(y)
\end{multline}
\end{proof}
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\subsection{Intégrabilité sur $\intfo a{+\infty}$ à l'aide d'une série}
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\subsubsection{Cas général}
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\begin{Prop}
  Soient $f\in\mcal{CM}^+(\intfo a{+\infty})$ et $\suite b$ une suite croissante
vers $+\infty$ de premier terme $b_0=a$; alors $f$ est intégrable sur $\intfo
a{+\infty}$ si, et seulement si, la série $\sum\int_{b_n}^{b_{n+1}}f(t)\,\dt$ est
convergente, et, dans ce cas
$$
\int_{\intfo a{+\infty}}f=\sum_{n=0}^\infty\int_{b_n}^{b_{n+1}}f(t)\,\dt
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  La suite de segments $(\intf{a}{b_n})_n$ est croissante vers
$\intfo a{+\infty}$; ainsi
\begin{align*}
f\text{ intégrable sur }\intfo a{+\infty}
&   \iff\exists\lim_n\int_{b_0}^{b_n}f     \\
&   \iff\exists\lim_n\sum_{k=0}^{n-1}\int_{b_k}^{b_{k+1}} f
    \qquad\text{(relation de Chasles)}   \\
&   \iff\text{la série $\dps\sum\int_{b_n}^{b_{n+1}}f$ est convergente}
\end{align*}
Dans ce cas
\begin{equation}
  \int_{\intfo a{+\infty}}f=\lim_n\int_{a}^{b_n}f
    =\lim_n\sum_{k=0}^{n-1}\int_{b_k}^{b_{k+1}}f
    =\sum_{k=0}^\infty\int_{b_k}^{b_{k+1}}f
\end{equation}
\end{proof}
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