%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Intégrale des fonctions numériques sur un intervalle} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Intégrale des fonctions positives} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Le but de ce paragraphe est de donner un sens, ou de n'en pas donner, à des symboles comme : $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\exp\Bigl(-\ra{t^2}{2}\Bigr)\,\dt,\qquad \int_0^1(-\ln x)\,\dt[x],\qquad \int_0^{+\infty}\ra{1}{t^2}\,\dt,\qquad \int_0^1\ra{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dt[x] $$ symboles que l'on peut encore écrire: $$ \int_{\R}\exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)\,\dt,\qquad \int_{\intof01}(-\ln x)\,\dt[x],\qquad \int_{\into{0}{+\infty}} \ra{1}{t^2}\,\dt,\qquad \int_{\intfo01} \ra{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dt[x] $$ Pour $-\infty\leq a<b\leq+\infty$, il y a quatre types d'intervalles d'extrémités $a$ et $b$ : $\intf{a}{b}$, $\intfo{a}{b}$, $\intof{a}{b}$ et $\into{a}{b}$; ce qui donne quatre types d'intégrales possibles, qui doivent rester \emph{compatibles} avec l'intégrale sur un segment. \begin{nota} L'espace des fonctions continues par morceaux sur l'intervalle $I$ et à valeurs positives est noté $\CMIE[I,\R_+]$ ou encore $\CMplI$. \end{nota} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Intégrale d'une fonction sommable} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Fonction intégrable, sommable]\alaligne Une fonction $f\in\CMplI$ est dite \emph{intégrable} ou \emph{sommable} sur l'intervalle $I$, si, et seulement si, l'ensemble $\ens[\big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I}$ est majoré, \ie \Reponse{$\dps \text{$f$ est sommable sur $I$} \iff \exists M>0,\ \qqs S\text{ segment }\subset I,\ \int_S f\leq M $} \end{Df} La non-sommabilité de $f$ sur l'intervalle $I$ s'exprime par $$ \text{$f$ n'est pas sommable sur $I$} \iff \qqs M>0,\ \exists S\text{ segment }\subset I,\ \int_S f > M $$ \begin{Df}[Intégrale d'une fonction]\alaligne Si $f$ est une fonction sommable sur l'intervalle $I$, on appelle \emph{intégrale de $f$ sur $I$}, et on la note $\int_I f$, la borne supérieure de $\ens[\big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I}$. \Reponse{$\dps \int_I f = \sup\ens[\Big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I} $} Si $f$ n'est pas sommable sur l'intervalle $I$, alors $\sup_S \{\int_S f\}=+\infty$. \end{Df} \begin{NB} Toute fonction positive et continue par morceaux sur le segment $\intf {a}{b}$ est sommable sur ce segment et son intégrale est égale à l'intégrale habituelle. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Sommabilité par réunion croissante de segments} %---------------------------------------------------------------------- Au lieu de prendre la borne supérieure des intégrales $\int_S f$ sur tous les segments $S$ de $I$, on peut se restreindre à une suite de segments bien choisis. \begin{Df}[Suite croissante de segments vers $I$]\alaligne On dit que la suite de segments $\suite S$ est \emph{croissante vers $I$} si, et seulement si, $$ \qqs n\in\N,\ S_n\subset S_{n+1}\quad\et\quad \bigcup_{n\in\N}S_n=I $$ \end{Df} \begin{NBs}\alaligne Notons $a_n$ et $b_n$ les extrémités de $S_n$, soit $S_n=\intf{a_n}{b_n}$; $S_n$ est inclus dans $S_{n+1}$ si, et seulement si, $a_n\geq a_{n+1}$ et $b_n\leq b_{n+1}$; la suite $\suite S$ est croissante si, et seulement si, $\suite a$ est une suite monotone décroissante et $\suite b$ monotone croissante et $\bigcup_n\intf{a_n}{b_n}$ est un intervalle d'extrémités $a=\lim a_n$ et $b=\lim_n b_n$. La suite $\suite S$ est croissante vers $\intfo ab$ si, et seulement si, $\suite a$ est une suite décroissante qui stationne en $a$ et $\suite b$ est une croissante non stationnaire de limite $b$. Soient $a<b$ deux nombres réels distincts et $n_0$ un entier tel que $a\leq b-1/n_0< b$; alors la suite $\bigl(\intf{a}{b-1/n}\bigr)_{n\geq n_0}$ est croissante vers $\intfo ab$. La suite $\bigl(\intf{a}{n}\bigr)_{n>a}$ est croissante vers $\intfo{a}{+\infty}$. Si $I=\intof{a}{b}$, on a des résultats analogues; de même pour $I=\into{a}{b}$. \end{NBs} \begin{Prop} Si $\suite S$ est une suite de segments croissante vers $I$, pour tout segment $K$ inclus dans $I$, il existe un entier $p$ tel que $K\subset S_{p}\subset I$. \end{Prop} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop} Soit $f\in\CMplI$; alors \begin{prop} \item $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, il existe une suite $\suite S$ de segments croissante vers $I$ et un nombre $M>0$ tels que $$ \qqs n\in\N,\ \int_{S_n}f\leq M $$ \item si $f$ est sommable sur $I$, alors pour \emph{toute} suite $\suite T$ de segments croissante vers $I$ $$ \int_I f=\sup_n \int_{T_n}f =\lim_n \int_{T_n}f $$ \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem\alaligne\\ % \CS Tout segment $K\subset I$ est contenu dans un $S_n$ et les inégalités $$ \int_K f\leq\int_{S_n} f\leq M $$ montrent que $f$ est intégrable sur $I$.\\ % \CN Partons d'une suite $\suite T$ de segments croissante vers $I$. Puisque $f$ est intégrable sur $I$, la propriété de la borne supérieure montre que : $$ \qqs n\in\N,\ \exists K_n\text{ segment}\subset I,\ \int_I f - \ra1{n+1} < \int_{K_n} f \leq \int_I f $$ Il suffit d'extraire de $\suite T$ une sous-suite $\bigl(T_{\vphi(n)}\bigr)_n$ telle que $K_n\subset T_{\vphi(n)}$ pour tout $n$. La suite $\suite S=\bigl(T_{\vphi(n)}\bigr)_n$ convient puisque $$ \qqs n\in\N,\ \int_I f-\ra1{n+1} < \int_{K_n}f\leq\int_{K_{\vphi(n)}}f=\int_{S_n}f \leq\int_I f $$ \monitem Si $\suite T$ est une suite de segments croissante vers $I$, la suite $\bigl(\int_{T_n} f \bigr)_n$ est une suite croissante de réels (positifs), majorée par $\int_I f$ donc convergente vers sa borne supérieure et $$ \lim_n\int_{T_n} f = \sup_n\int_{T_n} f\leq\int_I f $$ Tout segment $K$ de $I$ est contenu dans un des $T_p$ et $$ \int_K f\leq\int_{T_p} f\leq\sup_n\int_{T_n} f $$ Ainsi, $\sup_n\int_{T_n} f$ est un majorant des intégrales $\int_K f$, ce qui donne $$ \int_I f=\sup\ens[\Big]{\int_K f}{\text{$K$ segment contenu dans $I$}} \leq\sup_n\int_{T_n} f $$ \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Intégrabilité par réunion croissante de segments]\alaligne Soit $\suite S$ est une suite de segments croissante vers $I$; $f\in\CMplI$ est intégrable sur $I$ si, et seulement si, $\lim_n\int_{S_n} f$ existe dans $\R$; dans ce cas, $$ \int_I f=\lim_n\int_{S_n} f=\sup_n\int_{S_n} f $$ Sinon, $f$ n'est pas intégrable sur $I$ et $\lim_n\int_{S_n} f=\sup_n\int_{S_n} f=+\infty$. \end{Th} \begin{Exs} Cas des primitives explicitées par des fonctions élémentaires.\\ % $\int_{\intof 01}(-\ln t)\,\dt$ : on utilise la suite de segments $S_n=\intf{1/n}{1}$ et $$ \int_{\intf{1/n}{1}} (-\ln t)\,\dt=-t\ln t-t\entre{t=1/n}{t=1} \tend 1=\int_{\intof01} (-\ln t)\,\dt $$ % $\int_{\into{0}{+\infty}}t^{-2}\,\dt$ : on utilise la suite de segments $S_n=\intf{\ra1n}{n}$ et $$ \int_{\intf{1/n}{n}}\ra{1}{t^2}\,\dt=-\ra1t\entre[\bigg]{t=\ra1n}{t=n}\tend +\infty \text{ \ie{} $\dps t \mapsto \ra1{t^2}$ n'est pas intégrable sur $\into0{+\infty}$} $$ Cas des primitives qui ne sont pas explicitées par des fonctions élémentaires.\\ $\int_{\R} \exp(-t^2/2)\,\dt$ : on utilise la suite de segments $S_n=\intf{-n}{n}$ et $$ \int_{\intf{-n}{n}} \exp(-t^2/2)\,\dt=2\int_0^n\exp(-t^2/2)\,\dt= 2\int_0^1\exp(-t^2/2)\,\dt+2\int_1^n\exp(-t^2/2)\,\dt $$ Or, pour tout $t\geq 1$, $\exp(-t^2/2)\leq t\exp(-t^2/2)$ et $$ \int_1^n\exp(-t^2/2)\,\dt \leq\int_1^n t\exp(-t^2/2)\,\dt =-\exp(-t^2/2)\entre[\Big]{t=1}{t=n}<\exp(-1/2) $$ ce qui donne $$ \int_{\intf{-n}{n}} \exp(-t^2/2)\,\dt < 2\int_0^1 \exp(-t^2/2)\,\dt+2\exp(-1/2) $$ La fonction $t\mapsto \exp(-\ra{t^2}{2})$ est donc intégrable sur $\R$. On démontrera que \Reponse{$\dsp \int_{\R}\exp(-t^2/2)\,\dt=\sqrt{2\pi} $} \end{Exs} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Intégrabilité sur un segment} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Intégrales sur $\intf ab$, $\intfo ab$, $\intof ab$ et $\into ab$]\alaligne Toute fonction positive et continue par morceaux sur le segment $\intf ab$ est intégrable sur ce segment, ainsi que sur les intervalles $\intfo ab$, $\intof ab$ et $\into ab$; les quatre intégrales sont égales à l'intégrale habituelle, celle du chapitre précédent. \end{Th} \begin{proof} $\intf ab$ est un segment particulier de $I=\intf ab$; donc, $\sup_S\int_S f=\int_{\intf ab}f=\int_a^b f$. Dans le cas $I=\intfo ab$, posons $S_n=\intf a{b-1/n}$ pour $n>1/(b-a)$, et appelons $F$ une primitive de $f$ sur $\intf ab$; alors $$ \int_{S_n} f=\int_a^{b-1/n} f(t)\,\dt=F(b-1/n)-F(a) \tend F(b)-F(a)=\int_a^b f $$ puisque $F$ est continue sur $\intf ab$. La fonction $f$ est donc intégrable sur $\intfo ab$ et $\int_{\intfo ab}f=\int_a^b f$. La démonstration est analogue pour $I=\intof ab$, on pose $S_n=\intf{a+1/n}{b}$ pour $n>1/(b-a)$, et pour $I=\into ab$, on pose $S_n=\intf{a+1/n}{b-1/n}$ pour $n>\bigl(2(b-a)\bigl)^{-1}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}\alaligne L'extension de l'intégrale est donc compatible avec l'intégrale précédente. Une démonstration analogue montre que si $f$ est intégrable sur $\intfo ab$, $f$ est intégrable sur $\into ab$ et les deux intégrales sont égales. On a un résultat identique pour $I=\intof ab$. \end{NBs} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Intégrabilité par intersection} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Intégrabilité par intersection]\alaligne Soient $I$ un intervalle et $c\in I$; posons $I^g=I\cap\intof{-\infty}{c}$ et $I^d=I\cap\intfo{c}{+\infty}$. Pour $f\in\CMplI$, $f$ est intégrable sur $I$ si, et seulement si, $f$ est intégrable sur $I^g$ et $I^d$ et dans ce cas $$ \int_I f=\int_{I^g} f + \int_{I^d} f $$ \end{Th} \begin{proof} Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$; $(S_n^g)_n=(S_n\cap\intof{-\infty}c)_n$ (resp. $(S_n^d)_n=(S_n\cap\intfo c{+\infty})_n$) est une suite de segments croissante vers $I^g$ (resp. $I^d$) et la relation de Chasles donne $\int_{S_n} f=\int_{S_n^g} f + \int_{S_n^d} f$. Si $f$ est intégrable sur $I$, les inégalités $\int_{S_n^g} \leq\int_{S_n}f\leq\int_I f$ (resp. $\int_{S_n^d} \leq\int_{S_n}f\leq\int_I f$) montrent que $f$ est intégrable sur $I^g$ (resp. $I^d$). Réciproquement, si $f$ est intégrable sur $I^g$ et $I^d$, les inégalités $\int_{S_n} f=\int_{S_n^g} f+\int_{S_n^d}f\leq\int_{I^g}f+\int_{I^d}f$ montrent que $f$ est intégrable sur $I$. Dans ce cas, $\lim_n\int_{S_n}f=\lim_n\int_{S_n^g}f+\lim_n\int_{S_n^d}f$, soit $\int_I f=\int_{I^g}f+\int_{I^d}f$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}\alaligne Montrer l'intégrabilité sur l'intervalle ouvert $\into ab$, c'est montrer l'intégrabilité sur les intervalles $\intof ac$ et $\intfo cb$ pour $c$ choisi dans $\into ab$. Montrer l'intégrabilité sur l'intervalle $\intfo ab$, c'est montrer l'intégrabilité sur l'intervalle $\intfo cb$ pour $c$ choisi dans $\into ab$, puisque toute fonction positive et continue par morceaux est intégrable sur le segment $\intf ac$. \end{NBs} \begin{Th}[Additivité de l'intégrale]\alaligne Soient $f\in\mcal{CM}^+(\intfo ab)$ et $c\in\intfo ab$; alors $f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, $f$ est intégrable sur $\intfo cb$ et, dans ce cas, $$ \int_{\intfo ab}f=\int_{\intf ac}f+\int_{\intfo cb}f $$ Soient $f\in\mcal{CM}^+(\into ab)$ et $c\in\intfo ab$; alors $f$ est intégrable sur $\into ab$ si, et seulement si, $f$ est intégrable sur $\intof ac$ \emph{et} sur $\intfo cb$ et, dans ce cas, $$ \int_{\into ab}f=\int_{\intof ac}f+\int_{\intfo cb}f $$ \end{Th} \subsection{Sommabilité sur $\intfo ab$ à l'aide d'une primitive} Rappelons le résultat suivant sur les fonctions réelles, continues et monotones. \begin{Lem} Soient $F$ une fonction réelle définie sur $\intfo ab$ et $\suite b$ une suite de $\intfo ab$, monotone croissante et de limite $b$; alors \begin{prop} \item si $F$ est continue, l'existence de $\lim_{t\uparrow b}F(t)$ implique l'existence de $\lim_n F(b_n)$ et les limites sont égales; \item si $F$ est monotone croissante, $F$ est majorée si, et seulement si la suite $(F(b_n))_n$ est majorée, et dans ce cas $\lim_{t\uparrow b}F(t) = \lim_n F(b_n)$; \item si $F$ est monotone décroissante, $F$ est minorée si, et seulement si la suite $(F(b_n))_n$ est minorée, et dans ce cas $\lim_{t\uparrow b}F(t) = \lim_n F(b_n)$; \end{prop} \end{Lem} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem C'est bien connu; \monitem Tout majorant de $F$ sur $\intfo ab$ est aussi un majorant de la suite $(F(b_n))_n$. Puisque $\suite b$ admet $b$ pour limite, pour tout $t\in\intfo ab$ il existe un entier $n_t$ tel que $t\leq b_{n_t}<b$, et, $F$ étant croissante, $F(t)\leq F(b_n)$; ainsi, tout majorant de la suite $(F(b_n))_n$ est aussi un majorant de $F$ sur $\intfo ab$. Par conséquent, $\sup_{t\in\intfo ab}F(t)=\sup_n F(b_n)$, ce qui montre l'égalité des limites. \monitem La démonstration est identique. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Sommabilité et accroissement d'une primitive]\alaligne Soit $f$ une fonction positive et continue par morceaux sur $\intfo ab$; alors $$ \reponse{ $f$ est intégrable sur $\intfo ab\iff F : x\mapsto\int_a^x f(t)\,\dt$ est majoré;\\[1ex] dans ce cas $\dps\int_{\intfo ab}f=\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt$ } $$ sinon \hfill$\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt=+\infty$\hspace*{\fill} \end{Th} \begin{proof} $F : x\mapsto \int_a^x f(t)\,\dt$ est une fonction continue, de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $\intfo ab$ et croissante ($f$ est positive). Soit $\suite b$ une suite croissante de limite $b$; $(\intf a{b_n})_n$ est une suite de segments croissante vers $\intfo ab$ et $f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, la suite $(\int_{\intf a{b_n}}f)_n=(F(b_n))_n$ est majorée. Le lemme précédent permet de conclure. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Exs} $\int_{\intof 01}(-\ln t)\,\dt$ : on considère $$ \int_x^1 (-\ln t)\,\dt=-t\ln t-t\entre{t=x}{t=1} \tend[x\downarrow 0] 1=\int_{\intof01} (-\ln t)\,\dt $$ $\int_{\intfo01}(1-t^2)^{-\ra12}\,\dt$ : considérons $$ \int_0^x \ra{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\dt=\arcsin t\entre{t=0}{t=x} \tend[x\uparrow 1]\ra{\pi}{2}=\int_{\intfo01}\ra{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\dt $$ \end{Exs} \begin{Prop}[Intégrale de Bertrand]\alaligne $\dps t\mapsto\ra1{t(\ln t)^\beta}$ est intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$ si, et seulement si, $\beta>1$. \end{Prop} \begin{proof} Le changement de variable $u=\ln t$, $\dt[u]=t^{-1}\,\dt$ permet d'écrire \begin{equation} \int_2^x\ra{1}{t(\ln t)^\beta}\,\dt=\int_{\ln 2}^{\ln x}\ra{1}{u^\beta}\,\dt[u]= \begin{cases} \dps\ra{(\ln x)^{-\beta+1}-(\ln 2)^{-\beta+1}}{-\beta+1} & \text{ si $\beta\neq1$} \\ \ln u=\ln(\ln x)-\ln(\ln 2) & \text{ si $\beta=1$} \end{cases} \end{equation} et$\dps\lim_{x\uparrow+\infty}\int_2^x\ra{dt}{t(\ln t)^\beta}$ existe si, et seulement si, $-\beta+1<0$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Les références fondamentales} %---------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{La fonction exponentielle} %-------------------------------------------------- \Reponse{ $\dps\text{Pour $\lambda\in\R$, } t\mapsto\exp(-\lambda t)\text{ est intégrable sur $\intfo0{+\infty}$} \iff\lambda>0$\\ Dans ce cas, $\dps\int_{\intfo0{+\infty}}\exp(-\lambda t)\,\dt=\ra{1}{\lambda}$ } \begin{proof} Si $\lambda\neq0$, $\int_0^x\exp(-\lambda t)\,\dt=\ra{1}{-\lambda}(\exp(-\lambda x)-1)$ a une limite (finie) quand $x\to+\infty$ si, et seulement si $\lambda>0$; dans ce cas, cette limite est $\ra{1}{\lambda}$. Si $\lambda=0$, $\int_0^x 1\,\dt=x\tend[x\uparrow+\infty]+\infty$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{La fonction logarithme} %-------------------------------------------------- $$ \reponse{$\dps t\mapsto -\ln t$ est intégrable sur $\intof01$ et $\dps\int_{\intof01}(-\ln t)\,\dt=1$} $$ %-------------------------------------------------- \subsubsection{Les intégrales de Riemann} %-------------------------------------------------- Soient $a>0$ et $\alpha\in\R$; $t\mapsto t^{-\alpha}$ est-elle intégrable sur $\intof0a$, sur $\intfo{a}{+\infty}$, sur $\into0{+\infty}$? $$ \reponse{ $t\mapsto t^{-\alpha}$ est intégrable sur $\intof0a$ $\iff\alpha<1$;\\[1ex] $t\mapsto t^{-\alpha}$ est intégrable sur $\intfo{a}{+\infty}$ $\iff\alpha>1$;\\[1ex] $t\mapsto t^{-\alpha}$ N'EST PAS INTÉGRABLE sur $\into0{+\infty}$. } $$ \begin{proof}\alaligne Soit $I=\intof0a$; calculons $$ \int_x^1 \ra1{t^{\alpha}}\,\dt= \begin{cases} \dps \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=x}{t=a} =\ra{a^{-\alpha+1}-x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1} &\tend[x\downarrow 0] \begin{cases} \dps \ra{a^{1-\alpha}}{1-\alpha} & \text{si $\alpha<1$} \\ +\infty & \text{si $\alpha>1$} \end{cases} \\ \ln t\entre{t=x}{t=a}=\ln a-\ln x & \tend[x\downarrow 0] +\infty\text{ si $\alpha=1$} \end{cases} $$ Pour $I=\intfo{a}{+\infty}$, calculons $$ \int_a^x \ra1{t^\alpha}\,\dt= \begin{cases} \dps \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=a}{t=x} =\ra{x^{-\alpha+1}-a^{\alpha-1}}{-\alpha+1} &\tend \begin{cases} +\infty & \text{si $\alpha<1$} \\ \dps\ra{1}{(\alpha-1)a^{\alpha-1}} & \text{si $\alpha>1$} \end{cases} \\ \ln t\entre{t=a}{t=x}=\ln x - \ln a & \tend +\infty\text{ si $\alpha=1$} \end{cases} $$ Pour $I=\into{0}{+\infty}$, posons $S_n=\intf{1/n}{n}$ et calculons $$ \int_{S_n}\ra1{t^\alpha}\,\dt=\int_{n^{-1}}^n\ra1{t^\alpha}\,\dt= \left. \begin{cases} \dps \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=n^{-1}}{t=n} =\ra{n^{-\alpha+1}-n^{\alpha-1}}{-\alpha+1} & \text{ si $\alpha\neq 1$} \\[2ex] \ln t\entre{t=n^{-1}}{t=n}=2\ln n & \text{ si $\alpha=1$} \end{cases} \right\} \tend +\infty $$ \end{proof} \begin{NBs} La fonction $t\mapsto (b-t)^{-\alpha}$ (resp. $t\mapsto (t-b)^{-\alpha}$) est intégrable sur l'intervalle $\intfo cb$ avec $c<b$ (resp. sur l'intervalle $\intof bc$ avec $b<c$) si, et seulement si, $\alpha<1$. La fonction $t\mapsto (t-b)^{-\alpha}$ n'est \emph{jamais} intégrable sur l'intervalle $\into b{+\infty}$. La fonction $t\mapsto (1+t^\alpha)^{-1}$ est intégrable sur l'intervalle $\into0{+\infty}$ si, et seulement si, $\alpha>1$. \end{NBs} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Opérations sur les fonctions intégrables} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Sommabilité par combinaison linéaire à coefficients positifs} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Combinaison linéaire de fonctions sommables]\alaligne Soient $f$ et $g$ deux éléments de $\CMplI$; alors \begin{prop} \item si $f$ et $g$ sont sommables sur $I$, $f+g$ est sommable sur $I$ et $$ \int_I(f+g)=\int_I f+\int_I g $$ \item si $f$ est sommable sur $I$, pour tout $\lambda>0$, $\lambda f$ est sommable sur $I$ et $$ \int_I \lambda f=\lambda\int_I f $$ \end{prop} \end{Th} \begin{proof} Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$; \begin{demprop} \monitem $\qqs n,\ \int_{S_n}(f+g)=\int_{S_n}f+\int_{S_n}g\tend\int_I f + \int_I g$; donc $f+g$ est sommable sur $I$ et $\int_I(f+g)=\int_I f+\int_I g$. \monitem $\int_{S_n}\lambda f=\lambda\int_I f\tend\lambda\int_I f$ ce qui montre la sommabilité de $\lambda f$ et l'égalité $\int_I \lambda f=\lambda\int_I f$. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Pour des raisons techniques (les fonctions considérées sont à valeurs réelles positives pour le moment), les scalaires sont positifs; dans la prochaine section, les scalaires seront des nombres réels quelconques, et même des nombres complexes. \end{NB} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Sommabilité par comparaison} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Comparaison globale]\alaligne Soient $f$ et $g\in\CMplI$ telles que : $\qqs t\in I,\ 0\leq f(t)\leq g(t)$; alors \begin{prop} \item si $g$ est sommable sur $I$, $f$ est sommable sur $I$ et $\dps0\leq\int_I f\leq\int_I g$; \item si $f$ n'est pas sommable sur $I$, $g$ n'est pas sommable sur $I$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$; alors $$ 0\leq f\leq g\implique\qqs n,\ 0\leq\int_{S_n}f\leq\int_{S_n}g $$ \begin{demprop} \monitem si $g$ est sommable sur $I$, $\int_I g$ est un majorant de $\int_{S_n}f$, ce qui montre que $f$ est sommable sur $I$ et $0\leq\int_I f\leq\int_I g$; \monitem si $f$ n'est pas sommable sur $I$, $sup_n\int_{S_n}f=+\infty$, donc $\sup_n\int_{S_n}g=+\infty$ et $g$ n'est pas sommable sur $I$. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Ce théorème est essentiel : il permet de montrer la sommabilité d'une fonction sans en calculer une primitive. \end{NB} \begin{Cor} Soient $f$ et $g\in\CMplI$; s'il existe $A>0$ et $B>0$ tels que $$ \qqs t\in I,\qquad 0\leq A\,f(t)\leq g(t)\leq B\,f(t) $$ alors, $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $g$ est sommable sur $I$. \end{Cor} \begin{proof} Si $f$ est sommable, alors $B\,f$ est sommable, et $g$ est sommable par comparaison globale ($g\leq B\,f$). Si $g$ est sommable, alors $\ra1A\,f$ est sommable ($A>0$), et $f$ est sommable par comparaison globale ($f\leq \ra1A\,g$). \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Comparaison locale, intégrabilité sur $\intfo ab$]\alaligne Soient $f$ et $g\in\mcal{CM}^+(\intfo ab)$; \begin{prop} \item $f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, il existe $c\in\into ab$ tel que $f$ soit intégrable sur~$\intfo cb$; \item si $\dps f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$, alors l'intégrabilité de $g$ sur $\intfo ab$ implique l'intégrabilité de $f$ sur $\intfo ab$, et la non-intégrabilité de $f$ sur $\intfo ab$ implique la non-intégrabilité de $g$ sur $\intfo ab$; \item si $f\buildrel{\sim}_b^{} g$, alors $f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, $g$ est intégrable sur $\intfo ab$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Déjà vu; rappelons qu'une fonction continue par morceaux est intégrable sur tout segment; \monitem si $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$, il existe un voisinage $\intfo cb$ de $b$ et un nombre réel $M>0$ tels que $\qqs t\in\intfo cb,\ f(t)\leq M\,g(t)$, ce qui assure l'intégrabilité de $f$ sur $\intfo cb$, et donc sur $\intfo ab$; \monitem si $f\buildrel{\sim}_b^{} g$, alors $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$ et $g\buildrel{=}_b^{}\OO{f}$, ce qui montre l'équivalence annoncée. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Intégrale de Bertrand, suite et fin} \Reponse{$\dps t\mapsto\ra1{t^\alpha(\ln t)^\beta}$ est intégrable sur $\intfo 2{+\infty} \iff \alpha>1\text{ ou }(\alpha=1\et\beta>1)$ } \begin{proof} La fonction $t\mapsto t^{-\alpha}(\ln t)^{-\beta}$ est continue sur l'intervalle $\intfo 2{+\infty}$. Le cas $\alpha=1$ déjà été étudié. Cas $\alpha>1$; on pose $\alpha = 1+2\eps$; $\eps$ est donc un nombre strictement positif et $$ f(t) = \ra1{t^{1+2\eps}}(\ln t)^{-\beta}= \ra1{t^{1+\eps}}\ra{(\ln t)^{-\beta}}{t^{\eps}} \buildrel{=}_{+\infty}^{}\OO[\bigg]{\ra1{t^{1+\eps}}} $$ Or, $t\mapsto t^{-(1+\eps)}$ est intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$, ce qui assure l'intégrabilité de $f$. Cas $\alpha<1$; on pose $\alpha = 1-\eps$;t $\eps$ est dons un nombre strictement positif et $$ f(t)=\ra1{t^{1-\eps}(\ln t)^{\beta}}= \ra1{t}\ra{t^{\eps}}{(\ln t)^{\beta}}\ \et\ \ra1{t}=f(t)\ra{(\ln t)^\beta}{t^\eps}\buildrel{=}_{+\infty}^{}\OO{f} $$ Or, $t\mapsto t^{-1}$ n'est pas intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$, ce qui assure la non-intégrabilité de $f$. \end{proof} \subsubsection{La fonction $\Gamma$} \begin{Df} On note $\Gamma$ la fonction définie sur $\into0{+\infty}$ par $$ \reponse{$\dps \qqs x>0,\ \Gamma(x)=\int_{\into0{+\infty}} e^{-t}t^{x-1}\,\dt $} $$ \end{Df} \begin{proof} Pour $x\in\R$, on pose $f_x: t\mapsto e^{-t}t^{x-1}=e^{-t}e^{(x-1)\ln t}$; $f_x$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into 0{+\infty}$. Au voisinage de $t=0$, $f_x(t)\buildrel{\sim}_{t=0}^{}t^{x-1}=t^{-(1-x)}$, ce qui montre que $f_x$ est intégrable sur $\intof01$ si, et seulement si, $1-x<0$, soit $x>0$. Au voisinage de $t=+\infty$, $f_x(t)=e^{-t/2}\,(e^{-t/2}t^{x-1}) \buildrel{=}_{t=+\infty}^{}\OO{e^{-t/2}}$, ce qui montre que $f_x$ est intégrable sur $\intfo1{+\infty}$, sans condition sur $x$. En conclusion, $t\mapsto e^{-t}t^{x-1}$ est intégrable sur $\into0{+\infty}$ si, et seulement si, $x>0$. \end{proof} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[\'Equation fonctionnelle de la fonction $\Gamma$]\alaligne \Reponse{$\dps \qqs x>0,\ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\quad\et\quad \qqs n\in\N,\ \Gamma(n+1)=n! $} \end{Prop} \begin{proof} Utilisons la suite de segments $(\intf{1/n}n)_{n>1}$ croissante vers $\into0{+\infty}$; ainsi $$ \Gamma(x)=\lim_n\int_{\ra1n}^n e^{-t}t^{x-1}\,\dt $$ Une intégration par parties sur le segment $\intf{1/n}n$ s'impose et donne : $$ \int_{\ra1n}^n e^{-t}t^{x}\,\dt= -e^{-t}t^x\entre[\Big]{t=\ra1n}{t=n}-\int_{\ra1n}^n(-e^{-t})xt^{x-1}\,\dt $$ Or $\lim_n n^x e^{-n}=0=\lim_n(\ra1n)^x e^{-1/n}$. Un passage à la limite sur $n$ donne : $$ \int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^x\,\dt=\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}x t^{x-1}\,\dt= x\Gamma(x) $$ $\Gamma(1)=\int_{\intfo0{+\infty}}e^{-t}\,\dt=-e^{-t}\entre{t=0}{t\to+\infty}=1$.\\ Par récurrence, $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots= n!\Gamma(1)=n!$ \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Convexité de la fonction $\Gamma$]\alaligne La fonction $\Gamma$ est une fonction convexe sur $\into0{+\infty}$ \end{Prop} \begin{proof} Pour $t>0$ fixé, $x\mapsto t^{x-1}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)$ est une fonction convexe sur $\R$, car $\ra{d^2}{dx^2}(t^{x-1})=(\ln t)^2 t^{x-1}>0$. On en déduit que pour $x$ et $y\in\into0{+\infty}$ et $\lambda\in\into01$ \begin{gather} t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1}=t^{\lambda(x-1)+(1-\lambda)(y-1)} \leq\lambda t^{x-1}+(1-\lambda)t^{y-1} \\ \et(e^{-t}>0)\quad e^{-t}t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1} \leq\lambda e^{-t}t^{x-1}+(1-\lambda)e^{-t}t^{y-1} \end{gather} Le critère de comparaison globale montre \begin{multline} \Gamma\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr) =\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1}\,\dt \\ \leq\lambda\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{x-1}\,\dt +(1-\lambda)\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{y-1}\,\dt =\lambda\Gamma(x)+(1-\lambda)\Gamma(y) \end{multline} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Intégrabilité sur $\intfo a{+\infty}$ à l'aide d'une série} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Cas général} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop} Soient $f\in\mcal{CM}^+(\intfo a{+\infty})$ et $\suite b$ une suite croissante vers $+\infty$ de premier terme $b_0=a$; alors $f$ est intégrable sur $\intfo a{+\infty}$ si, et seulement si, la série $\sum\int_{b_n}^{b_{n+1}}f(t)\,\dt$ est convergente, et, dans ce cas $$ \int_{\intfo a{+\infty}}f=\sum_{n=0}^\infty\int_{b_n}^{b_{n+1}}f(t)\,\dt $$ \end{Prop} \begin{proof} La suite de segments $(\intf{a}{b_n})_n$ est croissante vers $\intfo a{+\infty}$; ainsi \begin{align*} f\text{ intégrable sur }\intfo a{+\infty} & \iff\exists\lim_n\int_{b_0}^{b_n}f \\ & \iff\exists\lim_n\sum_{k=0}^{n-1}\int_{b_k}^{b_{k+1}} f \qquad\text{(relation de Chasles)} \\ & \iff\text{la série $\dps\sum\int_{b_n}^{b_{n+1}}f$ est convergente} \end{align*} Dans ce cas \begin{equation} \int_{\intfo a{+\infty}}f=\lim_n\int_{a}^{b_n}f =\lim_n\sum_{k=0}^{n-1}\int_{b_k}^{b_{k+1}}f =\sum_{k=0}^\infty\int_{b_k}^{b_{k+1}}f \end{equation} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Ex} $f:x\mapsto x(1+x^6\sin^2 x)^{-1}$ est intégrable sur $\intfo 0{+\infty}$; utiliser $b_n=n\pi$ et montrer les inégalités suivantes : \begin{align*} 0<u_n & =\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\ra{x}{1+x^6\sin^2 x}\,\dt[x] \qquad &{} \\ & \leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\ra{(n+1)\pi}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}\,\dt[x] & \text{ car\dots} \\ & =(n+1)\pi\int_{-\ra{\pi}2}^{\ra\pi2}\ra{dx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x} & \text{ car\dots} \\ & =2(n+1)\pi\int_0^{\ra\pi2}\ra{dx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x} & \text{ car\dots} \\ & \leq 2(n+1)\pi\int_0^{\ra\pi2}\ra{dx}{1+(n\pi)^6\bigl(\ra2\pi x\bigr)^2} & \text{ car\dots} \\ & =2(n+1)\pi\int_0^{\ra\pi2}\ra{dx}{1+(2n^3\pi^2x)^2} & \text{ car\dots} \\ & \leq2(n+1)\pi\ra1{2n^3\pi^2}\ra\pi2=\ra{n+1}{2n^3} & \text{ car\dots} \\ \end{align*} La série $\sum u_n$ est convergente et la fonction $f$ est intégrable sur $\intfo0{+\infty}$. \end{Ex} \begin{NB}\alaligne Chère lectrice et cher lecteur, voici un exemple d'une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\intfo0{+\infty}$ et qui n'est pas bornée puisque $f(n\pi)=n\pi$. Par contre, une fonction \emph{intégrable} sur $\intfo a{+\infty}$ ne peut admettre que 0 comme limite en $+\infty$. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Cas d'une fonction monotone décroissante} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Comparaison série-intégrale]\alaligne Soit $f\in\mcal{CM}^+(\intfo0{+\infty})$ une fonction monotone décroissante et $w_n=\int_{n-1}^n f(t)\,\dt-f(n)$ pour $n\geq1$; alors \begin{prop} \item $\sum w_n$ est une série convergente à termes positifs; \item $f$ est intégrable sur $\intfo0{+\infty}$ si, et seulement si, la série $\sum f(n)$ est convergente, et, dans ce~cas : $$ \int_{\intfo{n+1}{+\infty}}f\leq\sum_{k=n+1}^\infty f(k) \leq\int_{\intfo{n}{+\infty}}f $$ \item $f$ n'est pas intégrable sur $\intfo0{+\infty}$ si, et seulement si, la série $\sum f(n)$ est divergente, et, dans ce~cas : $$ \sum_{k=0}^n f(k)\buildrel{\sim}_n^{}\int_0^n f(t)\,\dt $$ \end{prop} \end{Th} \begin{proof} La décroissance de $f$ donne les inégalités (faire un dessin) : \begin{gather} \qqs n\geq 1,\ 0\leq f(n)\leq\int_{n-1}^n f\leq f(n-1) \label{eq\DP CompSerieInt} \\ \qqs n\geq 1,\ 0\leq\int_n^{n+1}f\leq f(n)\leq\int_{n-1}^n f \label{eq\DP CompSerieIntdeux} \end{gather} \begin{demprop} \monitem Les inégalités \eqref{eq\DP CompSerieInt} donnent : \begin{gather} 0\leq w_n=\int_{n-1}^n f(t)\,\dt-f(n)\leq f(n-1)-f(n) \\ \et\quad\sum_{k=1}^n w_k\leq\sum_{k=1}^n\bigl(f(k-1)-f(k)\bigr) \leq f(0)-f(n)\leq f(0) \end{gather} La série $\sum w_n$ est convergente car série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées par $f(0)$; \monitem les inégalités \eqref{eq\DP CompSerieInt} montrent que les séries $\sum f(n)$ et $\sum\int_{n-1}^n f$ sont de même nature; ainsi, $f$ est intégrable sur $\intfo0{+\infty}$ si, et seulement si, la série $\sum f(n)$ est convergente. Dans ce cas, les inégalités \eqref{eq\DP CompSerieIntdeux} donnent \begin{equation} \int_{n+1}^{m+1}f=\sum_{k=n+1}^m\int_k^{k+1}f \leq\sum_{k=n+1}^m f(k)\leq\sum_{k=n+1}^m\int_{k-1}^{k}f=\int_n^m f \end{equation} et, par passage à la limite sur $m\to+\infty$ \begin{equation} \int_{\intfo{n+1}{+\infty}}f\leq\sum_{k=n+1}^\infty f(k) \leq\int_{\intfo n{+\infty}}f \end{equation} \monitem si $f$ n'est pas intégrable sur $\intfo0{+\infty}$, $\lim_n\int_0^n f = +\infty$ et, puisque la suite des sommes partielles d'une série convergente est bornée, $\sum_{k=1}^n w_k=\int_0^n f-\sum_{k=1}^n f \buildrel{=}_n^{}\oo{\int_0^n f}$. Ainsi $\int_0^n f\buildrel{\sim}_n^{}\sum_{k=1}^n f(k) \buildrel{\sim}_n^{}\sum_{k=0}^n f(k)$. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor}[Série de Bertrand]\alaligne La série $\sum n^{-\alpha}(\ln n)^{-\beta}$ converge si, et seulement si, $\alpha>1$ ou $(\alpha=1\et\beta>1)$. \end{Cor} \begin{proof} Le cas $\alpha\neq 1$ a été traité au chapitre des séries.\\ Cas $(\alpha=1\et\beta\leq0)$; pour $n\geq3$, $(\ln n)^{-\beta}n^{-1}\geq n^{-1}$, ce qui assure la divergence de la série.\\ Cas $(\alpha=1\et\beta>0)$; $f:t\mapsto t^{-1}(\ln t)^{-\beta}$ est décroissante sur $\intfo2{+\infty}$; donc la série $\sum f(n)$ est convergente si, et seulement si, $f$ est intégrable sur $\intfo2{+\infty}$, soit si, et seulement si, $\beta>1$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Exs} Appliquons le théorème de comparaison série-intégrale aux séries de Riemann. La fonction $t\mapsto (t+1)^{-1}$ est continue, décroissante et non intégrable sur $\intfo0{+\infty}$, ce qui montre que \begin{equation} \sum_{k=1}^n\ra1k=\sum_{k=0}^{n-1}\ra1{k+1}\buildrel{\sim}_n^{} \int_0^{n-1}\ra1{t+1}=\ln n \end{equation} Pour $0<\alpha<1$, la fonction $t\mapsto(t+1)^{-\alpha}$ est continue, décroissante et non intégrable sur $\intfo 0{+\infty}$, ce qui montre que \begin{equation} \sum_{k=1}^n\ra1{k^\alpha}=\sum_{k=0}^{n-1}\ra1{(k+1)^\alpha}\equivalent \int_0^{n-1}\ra1{(t+1)^\alpha}=\ra{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha} \equivalent\ra{n^{1-\alpha}}{1-\alpha} \end{equation} Pour $\alpha>1$, la fonction $t\mapsto (t+1)^{-\alpha}$ est continue, décroissante et intégrable sur $\intfo0{+\infty}$, ce qui montre que \begin{multline} \int_{\intfo{n}{+\infty}}\ra1{(t+1)^\alpha}\,\dt =\ra1{(\alpha-1)(n+1)^{\alpha-1}} \\ \leq\sum_{k=n}^\infty\ra1{(k+1)^\alpha}=\sum_{k=n+1}^\infty\ra1{k^\alpha} \leq\int_{\intfo{n-1}{+\infty}}\ra1{(t+1)^\alpha}\,\dt =\ra1{(\alpha-1)n^{\alpha-1}} \end{multline} et donc $$ \sum_{k=n+1}^\infty\ra1{k^\alpha}\equivalent\ra1{(\alpha-1)n^{\alpha-1}} $$ \end{Exs} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Fonctions sommables à valeurs réelles ou complexes} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% $\K$ désigne le corps des nombres réels ou celui des nombres complexes; les fonctions envisagées sont toujours continues par morceaux sur un intervalle $I$ et à valeurs dans $\K$; l'ensemble de ces fonctions est noté $\CMIE[I,\K]$ ou encore $\CMI$. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Fonction intégrable, sommable} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Dfs}[Fonction sommable ou intégrable]\alaligne Soit $f\in\CMI$; $f$ est dite \emph{intégrable} (ou \emph{sommable}) sur $I$ si, et seulement si, $\abs{f}$ est intégrable (ou sommable) sur $I$. L'ensemble des fonctions continues par morceaux et sommables sur $I$ est noté $\LI{I,\K}$ ou encore $\LI{I}$. \end{Dfs} On utilisera au choix les termes intégrable ou sommable. Remarquons que la nouvelle notion de sommabilité est compatible avec la précédente. \begin{Exs} $t\mapsto t^{-2}\exp(it)$ est intégrable sur $\intfo1{+\infty}$ tandis que $t\mapsto t^{-1}\exp(it)$ ne l'est pas. \end{Exs} \begin{Th}[Sommabilité par comparaison globale]\alaligne Soient $f\in\CMI$ et $\vphi\in\CMplI$ telles que $\abs{f(x)}\leq\vphi(x)$ pour tout $x\in I$; alors la sommabilité de $\vphi$ sur $I$ implique celle de $f$ sur $I$. \end{Th} \begin{proof} Le théorème de comparaison globale pour les fonctions positives montre la sommabilité de $\abs{f}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Sommabilité par combinaison linéaire]\alaligne Soient $f$ et $g\in\CMI$, $\lambda$ et $\mu\in\K$; alors, si $f$ et $g$ sont sommables sur $I$, $\lambda f+\mu g$ est sommable sur $I$; $\LI{I}$ est un $\K$-espace vectoriel. \end{Th} \begin{proof} Puisque $\abs{f}$ et $\abs{g}$ sont sommables sur $I$, $\abs{\lambda}\abs{f}+\abs{\mu}\abs{g}$ est sommable sur $I$; l'inégalité $\abs{\lambda f+\mu g}\leq \abs{\lambda}\abs{f}+\abs{\mu}\abs{g}$ assure la sommabilité de $\lambda f+\mu g$ sur $I$. La fonction nulle étant sommable sur $I$, $\LI{I}$ est un $\K$-sous espace vectoriel de $\CMI$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Sommabilité sur $\intfo ab$ par comparaison locale]\alaligne Soient $f$ et $g\in\mcal{CM}(\intfo ab,\K)$; \begin{prop} \item si $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$ et si $g$ est sommable sur $\intfo ab$, alors $f$ est sommable sur $\intfo ab$; \item si $f\equivalent[b] g$, alors $f$ est sommable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, $g$ est sommable sur $\intfo ab$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}\iff \abs{f}\buildrel{=}_b^{}\OO{\abs{g}}$; on retrouve le cas des fonctions positives; \monitem $f\equivalent[b] g\implique\abs{f}\equivalent[b]\abs{g}$; on retrouve le cas des fonctions positives. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Sommabilité par intersection]\alaligne Soient $f\in\CMI$ et $c\in I$; alors, $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $f$ est sommable sur $I\cap\intof{-\infty}{c}$ et sur $I\cap\intfo c{+\infty}$. \end{Th} \begin{proof} Déjà vu pour les fonctions positives, donc pour $\abs{f}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Intégrale d'une fonction intégrable (ou sommable)} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Cas des fonctions à valeurs réelles} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Parties positive et négative d'une fonction]\alaligne Pour $f\in\CMIE[I,\R]$, on pose $f^+=\sup(f,0)$ et $f^-=\sup(-f,0)$; alors $f^+$ et $f^-$ sont continues par morceaux et \begin{equation} f=f^+ - f^-\quad\et\quad\abs{f}=f^+ + f^- \end{equation} \end{Df} \begin{Prop}[Sommabilité des parties positive et négative]\alaligne Soit $f\in\CMIE[I,\R]$; $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $f^+$ et $f^-$ sont sommables sur $I$. \end{Prop} \begin{proof} Les inégalités $0\leq f^+\leq\abs{f}$ et $0\leq f^-\leq\abs{f}$ montrent que $f^+$ et $f^-$ sont sommables sur~$I$ dès que $\abs{f}$ l'est. L'égalité $f=f^+ - f^-$ montre que $f$ est sommable sur $I$ dès que $f^+$ et $f^-$ le sont. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Intégrale d'une fonction réelle sommable]\alaligne Pour $f\in\LI{I,\R}$, on pose \begin{equation} \int_I f=\int_I f^+ - \int_I f^- \end{equation} \end{Df} %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Cas des fonctions complexes} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Sommabilité des parties réelle et imaginaire]\alaligne Soit $f\in\CMIE[I,\C]$; $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $\RE(f)$ et $\IM(f)$ sont sommables sur $I$. \end{Prop} \begin{proof} Les inégalités $0\leq \abs{\RE(f)}\leq\abs{f}$ et $0\leq \abs{\IM(f)}\leq\abs{f}$ montrent que $\RE(f)$ et $\IM(f)$ sont sommables sur $I$ dès que $\abs{f}$ l'est. L'inégalité $\abs{f}\leq\abs{\RE(f)}+\abs{\IM(f)}$ montre que $f$ est sommable sur $I$ dès que $\RE(f)$ et $\IM(f)$ le sont. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Intégrale d'une fonction complexe sommable]\alaligne Pour $f\in\LI{I,\C}$, on pose \begin{equation} \int_I f=\int_I \RE(f) + i\int_I \IM(f) \end{equation} \end{Df} \begin{NB} L'intégrale des fonctions sommables réelles ou complexes est compatible avec l'intégrale des fonctions sommables positives. \end{NB} \begin{Prop}[Conjugué d'une intégrale]\alaligne Soit $f\in\CMIE[I,\C]$; alors, $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $\conjug{f}$ est sommable sur $I$, et, dans ce cas \begin{equation} \int_I \conjug{f}=\conjug{\int_I f} \end{equation} \end{Prop} \begin{proof} Les égalité $\RE(\conjug{f})=\RE(f)$ et $\IM(\conjug{f})=-\IM(f)$ montrent l'équivalence et la formule annoncées. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Propriétés de l'intégrale d'une fonction sommable} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Intégrale et suite croissante de segments]\alaligne Soient $f\in\LI{I}$ et $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$; \emph{alors} \begin{equation} \int_I f=\lim_n\int_{S_n} f \end{equation} \end{Th} \begin{proof} La formule est vraie pour les fonctions sommables et positives, donc vraie pour $f^+$ et $f^-$, et donc la formule est vraie pour les fonctions sommables à valeurs réelles. Puisque la formule est vraie pour les fonctions sommables réelles, elle est vraie pour $\RE(f)$ et $\IM(f)$, et donc la formule est vraie pour les fonctions sommables à valeurs complexes. \end{proof} %--------------------------- \begin{Prop}[Module d'une intégrale]\alaligne $$ \reponse{$\dps \qqs f\in\LI{I},\ \abs[\Big]{\int_I f}\leq\int_I\abs{f} $} $$ \end{Prop} \begin{proof} Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$; alors $$ \qqs n\in\N,\ \abs[\Big]{\int_{S_n} f}\leq\int_{S_n}\abs{f} $$ Un passage à la limite sur $n$ (les limites existent) donne le résultat $$ \lim_n\abs[\Big]{\int_{S_n} f}=\abs[\Big]{\int_I f}\leq\int_{S_n}\abs{f}=\int_I\abs{f} $$ \end{proof} %-------- \begin{Prop}[Intégrale sur un segment]\alaligne Soit $f\in\CMIE[\intf ab,\K]$; alors $f$ est sommable sur $\intf ab$, $\intfo ab$, $\intof ab$ et $\into ab$, et les quatre intégrales sont toutes égales à $\int_a^b f(t)\,\dt$, l'intégrale habituelle. \end{Prop} \begin{proof} La propriété est vraie pour les fonctions positives, donc pour $\abs{f}$, et aussi pour $f^+$ et $f^-$, donc pour les fonctions sommables réelles, puis pour $\RE(f)$ et $\IM(f)$, donc pour les fonctions sommables complexes. \end{proof} %--------------- \begin{Prop}[Intégrale d'une restriction]\alaligne Soient $f\in\LI{I}$, $c\in I$, $I^g=I\cap\intof{-\infty}c$ et $I^d=I\cap\intfo{c}{+\infty}$; alors \begin{equation} \int_I f=\int_{I^g}f+\int_{I^d}f \end{equation} Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, $f$ est sommable sur $J$ et $$ \int_J f=\int_I \chi_J f $$ \end{Prop} \begin{proof} La formule a été démontrée pour les fonctions sommables positives, donc pour les parties positive et négative de fonctions sommables réelles; cette formule est donc vraie pour les parties réelle et imaginaire de fonctions sommables complexes, donc vraie aussi pour les fonctions sommables complexes; Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $J$; l'inégalité $\int_{S_n}\abs{f}\leq\int_I\abs{f}$ montre que $f$ est sommable sur $J$. En passant à la limite sur $n$ dans $\int_{S_n}f=\int_{S_n}\chi_J f$, on obtient l'égalité annoncée. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Linéarité de l'intégrale]\alaligne Soient $f$ et $g\in\LI{I}$, $\lambda$ et $\mu\in\K$; alors \begin{equation} \int_I(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_I f+\mu\int_I g \end{equation} \end{Th} \begin{proof} $\lambda f+\mu g$ est sommable sur $I$; pour $\suite S$ suite de segments croissante vers $I$, on a $$ \qqs n\in\N,\ \int_{S_n}(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_{S_n} f+\mu\int_{S_n} g $$ Un passage à la limite sur $n$ donne le résultat. \end{proof} $$ \reponse{ $\dps f\mapsto\int_I f$ est une forme linéaire sur le $\K$-espace vectoriel $\LI{I,\K}$ } $$ %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Positivité de l'intégrale} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Croissance de l'intégrale]\alaligne Soient $f$ et $g\in\LI{I,\R}$; alors $\dps \qqs t\in I,\ f(t)\leq g(t)\implique \int_I f\leq\int_I g$ \end{Th} \begin{proof} $g-f$ est une fonction sommable et à valeurs positives; son intégrale est un nombre réel positif et la linéarité permet de conclure. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Lem} Soit $f\in\CMplI$; si $f$ est sommable sur $I$, s'il existe $x_0\in I$ tel que $f(x_0)>0$ et si $f$ est continue en $x_0$, alors $\int_I f>0$. \end{Lem} \begin{proof} Si $K_0$ est un segment de $I$ non réduit à un point qui contient $x_0$, alors $\int_{K_0} f>0$, et $\int_I f=\sup_K\int_K f\geq\int_{K_0}f>0$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Fonction continue, positive et d'intégrale nulle]\alaligne Soit $f$ une fonction \emph{continue}, \emph{positive} et sommable sur $I$; alors, \begin{equation} \int_I f=0\iff f=0 \end{equation} \end{Th} \begin{proof} Si $f$ n'est pas la fonction nulle, le lemme précédent montre $\int_I f>0$. La réciproque est évidente. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Notation $\int_a^b f$} %---------------------------------------------------------------------- Retrouvons la notation habituelle de l'intégrale : $\int_a^b f$ grâce à la : \begin{Df}[Extension de la notation $\int_a^b f$]\alaligne \begin{equation*} \int_a^b f(t)\,\dt= \begin{cases} \quad \int_{\into ab} f &\text{si $-\infty\leq a<b\leq+\infty$} \\ \quad-\int_{\into ba} f &\text{si $-\infty\leq b<a\leq+\infty$} \\ \quad 0 &\text{si $a=b$} \end{cases} \end{equation*} \end{Df} Ainsi étendue, $f\mapsto\int_a^b f(t)\,\dt$ est une forme linéaire sur $\LI{I,\K}$ où $I$ est un intervalle d'extrémités $a$ et $b$, et la relation de Chasles est vraie $$ \reponse{$\dps \qqs f\in\LI{I},\ \qqs(a,b,c)\in I^3,\ \int_a^b f(t)\,\dt=\int_a^c f(t)\,\dt+\int_c^b f(t)\,\dt $} $$ Attention! La positivité a besoin que les bornes de l'intervalle d'intégration soient dans le \og bon sens\fg. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Outils d'intégration} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Intégration par parties} %---------------------------------------------------------------------- On évitera d'intégrer par parties sur l'intervalle $I$; on intégrera par parties sur un segment d'une suite croissante vers $I$, et on passera à la limite. %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Changement de variable} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Changement de variable]\alaligne Soit $\vphi$ un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme entre les intervalles $J$ d'extrémités $\alpha$ et $\beta$ et $I=\vphi(J)$ d'extrémités $a$ et $b$; alors $$ f\text{ est sommable sur $I$}\iff(f\circ\vphi)\vphi'\text{ est sommable sur $J$} $$ Dans ce cas $$ \reponse{$\dps \int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta)}f(t)\,\dt= \int_\alpha^\beta f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u] $} $$ \end{Th} \begin{proof} Étudions le cas d'un intervalle semi-ouvert $J=\intfo{\alpha}{\beta}$ et d'un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme strictement croissant de $J$ sur $\vphi(J)=I=\intfo ab$, $a=\vphi(\alpha)$ et $b=\lim_{t\uparrow\beta}\vphi(t)$. Notons $\suite S=(\intf{\alpha}{\beta_n})_n$ une suite de segments croissante vers $\intfo{\alpha}{\beta}$; alors, la suite de segments $\bigl(\vphi(S_n)\bigr)_n=(\intf{\vphi(\alpha)}{\vphi(\beta_n)})_n=(\intf a{b_n})_n$ est une suite de segments croissante vers $\intfo ab$ et \begin{equation} \int_\alpha^{\beta_n}\abs{f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)}\,\dt[u]= \int_\alpha^{\beta_n}\abs{f\bigl(\vphi(u)\bigr)}\vphi'(u)\,\dt[u]= \int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta_n)}\abs{f(t)}\,\dt \end{equation} ce qui montre que $\lim_n\int_\alpha^{\beta_n}\abs{f\bigl(\vphi(u)\bigr)}\vphi'(u)\,\dt[u]$ existe si, et seulement si, $\lim_n\int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta_n)}f(t)\,\dt$ existe, ce qui donne l'équivalence demandée. Dans ce cas, \begin{multline} \int_\alpha^\beta f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u] = \lim_n\int_\alpha^{\beta_n} f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u] \\ = \lim_n\int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta_n)}f(t)\,\dt = \int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta)}f(t)\,\dt = \int_a^b f(t)\,\dt \end{multline} Les autres cas s'étudient de manière analogue. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Exs}\alaligne \begin{align*} \Gamma(\ra12) & =\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{\ra12-1}\,\dt = \int_0^{+\infty}e^{-t}\ra{1}{\sqrt{t}}\,\dt \\ & = \int_0^{+\infty}e^{-u^2/2}\ra{\sqrt{2}}{u}\,u\, \dt[u]\qquad(t=u^2/2,\ dt=u\,\dt[u],\ \text{$\mcal{C}^\infty$-difféo de $\into0{+\infty}$ sur $\into0{+\infty}$}) \\ & = \sqrt{2}\int_0^{+\infty}e^{-u^2/2}\,\dt[u] = \ra1{\sqrt{2}}\int_{\R}e^{-u^2}\,\dt[u]\qquad \text{ (parité de $u\mapsto e^{-u^2/2}$ sur $\R$)} \\ & = \sqrt{\pi} \end{align*} $\dps I_n=\int_0^{+\infty}\ra{1}{(1+t^2)^n}\,\dt = \int_0^{\ra{\pi}2}\ra{1}{(1+\tan^2 u)^{n-1}}\,\dt[u] = \int_0^{\ra{\pi}2}(\cos^2 u)^{n-1}\,\dt[u] = W_{2n-2}$ (Wallis, le retour) à l'aide du changement de variable $t=\tan u$, $\dt=(1+\tan^2 u)\,\dt[u])$, $\mcal{C}^\infty$-difféomorphisme de $\intfo0{\ra{\pi}2}$ sur $\intfo0{+\infty}$. Vous pouvez ajouter vos exemples. \end{Exs} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Sommabilité et intégrale impropre} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Sommabilité sur $\intfo ab$ et accroissement d'une primitive} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th} Soit $f$ une fonction réelle ou complexe, continue par morceaux sur $\intfo ab$; \begin{prop} \item si $f$ est sommable sur $\intfo ab$, \emph{alors} $\lim_b\int_a^x f(t)\,\dt$ existe; dans ce cas \begin{equation} \int_a^b f(t)\,\dt=\int_{\intfo ab}f=\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt \end{equation} \item la réciproque est \emph{FAUSSE}, en général, pour les fonctions réelles ou complexes, mais elle est vraie pour les fonctions positives. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Cas réel \begin{align*} \text{$f$ sommable sur $\intfo ab$} & \iff \text{$f^+$ et $f^-$ sont sommables sur $\intfo ab$} \\ & \iff \lim_{x\uparrow b}\int_a^x f^+ \et\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f^- \text{ existent} \\ & \boxed{\implique}\ \lim_{x\uparrow b}\int_a^x f^+ -\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f^-= \lim_{x\uparrow b}\int_a^x f\text{ existe} \end{align*} % Cas complexe \begin{align*} \text{$f$ sommable sur $\intfo ab$} & \iff \text{$\RE(f)$ et $\IM(f)$ sont sommables sur $\intfo ab$} \\ & \boxed{\implique}\ \lim_{x\uparrow b}\int_a^x \RE(f) \et \lim_{x\uparrow b}\int_a^x \IM(f) \text{ existent} \\ & \iff \lim_{x\uparrow b}\int_a^x\RE(f)+i\lim_{x\uparrow b}\int_a^x\IM(f)= \lim_{x\uparrow b}\int_a^x f\text{ existe} \end{align*} Dans ce cas, l'égalité $\int_a^b f(t)\,\dt=\lim_b\int_a^x f(t)\,\dt$, vraie pour les fonctions positives, est vraie pour les fonctions réelles et pour les fonctions complexes sommables. \monitem Il suffit d'exhiber un contre-exemple; nous allons nous y employer au paragraphe suivant. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection[L'exemple $\dps\int_0^{\to+\infty}\ra{\sin t}{t}\,\dt$] {L'exemple : $\dps\lim_{x\uparrow+\infty}\int_0^x \ra{\sin t}{t}\,\dt$} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop} $\dps t\mapsto\ra{\sin t}{t}$ n'est PAS sommable sur $\intfo0{+\infty}$ \end{Prop} \begin{proof} $t\mapsto t^{-1}\sin t$ est continue sur $\intfo0{+\infty}$ en prolongeant cette fonction par continuité par 1 en $t=0$. La fonction $t\mapsto\abs{t^{-1}\sin t}=t^{-1}\abs{\sin t}$ est sommable sur $\R_+$ si, et seulement si, la série de terme général $w_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} t^{-1}\abs{\sin t}\,\dt$ est une série convergente. Or, \begin{multline} w_n = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\ra{\abs{\sin t}}{t}\,\dt =\int_0^\pi\ra{\abs{\sin(n\pi+u)}}{n\pi+u}\,\dt[u] \qquad (t=n\pi+u,\dt=\dt[u]) \\ = \int_0^\pi\ra{\sin u}{n\pi+u}\,\dt[u] \geq\int_0^\pi\ra{\sin u}{n\pi+\pi} = \ra2{(n+1)\pi} \end{multline} ce qui montre la divergence de la série $\sum w_n$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop} $\dps\lim_{x\uparrow+\infty}\int_0^x\ra{\sin t}{t}\,\dt$ existe et vaut $\dps\int_0^{+\infty}\ra{1-\cos t}{t^2}\,\dt$ \end{Prop} \begin{proof} $g : t\mapsto t^{-2}(1-\cos t)$ est continue sur $\intfo0{+\infty}$, prolongement par continuité en $t=0$ par $g(0)=1/2$. L'inégalité $0\leq t^{-2}(1-\cos t)\leq 2t^{-2}$ montre la sommabilité de $g$ sur $\intfo1{+\infty}$, donc sur $\intfo0{+\infty}$. Ainsi \begin{equation} \int_0^{+\infty}\ra{1-\cos t}{t^2}\,\dt = \lim_{x\uparrow+\infty}\int_0^x\ra{1-\cos t}{t^2}\,\dt \end{equation} Une intégration par parties ($u'=\sin t, u=1-\cos t$, $v=t^{-1},v'=-t^{-2}$) montre pour $0<\eps<x$ \begin{equation} \int_\eps^x\ra{\sin t}{t}\,\dt = \ra{1-\cos x}{x} - \ra{1-\cos\eps}{\eps} + \int_\eps^x\ra{1-\cos t}{t}\,\dt \end{equation} Or, $\eps^{-1}(1-\cos\eps)\equivalent[\eps=0] \eps/2$ et les fonctions $\eps\mapsto\int_\eps^x t^{-1}(\sin t)\,\dt$ et $\eps\mapsto\int_\eps^x t^{-2}(1-\cos t)\,\dt$ sont continues (et même de classe $\mcal{C}^1$) sur $\R$; ce qui entraîne \begin{equation} \lim_{\eps\downarrow 0}\int_\eps^x\ra{\sin t}t\,\dt = \int_0^x\ra{\sin t}t\,\dt = \ra{1-\cos x}x+\int_0^x\ra{1-\cos t}{t^2}\,\dt \end{equation} et donne le résultat en passant à la limite quand $x$ tend vers $+\infty$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Le symbole $\int_0^{+\infty} t^{-1}\sin t \,\dt$ n'a pas de \og sens\fg, puisque la fonction $t\mapsto t^{-1}\sin t$ n'est pas sommable sur $\intfo0{+\infty}$; par contre le symbole $\int_0^{+\infty} t^{-2}(1-\cos t)\,\dt$ est \og correct\fg, puisque la fonction $t\mapsto t^{-2}(1-\cos t)$ est sommable sur $\intfo0{+\infty}$. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Intégrale impropre} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Intégrale impropre sur $\intfo ab$]\alaligne Si $f$ est une fonction complexe continue par morceaux et non intégrable sur $\intfo ab$, on dira que $f$ \emph{admet une intégrale impropre} sur $\intfo ab$ si, et seulement si, $\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt$ existe (et est finie) dans $\C$; dans ce cas, on notera $$ \int_a^{\to b} f(t)\,\dt=\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt $$ \end{Df} On a une définition analogue pour les intervalles semi-ouverts à gauche : \begin{Df}[Intégrale impropre sur $\intof ab$]\alaligne Si $f$ est une fonction complexe continue par morceaux et non intégrable sur $\intof ab$, on dira que $f$ \emph{admet une intégrale impropre} sur $\intof ab$ si, et seulement si, $\lim_{x\downarrow a}\int_x^b f(t)\,\dt$ existe (et est finie) dans $\C$; dans ce cas, on notera $$ \int_{\to a}^{b} f(t)\,\dt=\lim_{x\downarrow a}\int_x^b f(t)\,\dt $$ \end{Df} \begin{Prop} Soit $\alpha\in\R$; alors \begin{prop} \item Les fonctions $t\mapsto t^{-\alpha}\ee^{\ii t}$, $t\mapsto t^{-\alpha}\sin t$ et $t\mapsto t^{-\alpha}\cos t$ sont sommables sur $\intfo1{+\infty}$ si, et seulement si, $\alpha>1$; \item Les fonctions $t\mapsto t^{-\alpha}\ee^{\ii t}$, $t\mapsto t^{-\alpha}\sin t$ et $t\mapsto t^{-\alpha}\cos t$ admettent des intégrales impropres sur $\intfo1{+\infty}$ si, et seulement si, $0<\alpha\leq 1$. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem La fonction $t\mapsto\abs{t^{-\alpha}\ee^{\ii t}}=t^{-\alpha}$ est sommable sur $\intfo1{+\infty}$ si et seulement si, $\alpha>1$; donc aussi ses parties réelle et imaginaire; \monitem Une intégration par parties ($u'=\ee^{\ii t}, u=-\ii\ee^{\ii t}$, $v=t^{-\alpha},v'=-\alpha t^{-\alpha-1}$, les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\intfo1{+\infty}$) donne \begin{equation*} \int_1^x\ra{\ee^{\ii t}}{t^\alpha}\,\dt= -\ii\ra{\ee^{\ii x}}{x^\alpha}+\ii \ee^\ii-\ii\alpha\int_1^x\ra{\ee^{\ii t}}{t^{\alpha+1}}\,\dt \end{equation*} Or, la fonction $t\mapsto \ee^{\ii t}t^{-(\alpha+1)}$ est sommable sur $\intfo1{+\infty}$ ($\alpha+1>1$),donc $$ \lim_{+\infty}\int_1^x\ee^{\ii t}t^{-\alpha-1}\,\dt= \int_1^{+\infty}\ee^{\ii t}t^{-\alpha-1}\,\dt $$ d'autre part, $\abs{\ee^{\ii x}x^{-\alpha}}=x^{-\alpha}\tend[+\infty]0$ ($\alpha>0$). Ainsi \begin{equation} \lim_{+\infty}\int_1^x\ra{\ee^{\ii t}}{t^\alpha}\,\dt = \int_1^{\to+\infty}\ra{\ee^{\ii t}}{t^\alpha}\,\dt = \ii \ee^\ii-\ii\alpha\int_1^{+\infty}\ra{\ee^{\ii t}}{t^{\alpha +1}}\,\dt \end{equation} En prenant les parties réelle et imaginaire des deux membres, on obtient \begin{equation} \int_1^{\to+\infty}\ra{\cos t}{t^\alpha}\,\dt = -\sin1+\alpha\int_1^{+\infty}\ra{\sin t}{t^{\alpha +1}}\,\dt \et \int_1^{\to+\infty}\ra{\sin t}{t^\alpha}\,\dt = \cos1-\alpha\int_1^{+\infty}\ra{\cos t}{t^{\alpha +1}}\,\dt \end{equation} \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} La règle des équivalents est FAUSSE pour les intégrales impropres; en effet les fonctions $f : x\mapsto t^{-\ra12}\sin t$ et $g : x\mapsto f(t)\bigl(1+f(t)\bigr)$ sont équivalentes au voisinage de $+\infty$; $f$ admet une intégrale impropre sur $\intfo1{+\infty}$, tandis que $g$ n'en admet pas, car $$ g(t) = \ra{\sin t}{\sqrt{t}}+\ra{\sin^2 t}t = \ra{\sin t}{\sqrt{t}}-\ra{\cos 2t}{2t}+\ra1{2t} $$ \end{NB} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Espaces de fonctions sommables} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Norme de la convergence en moyenne} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th} L'ensemble $\LCI{I,\K}$ des fonctions à valeurs dans $\K$ continues et sommables sur $I$ est un $\K$-espace vectoriel, et $f\mapsto\normu{f}=\int_I\abs{f}$ est une norme sur cet espace; c'est la \emph{norme de la convergence en moyenne}. \end{Th} \begin{proof} Il est facile de montrer que $\LCI{I,\K}$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de $\LI{I,\K}$. Puisque $f$ est sommable, $\normu{f}$ est un nombre réel positif et \begin{prop} \item $\normu{f}=\int_I\abs{f}=0\iff\abs{f}=0\text{ ($\abs{f}$ est positive et \emph{continue}) }\iff f=0$ \item $\qqs\lambda\in\K,\ \normu{\lambda f}=\int_I\abs{\lambda f} =\abs{\lambda}\int_I\abs{f}=\abs{\lambda}\,\normu{f}$ \item $\normu{f+g}=\int_I\abs{f+g}\leq\int_I(\abs{f}+\abs{g}) =\normu{f}+\normu{g}$ \end{prop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection*{Extension à $\LI{I}$} Imposons à toute fonction $f\in\LI{I}$ d'avoir la valeur 0 en tout point de discontinuité; cette convention conserve l'intégrabilité et la valeur de l'intégrale de $f$. Avec cette convention, $\int_I\abs{f}=0$ si, et seulement si, $\abs{f(t)}=0$ en tout point de continuité de $f$ et donc en tout point de $I$. Ainsi $\normu{\,}$ est encore une norme sur $\LI{I}$. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Fonction de carré intégrable (ou sommable)} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Fonction de carré intégrable (ou sommable)]\alaligne Une fonction $f$ à valeurs réelles ou complexes et continue par morceaux sur $I$ est dite \emph{de carré intégrable (ou sommable)} sur $I$ si, et seulement si, $\abs{f}^2$ est sommable sur~$I$. L'ensemble des fonctions à valeurs dans $\K$, continues par morceaux et de carré intégrable sur $I$ est noté $\LI[2]{I,\K}$ ou $\LI[2]{I}$ s'il n'y a pas d'ambiguïté. \Reponse{$\dps f\in\LI[2]{I,\K}\iff\abs{f}^2\in\LI{I,\R_+}\iff\int_I\abs{f}^2<+\infty $} \end{Df} \begin{Exs} $t\mapsto t^{-1}\in\LI[2]{\intfo1{+\infty}}\et\notin\LI{\intfo1{+\infty}}$ \\ $t\mapsto e^{-t}\in\LI[2]{\R_+}\cap\LI{\R_+}$ \\ $t\mapsto t^{-\ra12}\in\LI{\intof01}\et\notin\LI[2]{\intof01}$ \end{Exs} \begin{Th}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\alaligne Si $f$ et $g$ sont deux fonctions de carré intégrable sur $I$, alors le produit $fg$ est intégrable sur $I$ et \Reponse{$\dps \qqs(f,g)\in \LI[2]{I}\times\LI[2]{I},\ \abs[\Big]{\int_I fg}\leq\int_I\abs{fg} \leq\sqrt{\int_I\abs{f}^2}\sqrt{\int_I\abs{g}^2} $} \end{Th} \begin{proof} Commençons par le \og truc\fg : pour tout $a$ et $b$ positifs, $0\leq 2ab\leq a^2+b^2$, car $0\leq(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$; par conséquent $$ \qqs t\in I,\ 0\leq\abs{f(t)g(t)}\leq\ra12(\abs{f(t)}^2+\abs{g(t)}^2) $$ ce qui assure la sommabilité de $fg$ sur $I$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz sur un segment $S$ de $I$ donne \begin{equation} \int_S\abs{fg}\leq\sqrt{\int_S\abs{f}^2}\sqrt{\int_S\abs{g}^2} \leq\sqrt{\int_I\abs{f}^2}\sqrt{\int_I\abs{g}^2} \end{equation} En passant à la borne supérieure sur tous les segments de $I$, on obtient l'inégalité annoncée. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor} $\LI[2]{I,\K}$ et l'ensemble $\LCI[2]{I,\K}$ des fonctions à valeurs dans $\K$ continues et de carré intégrable sont des $\K$-espaces vectoriels. \end{Cor} \begin{proof} $\LI[2]{I,\K}$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de $\CMIE[I,\K]$ : la fonction nulle est de carré intégrable sur $I$; si $f$ est de carré intégrable, $\lambda f$ l'est aussi ($\abs{\lambda f}^2=\abs{\lambda}^2\abs{f}^2$); si $f$ et $g$ sont de carré intégrable, l'inégalité $\abs{f+g}^2\leq(\abs{f}+\abs{g})^2=\abs{f}^2+\abs{g}^2+2\abs{fg}$ montre que $\abs{f+g}^2$ est intégrable sur $I$ car majorée par une combinaison linéaire de trois fonctions intégrables sur $I$. $\LCI[2]{I,\K}$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de $\LI[2]{I,\K}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Norme de la convergence en moyenne quadratique} %---------------------------------------------------------------------- Si $f$ et $g$ sont des fonctions continues par morceaux, de carré intégrable sur $I$ et à valeurs réelles (resp. complexes), $fg$ (resp.$\conjug{f}g$) est intégrable sur $I$, ce qui permet de poser \begin{gather} \qqs(f,g)\in\LI[2]{I,\R}\times\LI[2]{I,\R},\ \scal fg=\int_I fg \\ \qqs(f,g)\in\LI[2]{I,\C}\times\LI[2]{I,\C},\ \scal fg=\int_I\conjug{f}g \end{gather} \begin{Th}[Produit scalaire sur l'espace des fonctions de carré intégrable]\alaligne $\scal{\ }{\ }$ est un produit scalaire sur le $\K$-espace vectoriel $\LCI[2]{I,\K}$ des fonctions à valeurs dans $\K$ continues et de carré intégrable sur $I$. \end{Th} \begin{proof} Linéarité à droite, symétrie (éventuellement hermitienne) et positivité sont évidentes; $0=\scal ff=\int_I\abs{f}^2$ implique $\abs{f}=0$ puisque $f$ est continue. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Norme de la convergence en moyenne quadratique]\alaligne $f\mapsto\normd{f}=\sqrt{\scal ff}=\sqrt{\int_I\abs{f}^2}$ est une norme sur l'espace des fonctions continues et de carré intégrable sur $I$; on l'appelle \emph{la norme de la convergence en moyenne quadratique} sur $I$ \end{Th} \begin{proof} C'est la norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection*{Extension aux fonctions continues par morceaux} %---------------------------------------------------------------------- En utilisant toujours la même convention, on donne la valeur 0 en tout point de discontinuité de la fonction, $\scal{\ }{\ }$ reste un produit scalaire sur $\LI[2]{I}$, $0=\scal ff=\int_I\abs{f}^2$ implique $\abs{f(t)}=0$ en tout point de continuité de $f$ donc en tout point de $I$, et $\normd{\ }$ reste une norme sur $\LI[2]{I}$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit encore pour $f$ et $g$ dans $\LI[2]{I}$ $$ \abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_I\conjug{f}g} \leq\normd{f}\normd{g} =\sqrt{\int_I\abs{f}^2}\sqrt{\int_I\abs{g}^2} $$ \begin{Prop}[Continuité de la norme $\normd{\ }$ et du produit scalaire]\alaligne Si $\suite f$ (resp. $suite g$) est une suite de fonctions continues et de carré intégrable sur $I$ qui converge vers une fonction $f$ (resp. $g$) continue et de carré intégrable sur $I$ pour la norme de la convergence en moyenne quadratique (en résumé et en clair $\normd{f-f_n}\tend 0$ et $\normd{g-g_n}\tend0$), alors \begin{prop} \item $\normd{f_n}\tend\normd{f}$; \item $\scal{f_n}{g_n}\tend\scal fg$. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof} L'inégalité triangulaire \og inversée\fg{} montre $\abs[\big]{\normd{f}-\normd{f_n}}\leq\normd{f-f_n}\tend0$ \\ Utilisant la célèbre technique de l'apparition-compensation, on obtient \begin{align} \abs[\big]{\scal fg-\scal{f_n}{g_n}} & = \abs[\big]{\scal fg-\scal{f_n}g+\scal{f_n}g-\scal{f_n}{g_n}} \\ & = \abs[\big]{\scal{f-f_n}g+\scal{f_n}{g-g_n}} \\ & \leq\abs[\big]{\scal{f-f_n}g}+\abs[\big]{\scal{f_n}{g-g_n}} \\ & \leq\normd{f-f_n}\normd{g}+\normd{f_n}\normd{g-g_n} \tend 0\times\normd{g}+\normd{f}\times0=0 \end{align} \end{proof} %--------------------------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Les théorèmes de convergence} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Donner des hypothèses simples et efficaces pour permettre la permutation des symboles $\lim_n$, $\lim_a$ et $\dt[]/\dt[x]$ avec $\int_I$, tel est le but de ce paragraphe. Commençons par étudier un exemple. Soit $$ f_n : t\mapsto \begin{cases} n^{-2}t & \text{si $t\in\intfo0n$} \\%[2ex] 2n^{-1}-n^{-2}t & \text{si $t\in\intfo n{2n}$} \\%[1ex] 0 & \text{si $t\in\intfo {2n}{+\infty}$} \end{cases} $$ Pour tout entier $n\geq1$, la fonction $f_n$ est une fonction continue sur $\R_+$ telle que $\normi{f_n}=\ra1n$, ce qui montre la convergence uniforme sur $\R_+$ de la suite $\suite f$ vers la fonction nulle. D'autre part, $\int_0^{+\infty} f_n(t)\,\dt=\int_0^{2n} f_n(t)\,\dt=1$ pour tout $n$. Ainsi \begin{equation} \lim_n\int_{\R_+}f_n=1\neq\int_{\R_+}\lim_n f_n=\int_{\R_+}0=0 \end{equation} Quelle est la morale de l'histoire? La convergence uniforme sur $I$ d'une suite de fonctions n'autorise pas la permutation des symboles $\lim_n$ et $\int_I$, contrairement à ce qui était dans le cas de l'intégrale sur un segment. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Le théorème de convergence monotone de Beppo Levi} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[de convergence monotone, cas croissant]\alaligne Si $\suite f$ est une suite de fonctions \emph{réelles} et continues par morceaux telles que \begin{prop} \item pour tout entier $n$, la fonction $f_n$ est intégrable sur $I$; \item la suite $n\mapsto f_n$ est croissante, \ie{} $\qqs(n,t)\in\N\times I,\ f_n(t)\leq f_{n+1}(t)$; \item la suite de fonctions $\suite f$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux; \end{prop} alors, la fonction $f$ est intégrable sur $I$ si, et seulement si la suite $\bigl(\int_I f_n\bigr)_n$ est majorée et, dans ce cas, \begin{equation} \int_I f=\int_I\lim_n f_n=\lim_n\int_I f_n=\sup_n\int_I f_n \end{equation} \end{Th} \begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)] \CN La croissance de la suite $\suite f$ donne les inégalités $f_n\leq f_{n+1}\leq\cdots\leq f$, et par intégration $\int_ I f_n\leq\int_I f_{n+1}\leq\cdots\leq\int_I f$. La suite $\bigl(\int_I f_n\bigr)_n$ est croissante et majorée et \begin{equation} \lim_n\int_I f_n=\sup_n\int_I f_n\leq\int_I f \end{equation} \CS Donnons une preuve avec l'hypothèse supplémentaire : la suite $\suite f$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers $f$. En utilisant, si besoin est, la suite $(f_n-f_0)_n$, on peut toujours se ramener à une suite $\suite f$ de fonctions à valeurs réelles positives. Pour tout segment $S$ de $I$, on a $\int_S f_n\leq\int_I f_n\leq \sup_n\int_I f_n$; la convergence uniforme sur $S$ de $\suite f$ vers $f$ montre que $\lim_n\int_S f_n=\int_S f$ ($\leq\sup_n\int_I f_n$). Ainsi $$ \text{la fonction $f$ est intégrable sur $I$, et } \sup_S\int_S f=\int_I f\leq\sup_n\int_I f_n $$ L'équivalence est démontrée et l'égalité demandée aussi. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[de convergence monotone, cas décroissant]\alaligne Si $\suite f$ est une suite de fonctions \emph{réelles} et continues par morceaux telles que \begin{prop} \item pour tout entier $n$, la fonction $f_n$ est intégrable sur $I$; \item la suite $n\mapsto f_n$ est décroissante, \ie{} $\qqs(n,t)\in\N\times I,\ f_n(t)\geq f_{n+1}(t)$; \item la suite de fonctions $\suite f$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux; \end{prop} alors, la fonction $f$ est intégrable sur $I$ si, et seulement si la suite $\bigl(\int_I f_n\bigr)_n$ est minorée et, dans ce cas, \begin{equation} \int_I f=\int_I\lim_n f_n=\lim_n\int_I f_n=\inf_n\int_I f_n \end{equation} \end{Th} \begin{proof} On applique le cas précédent à la suite de fonctions $\suite{-f}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Ex} $\dps\lim_n\int_0^{+\infty}(\tanh nt)\,\ee^{-t}\,\dt = \int_0^{+\infty}\ee^{-t}\,\dt = 1$.\\ En effet \begin{prop} \item $\qqs(n,t)\in\N\times\R_+,\ 0\leq(\tanh nt)\,\ee^{-t}\leq \ee^{-t}$ ce qui montre que $t\mapsto (\tanh nt)\,\ee^{-t}\in\LCI{\R_+,\R}$; \item $\tanh$ est une fonction croissante sur $\R$, donc $\qqs(n,t)\in\N\times\R_+,\ \tanh nt\leq\tanh(n+1)t$ et la suite $(f_n : t\mapsto (\tanh nt)\,\ee^{-t})_n$ est une suite croissante; \item $\qqs t>0,\ (\tanh nt)\,\ee^{-t}\tend \ee^{-t}$ et $\tanh0\,\ee^0=0$ montre que la suite $\suite f$ converge simplement sur $\R_+$ vers la fonction $ f : t\mapsto \ee^{-t}\chi_{\into0{+\infty}}(t)$ qui est sommable sur $\R_+$. \end{prop} \end{Ex} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Application à l'intégration terme à terme d'une série de fonctions} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Cas d'une série de fonctions à valeurs réelles positives]\alaligne Si $\sum u_n$ est une série de fonctions à valeurs réelles positives ($\qqs t\in I,\ u_n(t)\geq0$) telle que \begin{prop} \item pour tout entier $n$, les fonctions $u_n$ sont sommables sur $I$; \item la série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers $S : t\mapsto\sum_{n=0}^\infty u_n(t)$, fonction continue par morceaux; \end{prop} alors, la somme $S=\sum u_n$ de la série est sommable sur $I$ si, et seulement si, la série des intégrales $\sum\int_I u_n$ est convergente, et, dans ce cas, \begin{equation} \int_I S=\int_I\sum_{n=0}^\infty u_n(t)\,\dt=\sum_{n=0}^\infty\int_I u_n \end{equation} \end{Th} \begin{proof} On pose $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$; alors, pour tout $n$, $S_n$ est sommable sur $I$ (combinaison linéaire d'un nombre fini de fonctions sommables), la suite $\bigl(S_n(t)\bigr)_n$ est croissante (la série est à termes positifs), et la suite $\suite S$ converge simplement sur $I$ vers $S$ fonction continue par morceaux. Le théorème de convergence monotone montre que $S$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, la suite $\bigl(\int_I S_n\bigr)_n=\bigl(\sum_{k=0}^n\int_I u_k\bigr)_n$ est une suite majorée, \ie{} si, et seulement si, la série $\sum\int_I u_n$ est une série convergente (une série à termes positifs converge si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est une suite majorée); dans ce cas, on a \begin{equation} \int_I S=\int_I\sum_{n=0}^\infty u_n=\lim_n\int_I S_n=\lim_n\sum_{k=0}^n\int_I u_k = \sum_{n=0}^\infty\int_I u_n \end{equation} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Ex}\label{ex\DP seriedivergente} La série $\dps\sum_{n\geq1}\int_{t=0}^{+\infty}(1+t^2)^{-n}\,\dt$ est divergente, car \begin{prop} \item pour tout entier $n\geq1$, $u_n : t \mapsto(1+t^2)^{-n}$ est sommable sur $\into0{+\infty}$ : $u_1$ est sommable sur $\R$ et, pour tout $t\in\into0{+\infty}$, $0<u_n(t)\leq u_1(t)$; \item la série $\sum_{n=1}^\infty u_n(t)$ converge simplement sur $\into0{+\infty}$ vers $S(t)=\sum_{n=1}^\infty(1+t^2)^{-n}=t^{-2}$ : on pose $q=(1+t^2)^{-1}$ et $\sum_{n=1}^\infty q^n=q(1-q)^{-1}$. \end{prop} Puisque $S$ n'est pas intégrable sur $\into0{+\infty}$, la série est divergente. \end{Ex} \begin{Th}[Cas d'une série de fonctions à valeurs réelles ou complexes]\alaligne Si $\sum u_n$ est une série de fonctions à valeurs réelles ou complexes telle que \begin{prop} \item pour tout entier $n$, les fonctions $u_n$ sont sommables sur $I$; \item la série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers $S : t\mapsto\sum_{n=0}^\infty u_n(t)$, fonction continue par morceaux; \item la série des intégrales $\sum\int_I\abs{u_n}$ est convergente (attention au module!); \end{prop} alors, \begin{prop} \item la somme $S=\sum u_n$ est sommable sur $I$ et $\dps\int_I S=\int_I\sum_{n=0}^\infty u_n(t)\,\dt= \sum_{n=0}^\infty\int_I u_n(t)\,\dt$; \item $\dps\normu{S}=\int_I\abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n(t)}\,\dt\leq \sum_{n=0}^\infty\int_I\abs[\big]{u_n(t)}\,\dt$ \end{prop} \end{Th} \begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)] Donnons une preuve avec l'hypothèse supplémentaire que la série de fonctions $\sum u_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$. Soient $\eps>0$ et $K$ un segment de $I$; puisque la série de fonctions $\sum u_n$ converge uniformément sur le segment $K$, il existe un entier $N$ dépendant de $\eps$ et $K$ tel que $\norme{\sum_{n=N+1}^\infty u_n}_{\infty,K}<\eps/\abs{K}$ où $\abs{K}$ désigne la longueur du segment $K$; alors \begin{align} \int_K\abs{S} = \int_K\abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n} & \leq \int_K\abs[\Big]{\sum_{n=0}^N u_n} + \int_K\abs[\Big]{\sum_{n=N+1}^\infty u_n} \\ & \leq \int_K\sum_{n=0}^N\abs{u_n} + \int_K\norme[\Big]{\sum_{n=N+1}^\infty u_n}_{\infty,K} \\ & \leq \sum_{n=0}^N\int_K \abs{u_n} + \eps \leq \sum_{n=0}^N\int_I \abs{u_n} + \eps \leq \sum_{n=0}^\infty\int_I \abs{u_n} + \eps \end{align} L'inégalité ayant lieu pour tout $\eps>0$, on en déduit que, pour tout segment $K$ de $I$, $\int_K\abs{S}\leq\sum_{n=0}^\infty\int_I\abs{u_n}$. Ainsi $S$ est sommable sur $I$ et \begin{equation} \sup_K\int_K\abs{S}=\int_I\abs{S}=\int_I\abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n} \leq \sum_{n=0}^\infty\int_I\abs{u_n} \end{equation} Appliquons les inégalités précédentes à la fonction (sommable) $S-\sum_{k=0}^n u_k = \sum_{k=n+1}^\infty u_k$ : \begin{equation} \abs[\Big]{\int_I S-\sum_{k=0}^n\int_I u_k} = \abs[\Big]{\int_I\sum_{k=n+1}^\infty u_k} \leq \int_I\abs[\Big]{\sum_{k=n+1}^\infty u_k} \leq \sum_{k=n+1}^\infty\int_I\abs{u_k} \tend 0 \end{equation} ce qui montre que $\int_I\sum_n u_n=\sum_n\int_I u_n$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} La convergence de la série $\sum_n\int_I\abs{u_n}$ est indispensable, la convergence de la série $\sum_n\int_I u_n$ ne suffit pas à permettre l'intégration terme à terme. \end{NB} \begin{Exs} $\dps\int_{t=0}^{+\infty}\ee^{-t}\cos\sqrt{t}\,\dt= \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{n!}{(2n)!}$\\ Développons la fonction $\cos$ en série; de $\cos u=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n u^{2n}/(2n)!$, on tire $\ee^{-t}\cos\sqrt{t}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n \ee^{-t}t^n/(2n)!$. On a \begin{prop} \item pour tout entier $n$, la fonction $u_n : t\mapsto(-1)^n\ee^{-t}t^n/(2n)!$ est sommable sur $\intfo0{+\infty}$, car $\ee^{-t}t^n=\OO[\big]{\ee^{-t/2}}$ quand $t\to+\infty$; \item $\int_{t=0}^{+\infty}\abs[\big]{u_n(t)}\,\dt= 1/(2n)!\int_{t=0}^{+\infty}\ee^{-t}t^n\,\dt=n!/(2n)!$ et la série $\sum\int_{t=0}^{+\infty}\abs[\big]{u_n(t)}\,\dt$ est convergente. \end{prop} Le théorème d'intégration terme à terme est vérifié et donne la formule demandée. $\dps\sum_{n=1}^\infty\int_\R \ra{(-1)^{n-1}}{(1+t^2)^{n}}\,\dt= \int_\R\ra1{2+t^2}\,\dt=\ra{\pi}{\sqrt{2}}$\\ Posons $u_n(t)=(-1)^{n-1}(1+t^2)^{-n}$; l'exemple \ref{ex\DP seriedivergente} montre que les fonctions $u_n$ sont sommables sur $\R$ et que la série $\sum\int_\R\abs{u_n}$ est divergente. Il faut revenir aux sommes partielles et passer à la limite en utilisant $\sum_{k=1}^n q^k=(q-q^{n+1})(1-q)^{-1}$ pour $q=-(1+t^2)^{-1}$ : $$ \sum_{k=1}^n\int_\R \ra{(-1)^{k-1}}{(1+t^2)^{k}}\,\dt= -\int_\R \sum_{k=1}^n\Bigl(\ra{-1}{1+t^2}\Bigr)^k\,\dt= \int_\R\ra1{2+t^2}\,\dt+(-1)^{n+1}\int_\R\ra1{(2+t^2)(1+t^2)^n}\,\dt $$ On utilise maintenant le théorème de convergence dominée pour déterminer la limite de la seconde intégrale : \begin{prop} \item pour tout $t\in\R\prive\{0\}$, $(2+t^2)^{-1}(1+t^2)^{-n}\tend0$; \item pour tout entier $n\geq1$ et réel $t\in\R$, $0<(2+t^2)^{-1}(1+t^2)^{-n}\leq(2+t^2)^{-1}$ et $t\mapsto (2+t^2)^{-1}$ est une fonction sommable sur $\R$ (inégalité de domination); \end{prop} ce qui montre que $\lim_n \int_\R(-1)^{n+1}(2+t^2)^{-1}(1+t^2)^{-n}\,\dt= \int_\R 2^{-1}\chi_{\R\prive\{0\}}(t)\,\dt=0$. \end{Exs} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Le théorème de convergence dominée d'Henri Lebesgue} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[de convergence dominée]\alaligne Si $\suite f$ est une suite de fonctions continues par morceaux sur $I$ et à valeurs réelles ou complexes telle que \begin{prop} \item la suite $\suite f$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux; \item il existe une fonction $\vphi$ à valeurs réelles positives et \emph{sommable} sur $I$ telle que : $$ \qqs(n,t)\in\N\times I,\ \abs{f_n(t)}\leq\vphi(t) \qquad\text{ (hypothèse de domination)} $$ \end{prop} alors la fonction $f$ est sommable sur $I$ et $\dps\int_I f=\int_I\lim_n f_n=\lim_n\int_I f_n$ \end{Th} \begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)] Nous allons faire l'hypothèse (supplémentaire) que la suite $\suite f$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $I$. En passant à la limite sur $n$ dans l'inégalité $\qqs(n,t)\in\N\times I,\ \abs{f_n(t)}\leq\vphi(t)$, on obtient que pour tout $t\in I$, $\abs{f(t)}\leq\vphi(t)$, ce qui montre la sommabilité de la fonction $f$ sur $I$ puisque $\vphi$ est sommable sur $I$. Donnons-nous $\eps>0$; l'intégrabilité de $\vphi$ sur $I$ montre l'existence d'un segment $K$ tel que $0\leq\int_{I\setminus K}\vphi\leq\eps$; le segment $K$ étant fixé, on peut alors trouver un rang $N$ à partir duquel on a l'inégalité $\norme{f-f_n}_{\infty,K}\leq \eps/\abs{K}$. Ainsi $$ \begin{array}{ccccccccc} \dps\abs[\Big]{\int_I f-\int_I f_n} & \leq & \dps\abs[\Big]{\int_I f-\int_K f} & + & \dps\abs[\Big]{\int_K f-\int_K f_n} & + & \dps\abs[\Big]{\int_K f_n-\int_I f_n} && \\[4ex] & = & \dps\abs[\Big]{\int_{I\setminus K} f} & + & \dps\abs[\Big]{\int_K (f-f_n)} & + & \dps\abs[\Big]{\int_{I\setminus K} f_n} && \\[4ex] & \leq & \dps\int_{I\setminus K}\abs{f} & + & \dps\int_K\abs{f-f_n} & + & \dps\int_{I\setminus K}\abs{f_n} && \\[4ex] & \leq & \dps\int_{I\setminus K}\vphi & + & \dps\int_K\norme[\big]{f-f_n}_{\infty,K} & + & \dps\int_{I\setminus K}\vphi & \leq & 3\eps \end{array} $$ % ce qui montre que $\int_I f_n\tend\int_I f$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Ex} $\dps\lim_n\int_{-\infty}^{+\infty}\Bigl(1+\ra{t^2}{2n}\Bigr)^{-n}\,\dt = \int_{-\infty}^{+\infty}\exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)\,\dt$\\ Pour $n\geq1$, la formule du binôme de Newton donne $$ \Bigl(1+\ra{t^2}{2n}\Bigr)^n=1+\combinaison{n}{1}\ra{t^2}{2n}+\cdots \geq 1+\combinaison{n}{1}\ra{t^2}{2n}=1+n\ra{t^2}{2n}=1+\ra{t^2}2 $$ ce qui montre que $\qqs(n,t)\in\N^*\times\R,\ 0\leq f_n(t)=\bigl(1+t^2/(2n)\bigr)^{-n} \leq (1+t^2/2)^{-1}=\vphi(t)$; or $\vphi$ est sommable sur $\R$ et l'hypothèse de domination est vérifiée. Puisque $-n\ln\bigl(1+t^2/(2n)\bigr)\equivalent -n\bigl(t^2/(2n)\bigr)=-t^2/2$, on a : \begin{equation} \qqs t\in\R,\ f_n(t)=\exp\Bigl(-n\ln\bigl(1+\ra{t^2}{2n}\bigr)\Bigr)\tend \exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)=f(t) \end{equation} ainsi, la suite de fonctions $\suite f$ converge simplement sur $\R$ vers la fonction $f : t\mapsto \ee^{-t^2/2}$ qui est continue, et même de classe $\mcal{C}^\infty$, sur $\R$. Le calcul de $\int_\R\bigl(1+t^2/(2n)\bigr)^{-n}\,\dt$ permet de déterminer la valeur de l'intégrale de Gauss. \begin{align*} \int_\R\Bigl(1+\ra{t^2}{2n}\Bigr)^{-n}\,\dt & = 2\int_0^{+\infty}\Bigl(1+\ra{t^2}{2n}\Bigr)^{-n}\,\dt &\quad& \text{parité de l'intégrande} \\ & = 2\int_0^{+\infty}\ra1{(1+u^2)^n}\sqrt{2n}\,\dt[u] && \text{$u=\ra{t}{\sqrt{2n}}$, $\dt=\sqrt{2n}\,\dt[u]$} \\ & = 2\sqrt{2n}\int_0^{\pi/2}\ra1{(1+\tan^2 v)^{n-1}}\,\dt[v] && \text{$u=\tan v$, $\dt[u]=(1+\tan^2 v)\,\dt[v]$} \\ & = 2\sqrt{2n}\int_0^{\pi/2} (\cos v)^{2n-2}\,\dt[v]=2\sqrt{2n}\,W_{2n-2} && \text{$1+\tan^2 v=\ra1{\cos^2 v}$} \end{align*} C'est le retour de l'intégrale de Wallis dont on connaît un équivalent $W_n\equivalent\sqrt{\pi/(2n)}$; on peut donc passer à la limite sur $n$ : $\lim_n 2\sqrt{2n}\,W_{2n-2}=\sqrt{2\pi}$, ce qui donne : \Reponse{$\dps \int_{-\infty}^{+\infty}\exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)\,\dt=\sqrt{2\pi} $} \end{Ex} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Intégrale dépendant d'un paramètre} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Le but de cette section est d'étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions du type $x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt$, par exemple $$ \Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\dt \qquad \hat{f} : x\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2/2}e^{-i2\pi xt}\,\dt $$ On note $I$ l'intervalle d'intégration et $t$ la variable d'intégration; $A$ désigne l'intervalle dans lequel varie le paramètre $x$. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Continuité} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Continuité d'une intégrale par rapport au paramètre]\alaligne Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle que \begin{prop} \item $f$ est continue sur $A\times I$ rapport au couple $(x,t)$; \item il existe une application $\vphi$ à valeurs réelles positives et \emph{sommable} sur $I$ telle que $$ \qqs(x,t)\in A\times I,\ \abs{f(x,t)}\leq\vphi(t)\quad\text{(hypothèse de domination)} $$ \end{prop} alors, pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est sommable sur $I$ et l'application $$ g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt $$ est définie et continue sur $A$. \end{Th} \begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)] L'hypothèse de domination permet d'appliquer le critère de comparaison (globale) et montre la sommabilité de $t\mapsto f(x,t)$. Montrons la continuité de $g$ en un point \emph{quelconque} $a\in A$; pour cela, utilisons la caractérisation séquentielle de la continuité, à savoir : $g$ est continue en $a$ si, et seulement si, pour toute suite $\suite x$ de $A$ de limite $a$, $\bigl(g(x_n)\bigr)_n$ est une suite convergente de limite $g(a)$. Soient $\suite x$ une suite de $A$ de limite $a$ et $h_n$ la fonction $t\mapsto f(x_n,t)$. Pour tout entier $n$, on a $\abs{h_n(t)}=\abs{f(x_n,t)}\leq\vphi(t)$ et, vu la continuité de la fonction $f$, $\lim_n h_n(t)=\lim_n f(x_n,t)=f(a,t)$. Les hypothèses du théorème de convergence dominée sont satisfaites et \begin{equation} \lim_n g(x_n)=\lim_n\int_I h_n=\int_I\lim h_n=\int_I f(a,t)\,\dt=g(a) \end{equation} La fonction $g$ est donc continue en tout point $a$ de $A$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Ex} La fonction $\dps \hat{f} : x\mapsto\int_\R \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\,\dt$ est continue sur $\R$.\\ $(x,t)\mapsto f(x,t)=\ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}$ est continue sur $\R\times\R$.\\ $\qqs(x,t)\in\R^2$, $\abs{f(x,t)}=\ee^{-t^2/2}=\vphi(t)$ et $\vphi$ est intégrable sur $\R$, l'hypothèse de domination est satisfaite. \end{Ex} %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection*{Extension au cas où l'hypothèse de domination est vérifiée sur tout segment de $A$} %---------------------------------------------------------------------- La continuité est une propriété locale : dire que $g$ est continue sur $A$, c'est dire que $g$ est continue en tout point de $A$, ou encore, c'est montrer la continuité de $g$ sur tous les segments de~$A$; d'où le théorème \begin{Th}[Continuité d'une intégrale par rapport au paramètre, domination sur tout segment]\alaligne Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle que \begin{prop} \item la fonction $f$ est continue sur $A\times I$ rapport au couple $(x,t)$; \item pour tout segment $S$ de $A$, il existe une application $\vphi_S$ à valeurs réelles positives et \emph{sommable} sur $I$ telle que $$ \qqs x\in S,\ \qqs t\in I,\ \abs{f(x,t)}\leq\vphi_S(t)\quad\text{(hypothèse de domination sur le segment $S$)} $$ \end{prop} alors, pour $\qqs x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est sommable sur $I$ et l'application $$ g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt $$ est définie et continue sur $A$. \end{Th} \begin{Ex} Continuité de la fonction $\Gamma$. \Reponse{La fonction $\dps\Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\dt$ est continue sur $\into0{+\infty}$ } La fonction $f : (x,t)\mapsto t^{x-1}e^{-t}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)e^{-t}$ est continue sur $\into0{+\infty}\times\into0{+\infty}$. Soit $0<a<b<+\infty$; $\qqs x\in\intf ab$, $\qqs t\in\intof01$, $t^{x-1}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)\leq t^{a-1}$ ($\ln t\leq0$ et la fonction $x\mapsto t^{x-1}$ est monotone décroissante) et $\qqs t\in\into1{+\infty}$, $t^{x-1}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)\leq t^{b-1}$ ($\ln t>0$ et la fonction $x\mapsto t^{x-1}$ est monotone croissante). Ainsi \begin{gather*} \qqs(x,t)\in\intf ab\times\into0{+\infty},\ 0<t^{x-1}\leq\max(t^{a-1},t^{b-1}) \leq t^{a-1}+t^{b-1} \\ \et 0<t^{x-1}e^{-t}\leq(t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t}=\vphi_{\intf ab}(t) \end{gather*} L'application $\vphi_{\intf ab}$ est sommable sur $\into0{+\infty}$. Ainsi $\Gamma$ est continue sur $\into0{+\infty}$. La continuité de la fonction $\Gamma$ en $x=1$ montre que $\lim_{x\to 0}\Gamma(x+1)=\Gamma(1)=1$; de l'identité $\Gamma(x)=\Gamma(x+1)/x$, on tire $$ \Gamma(x)\equivalent[x\downarrow 0]\ra1x\quad\et\quad \lim_{x\downarrow 0}\Gamma(x)=+\infty $$ \end{Ex} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Dérivation sous le signe $\int_I$, formule de Leibniz} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Dérivation sous le signe $\int_I$]\alaligne Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle que \begin{prop} \item les fonctions $f$ et $\del{f}{x}$ sont continues sur $A\times I$ rapport au couple $(x,t)$; \item il existe deux applications $\vphi_0$ et $\vphi_1$ à valeurs réelles positives et \emph{sommables} sur $I$ telles que $$ \qqs x\in A,\ \qqs t\in I,\ \abs{f(x,t)}\leq\vphi_0(t) \et\abs[\Big]{\del{f}{x}(x,t)}\leq\vphi_1(t)\quad\text{(hypothèses de domination)} $$ \end{prop} alors l'application $g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $A$ et \begin{equation} \qqs x\in A,\ g'(x)=\ra{\dt[]}{\dt[x]}\int_I f(x,t)\,\dt = \int_I\del{f}{x}(x,t)\,\dt \end{equation} \end{Th} \begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)] Le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre montre la continuité de $g$ sur $A$, grâce à la domination $\abs{f(x,t)}\leq\vphi_0(t)$ avec $\vphi_0\in\LI{I}$. Nous allons montrer la dérivabilité de $g$ en un point (quelconque) $a$ de $A$ en déterminant la limite du taux d'accroissement de $g$ en $a$, soit \begin{equation} \lim_{h\to 0}\ra{g(a+h)-g(a)}{h}=\lim_{h\to 0}\int_I\ra{f(a+h,t)-f(a,t)}{h}\,\dt \end{equation} Pour cela, posons \begin{equation} \mcal{F}(h,t)= \begin{cases} \dps\ra1h\bigl(f(a+h,t)-f(a,t)\bigr) & \text{ si $h\neq0$} \\[2ex] \dps\del{f}{x}(a,t) & \text{ si $h=0$} \end{cases} \end{equation} $\mcal{F}$ est une fonction continue par rapport au couple $(h,t)$ sur $V\times I$ où $V$ est un voisinage de $h=0$; l'inégalité de Taylor assure l'inégalité $\qqs(h,t)\in V\times I,\ \abs{\mcal{F}(h,t)}\leq\vphi_1(t)$ (hypothèse de domination). C'est pourquoi $h\mapsto\int_I \mcal{F}(h,t)\,\dt$ est une fonction continue en $h=0$, soit \begin{equation} g'(a)= \lim_{h\to0}\ra{g(a+h)-g(a)}{h} = \lim_{h\to0}\int_I \mcal{F}(h,t)\,\dt = \int_I \mcal{F}(0,t)\,\dt = \int_I\del{f}{x}(a,t)\,\dt \end{equation} Le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre montre la continuité de la fonction dérivée $g' : x\mapsto\int_I\del{f}{x}(x,t)\,\dt$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Ex} La fonction $\dps \hat{f}: x\mapsto\int_\R \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii2\pi xt}\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $\R$ et \Reponse{$\dps \qqs x\in\R,\ \int_\R \ee^{-t^2/2}e^{-2\ii\pi xt}\,\dt=\sqrt{2\pi}\,\ee^{-2\pi^2 x^2} $} Les fonctions $(x,t)\mapsto f(x,t)=\ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}$ et $(x,t)\mapsto \del{f}{x}(x,t)=-\ii 2\pi t \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}$ sont continues sur $\R\times\R$. Pour tout $x\in\R$ et $t\in\R$, on a les majorations : $\abs{f(x,t)}=\ee^{-t^2/2}=\vphi_0(t)$ et $\abs[\big]{\del{f}{x}(x,t)}=2\pi\abs{t}\ee^{-t^2/2}=\vphi_1(t)$; les fonctions $\vphi_0$ et $\vphi_1$ sont intégrables sur $\R$ (les hypothèses de domination sont remplies). La fonction $\hat{f}$ est donc de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R$ et $$ (\hat{f})'(x)=\int_\R \del{f}{x}(x,t)\,\dt= \int_\R-\ii 2\pi t \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\,\dt $$ Intégrons par parties ($u'_t=-t \ee^{-t^2/2},u=\ee^{-t^2/2}$, $v=e^{-\ii 2\pi xt}, v'_t=-\ii 2\pi xe^{-i2\pi xt}$) sur le segment $\intf{-n}n$ avec $n\in\N$ qui tend vers $+\infty$ : \begin{align} (\hat{f})'(x) & = \ii2\pi\int_\R -t\ee^{-t^2/2}e^{-\ii 2\pi xt}\,\dt = \ii 2\pi\lim_n\int_{-n}^n -t\ee^{-t^2/2}e^{-\ii 2\pi xt}\,\dt \\ & = \ii 2\pi\lim_n\biggl\{ \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\entre[\Big]{t=-n}{t=n} +\ii 2\pi x\int_{-n}^n \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\,\dt \biggr\} \\ & = 0+(\ii 2\pi)^2 x\int_\R \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\,\dt=-4\pi^2 x\hat{f}(x) \end{align} car $\lim_{t\to\infty}\abs{e^{-t^2/2}e^{-i2\pi xt}}=\lim_{t\to\infty}e^{-t^2/2}=0$. La fonction $\hat{f}$ vérifie l'équation différentielle $y'=-4\pi^2 x\,y$ dont les $\R$-solutions sont $y(x)=K\ee^{-2\pi^2 x^2}$. Or, $\hat{f}(0)=\int_\R \ee^{-t^2/2}\,\dt = \sqrt{2\pi}$ ce qui détermine la constante d'intégration $K$. \end{Ex} %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection*{Extension au cas où l'hypothèse de domination est vérifiée sur tout segment de $A$} %---------------------------------------------------------------------- La dérivabilité est une propriété locale : dire que $g$ est dérivable sur $A$, c'est dire que $g$ est dérivable en tout point de $A$, ou encore, c'est montrer la dérivabilité de $g$ sur tous les segments de $A$; de même montrer que $g$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $A$, c'est montrer que $g$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur tous les segments de $A$. D'où le théorème \begin{Th}[Dérivation sous le signe $\int_I$, domination sur tout segment]\alaligne Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle que \begin{prop} \item les fonctions $f$ et $\del{f}{x}$ sont continues sur $A\times I$ rapport au couple $(x,t)$; \item pour tout segment $S$ de $A$, il existe deux applications $\vphi_{0,S}$ et $\vphi_{1,S}$ à valeurs réelles positives et \emph{sommables} sur $I$ telles que \begin{multline*} \qqs x\in S,\ \qqs t\in I,\ \abs{f(x,t)}\leq\vphi_{0,S}(t) \et\abs[\Big]{\del{f}{x}(x,t)}\leq\vphi_{1,S}(t) \\ \quad\text{(hypothèses de domination sur tout segment)} \end{multline*} \end{prop} alors l'application $g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $A$ et \begin{equation} \qqs x\in A,\ g'(x)=\ra{d}{dx}\int_If(x,t)\,\dt = \int_I\del{f}{x}(x,t)\,\dt \end{equation} \end{Th} \begin{Ex}\alaligne \Reponse{La fonction $\dps\Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $\into0{+\infty}$ \\ $\dps\qqs x>0,\ \Gamma'(x)=\int_0^{+\infty}(\ln t) t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt $} Les fonctions $f : (x,t)\mapsto t^{x-1}\ee^{-t}$ et $\del{f}{x} : (x,t)\mapsto (\ln t) t^{x-1}\ee^{-t}$ sont continues sur $\into0{+\infty}\times\into0{+\infty}$. Soient $0<a<b<+\infty$; pour tout $x\in\intf ab$ et $t\in\into0{+\infty}$, on a les inégalités $0<f(x,t)\leq(t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t}=\vphi_{0,\intf ab}(t)$ et $\abs{\del{f}{x}(x,t)}=\abs{\ln t}f(x,t)\leq\abs{\ln t}(t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t} = \vphi_{1,\intf ab}(t)$, et les applications $\vphi_{0,\intf ab}$ et $\vphi_{1,\intf ab}$ sont sommables sur $\into0{+\infty}$. \end{Ex} Une récurrence sur $k$ permet d'étendre ces théorèmes aux applications de classe $\mcal{C}^k$ sur $A$. \begin{Th}[Cas des fonctions de classe $\mcal{C}^k$]\alaligne Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle que \begin{prop} \item pour tout entier $r\in\Intf 0k$, la fonction $\Del{r}{f}{x}$ est continue sur $A\times I$ rapport au couple $(x,t)$; \item pour tout entier $r\in\Intf 0k$ et pour tout segment $S$ de $A$, il existe des applications $\vphi_{r,S}$ à valeurs réelles positives et \emph{sommables} sur $I$ telles que $$ \qqs(x,t)\in S\times I,\ \abs[\Big]{\Del{r}{f}{x}(x,t)}\leq\vphi_{r,S}(t) \quad\text{(hypothèses de domination sur tout segment)} $$ \end{prop} alors l'application $g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^k$ sur $A$ et \begin{equation*} \qqs x\in A,\ g^{(k)}(x)=\ra{d^k}{dx^k}\int_I f(x,t)\,\dt = \int_I\Del{k}{f}{x}(x,t)\,\dt \end{equation*} \end{Th} \begin{Ex}\alaligne \Reponse{La fonction $\dps\Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into0{+\infty}$ \\ $\dps\qqs k\in\N,\ \qqs x>0,\ \Gamma^{(k)}(x)=\int_0^{+\infty}(\ln t)^k\,t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt $} Pour tout $r\in\N$, la fonction $\Del{r}{f}{x} : (x,t)\mapsto (\ln t)^r\,t^{x-1}\ee^{-t}$ est continue sur $\into0{+\infty}\times\into0{+\infty}$ par rapport au couple $(x,t)$. Soient $0<a<b<+\infty$; $\qqs(x,t)\in\intf ab\times\into0{+\infty}$, $\abs[\big]{\Del{r}{f}{x}(x,t)}=\abs{\ln t}^r f(x,t)\leq\abs{\ln t}^r (t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t} = \vphi_{r,\intf ab}(t)$, les applications $\vphi_{r,\intf ab}$ sont sommables sur $\into0{+\infty}$. Remarquons que $\Gamma''(x)=\int_0^{+\infty}(\ln t)^2 t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt>0$; la fonction $\Gamma$ est une fonction (strictement) convexe. \end{Ex}