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\chapter{Intégrale des fonctions vectorielles sur un segment}
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\minitoc
\newpage

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  Intégrer des fonctions à valeurs vectorielles, passer à la limite à
travers un signe~$\int$, échanger les signes $\sum$ et $\int$, étudier
des fonctions définies à l'aide d'une intégrale dépendant d'un
paramètre, voilà le programme des réjouissances.

  Dans ce chapitre, les fonctions sont définies sur un segment $S=\intf ab$ et
sont à valeurs dans~$E$, $\K$-espace vectoriel normé de dimension
finie, dont la norme est notée $\norme{\ }$.



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\section{Intégrale des fonctions en escalier}
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  Cette section généralise aux fonctions vectorielles la définition et
les propriétés de l'intégrale d'une fonction réelle en escalier vue en
première année. C'est une section technique qui sert à mettre en place  
la section suivante; ne pas s'apesantir.


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\subsection{Généralités}
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\begin{Df}[Intégrale d'une fonction en escalier]\alaligne

  Soient $\bvc\vphi$ une fonction en escalier sur le segment $S=\intf ab$ à
valeurs dans $E$, $\sub\bphi=(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une subdivision subordonnée
à $\bphi$ du segment $S$, $\vc v_k$ la valeur constante de $\bphi$ sur
l'intervalle ouvert $\into{a_{k-1}}{a_k}$ pour $k\in\Intf1n$. Le vecteur
$\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc v_k$ est indépendant de la subdivision
$\sub\bphi$ choisie, il est appelé \emph{intégrale de $\bphi$
sur le segment} $S$ et noté $\int_S \bphi$, $\intab\bphi$ ou
$\intab\bphi(t)\,\dt$.
\Reponse{$\dsp
\int_S \bphi=\intab\bphi=\intab\bphi(t)\,\dt=
\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc v_k
$}
\end{Df}

\begin{proof}
  On pose $I(\bphi,\sub\bphi)=\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc v_k$. Si on
ajoute  un point $\alpha\in\into{a_{i-1}}{a_i}$ à la subdivision
$\sub\bphi$, on obtient :
\begin{multline*}
I(\bphi,\sub\bphi\cup\{\alpha\})                                      
  =\sum_{k=1}^{i-1}(a_k-a_{k-1})\vc v_k
    +(\alpha-a_{i-1})\vc v_i+(a_i-\alpha)\vc v_i
    +\sum_{k=i+1}^{n}(a_k-a_{k-1})\vc v_k                             \\
  =\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})\vc v_k=I(\bphi,\sub\bphi)
\end{multline*}
Un raisonnement par récurrence montre qu'on ne change pas
$I(\bphi,\sub\bphi)$ en ajoutant un nombre fini de points à $\sub\bphi$.

  Si $\sigma_1$ et $\sigma_2$ sont deux subdivisions subordonnées à
$\bphi$, $\sigma_1\cup\sigma_2$ est encore une subdivision subordonnée à
$\bphi$; elle ne diffère de $\sigma_1$ et $\sigma_2$ que d'un nombre fini
de points; ainsi 
$$
I(\bphi,\sigma_1)=I(\bphi,\sigma_1\cup\sigma_2)=I(\bphi,\sigma_2)
$$
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  Si $\vphi$ est une fonction en escalier à valeurs réelles positives,
$\intab\vphi$ s'interprète comme l'aire de la portion de plan comprise
entre les droites $t=a$, $t=b$, l'axe $Ot$ et le graphe de $\vphi$.

  $\intab\bphi$ ne dépend pas des valeurs de $\bphi$ prises aux points
$a_k$ pour $k\in\Intf0n$.

  Si $\bphi$ est une fonction constante égale à $\vc v$ sauf en un nombre
fini de points de $\intf ab$, $\bphi$ est en escalier et
$\intab\bphi=(b-a)\vc v$. En particulier, si $\bphi$ est nulle sauf sur
un ensemble fini, $\intab \bphi=\vc 0$.
\end{NBs}


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\subsection{Linéarité par rapport à la fonction}
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\begin{Prop}
  Si $\bphi$ et $\bpsi$ sont deux fonctions en escalier sur $\intf ab$,
et $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires, on a :
$$
\intab (\lambda\bphi+\mu\bpsi)=\lambda\intab\bphi+\mu\intab\bpsi
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\sigma=(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une subdivision subordonnée à
$\bphi$ \emph{et} $\bpsi$, $\vc v_k$ (resp. $\vc w_k$) la valeur
constante de $\bphi$ (resp. $\bpsi$) sur l'intervalle ouvert
$\into{a_{k-1}}{a_k}$, alors :
$$
\qqs k\in\Intf1n,\ \qqs t\in\into{a_{k-1}}{a_k},\
\lambda\bphi(t)+\mu\bpsi(t)=\lambda\vc v_k+\mu\vc w_k
$$
et
\begin{equation}
\begin{split}
\intab (\lambda\bphi+\mu\bpsi)
  &=\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})(\lambda\vc v_k+\mu\vc w_k)             \\
  &=\lambda\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc v_k
    +\mu\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc w_k                                \\
  &=\lambda\intab\bphi+\mu\intab\bpsi
\end{split}
\end{equation}
\end{proof}
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\subsection{Image de l'intégrale par une application linéaire}
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\begin{Prop}
  Soient $\bphi$ une fonction en escalier sur $\intf ab$ et $\vc u$ une
application linéaire de $E$ vers $F$; alors :
$$
\vc u\Bigl(\intab\bphi\Bigr)=\intab\vc u\circ\bphi
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\sigma=(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une subdivision subordonnée à
$\bphi$, $\vc v_k$  la valeur
constante de $\bphi$ sur l'intervalle ouvert
$\into{a_{k-1}}{a_k}$; alors $\vc u(\vc v_k)$ est la valeur de $\vc
u\circ\bphi$ sur $\into{a_{k-1}}{a_k}$ et, utilisant la linéarité de
$\vc u$, on obtient :
\begin{equation}
\begin{split}
\vc u\Bigl(\intab\bphi\Bigr)
  &=\vc u\bigl(\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})\vc v_k)\bigr)
    =\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc u(\vc v_k)                                        \\
  &=\intab\vc u\circ\bphi
\end{split}
\end{equation}
\end{proof}
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\subsection{Inégalité de la moyenne}
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\begin{Prop}
  Si $\bphi$ une fonction en escalier sur $\intf ab$, on a :
$$
\norme[\Big]{\intab\bphi} \leq\intab\norme{\bphi}
\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi(t)}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\sigma=(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une subdivision subordonnée à
$\bphi$, $\vc v_k$  la valeur
constante de $\bphi$ sur l'intervalle ouvert
$\into{a_{k-1}}{a_k}$; alors $\norme{\vc v_k}$ est la valeur de
$\norme{\bphi}$  sur $\into{a_{k-1}}{a_k}$ et :
\begin{multline}
\norme[\Big]{\intab\bphi}
  =\norme[\Big]{\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})\vc v_k}                          
  \leq\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\norme{\vc v_k}=\intab\norme{\bphi}      \\
  \leq\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi(t)}
    =(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi(t)}
\end{multline}
\end{proof}
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\section{Intégrale des fonctions continues par morceaux}
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  Nous continuons la généralisation du cours de première année : ce
paragraphe propose de définir l'intégrale des fonctions à valeurs dans
$E$ et continues par morceaux sur un segment de $\R$.

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\subsection{Définition de l'intégrale}
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  L'intégrale est définie à l'aide d'un passage à la limite. L'intégrale
d'une fonction en escalier est connue; une fonction
continue par morceaux sur un segment est limite uniforme sur ce segment
d'une suite de fonctions en escalier; par définition, l'intégrale d'une
fonction continue par morceaux
est définie par la limite des intégrales de cette suite de
fonctions en escalier.

\begin{Lem}
  Soient $\vc f$ une fonction à valeurs dans $E$ et continue par
morceaux sur le segment
$\intf ab$, et ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en
escalier qui converge uniformément vers $\vc f$ sur $\intf ab$; alors,
\begin{prop}
  \item la suite des intégrales ${( {\intab}\bphi_n)}_n$ admet une limite dans
$E$;
  \item cette limite ne dépend que $\vc f$ et non pas de la suite
${(\bphi_n)}_n$.
\end{prop}
\end{Lem}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem Montrons que ${( {\intab}\bphi_n)}_n$ est une suite de Cauchy dans
$E$. Puisque la suite ${(\bphi_n)}_n$ converge uniformément sur $\intf ab$
vers $\vc f$, on a :
\begin{gather*}
  \qqs\eps>0,\ \exists N\in\N,\ \qqs n\in\N,\ \qqs t\in\intf ab,\
    n>N\implique\norme{\bphi_n(t)-\vc f(t)}<\eps                        \\
\begin{split}
  \text{donc\quad}
  &\qqs(n,p)\in\N^2,\ \qqs t\in\intf ab,                                \\
  & n>N\implique\norme{\bphi_n(t)-\bphi_{n+p}(t)}
    \leq\norme{\bphi_{n+p}(t)-\vc f(t)}+\norme{\bphi_{n}(t)-\vc f(t)}<2\eps
\end{split}                                                           \\
  \text{et\quad}\qqs(n,p)\N^2,\ n>N\implique
    \sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_{n+p}(t)-\bphi_n(t)}\leq2\eps   
\end{gather*}
Ainsi, pour tout $p\in\N$ et tout $n>N$, on a :
$$
\norme[\Big]{\intab\bphi_{n+p}-\intab\bphi_n}
    =\norme[\Big]{\intab(\bphi_{n+p}-\bphi_n)}
  \leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_{n+p}-\bphi_n}\leq2(b-a)\eps
$$
La suite ${( {\intab}\bphi_n)}_n$ est donc convergente puisqu'elle est
de Cauchy dans $E$.

  \monitem Soit ${(\bpsi_n)}_n$ une autre suite de fonctions en escalier
qui converge uniformément vers $\vc f$ sur $\intf ab$. On considère la
suite ${(\bvc\rho_n)}_n$ définie par :
$$
\qqs p\in\N,\ \bvc\rho_{2p}=\bphi_p\text{ et }\bvc\rho_{2p+1}=\bpsi_p
$$
La suite ${(\bvc\rho_n)}_n$ converge uniformément vers $\vc f$ sur $\intf
ab$; la suite ${( {\intab}\bvc\rho_n)}_n)$ admet donc une limite dans
$E$ et les deux suites extraites ${( {\intab}\bphi_p)}_p$ et
${( {\intab}\bpsi_p)}_p$ admettent cette même limite.
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{Df}[Intégrale d'une fonction continue par morceaux]\alaligne

  Soient $\vc f$ une fonction continue par morceaux sur le segment $S=\intf
ab$ et ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en escalier qui converge
uniformément vers $\vc f$ sur $\intf ab$; on appelle \emph{intégrale de} $\vc f$ la
limite de la suite ${( {\intab}\bphi_n)}_n$ et on la note 
$\int_S\vc f$, $\intab\vc f$ ou $\intab\vc f(t)\,\dt$.
\Reponse{
Si $\suite\bphi$ est une suite de fonctions en escalier qui converge
uniformément vers $f$ sur $\intf ab$,\\
$\dps\intab\vc f=\intab\vc f(t)\,\dt=\lim_n\intab\bphi_n
$}
\end{Df}

\begin{NBs}\alaligne

  Cette définition est compatible avec la précédente; si $\vc f$ est une
fonction en escalier, la suite constante égale à $\vc f$ converge
uniformément vers $\vc f$ sur $\intf ab$.

  Cette définition est aussi compatible avec celle de première année :
si $f$ est une fonction réelle, 
les fonctions en escalier majorante et minorante à $(n+1)^{-1}$ près
définissent une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément
vers $f$ sur $\intf ab$.
\end{NBs}


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\subsection{Linéarité par rapport à la fonction}
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\begin{Prop}
  Si $\vc f$ et $\vc g$ sont deux fonctions continues par morceaux sur
$\intf ab$, et $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires, on a :
$$
\intab(\lambda\vc f+\mu\vc g)=\lambda\intab\vc f+\mu\intab\vc g
$$
autrement dit, $\vc f\in\CMabE{E}\mapsto\intab\vc f$ est linéaire.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soit ${(\bphi_n)}_n$ (resp. ${(\bpsi_n)}_n$) une suite de fonctions en
escalier qui converge uniformément vers $\vc f$ (resp. $\vc g$); alors 
${(\lambda\bphi_n+\mu\bpsi_n)}_n$ est une suite de fonctions en escalier
qui converge uniformément vers $\lambda\vc f+\mu\vc g$ sur $\intf ab$,
et :
\begin{equation}
  \intab(\lambda\bphi_n+\mu\bpsi_n)
    =\lambda\intab\bphi_n+\mu\intab\bpsi_n          
    \tend\lambda\intab\vc f+\mu\intab\vc g
\end{equation}
\end{proof}



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\subsection{Intégrale de deux fonctions qui coïcident sauf sur une partie
finie d'un segment}
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\begin{Prop}
  Deux fonctions continues par morceaux qui coïcident  sur une
partie finie de $\intf ab$ ont des intégrales égales.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Nommons-les $\vc f$ et $\vc g$; alors $\vc g-\vc f$ est nulle sauf sur
une partie finie de $\intf ab$, donc en escalier et :
\begin{equation}
  \vc 0=\intab(\vc g-\vc f)=\intab\vc g-\intab\vc f
\end{equation}
\end{proof}

  Si $\vc f$ est une fonction définie sur $\intf ab$ privé d'une
subdivision $\sigma=(a_k)_{0\leq k\leq n}$, et si, pour tout
$k\in\Intf1n$  la restriction de $\vc
f$ à chacun des intervalles ouverts $\into{a_{k-1}}{a_k}$ est
prolongeable par continuité sur $\intf{a_{k-1}}{a_k}$, on définit
l'intégrale de $\vc f$ par l'intégrale de l'un quelconque de ses
prolongements $\tilde{\vc f}$, qui est une fonction continue par
morceaux. Remarquez que $\tilde{\vc f}$ n'est pas,
en général, continue en $a_k$. 


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\subsection{Image de l'intégrale par une application linéaire}
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\begin{Prop}
  Soient $\vc f\in\CMabE$ et $\vc u$ une application linéaire de $E$
vers $F$; alors
$$
\vc u\Bigl(\intab\vc f\Bigr)=\intab\vc u\circ\vc f
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  La propriété est vraie pour les fonctions en escalier; un passage à la
limite donne le résultat pour les fonctions continues par morceaux.

  Soit ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en
escalier qui converge uniformément vers~$\vc f$; $\vc u$,
application linéaire entre espaces vectoriels de dimension
finie, est continue et lipschitzienne;
${(\vc u\circ\bphi_n)}_n$ est une suite de fonctions en escalier
qui converge uniformément vers $\vc u\circ\vc f$ sur $\intf ab$ car 
\begin{gather*}
  \qqs t\in\intf ab,\
    \norme{\vc u\bigl(\bphi_n(t)\bigr)-\vc u\bigl(\vc f(t)\bigr)}_F
    \leq k_{\vc u}\norme{\bphi_n(t)-\vc f(t)}_E                         \\
  \et \sup_{t\in\intf ab}
    \norme{\vc u\bigl(\bphi_n(t)\bigr)-\vc u\bigl(\vc f(t)\bigr)}_F
    \leq k_{\vc u}\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_n(t)-\vc f(t)}_E\tend 0
\end{gather*}
Ainsi, $\intab\vc u\circ\bphi_n$ tend vers $\intab\vc u\circ\vc f$. La
continuité de $\vc u$ implique que $\vc u(\intab\bphi_n)$ tend vers
$\vc u(\intab\vc f)$. L'égalité pour tout $n\in\N$ de $\vc
u\bigl(\intab\bphi_n\bigr)$ avec $\intab\vc u\circ\bphi_n$ et
l'unicité de la limite donnent le résultat.
\end{proof}
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  Supposons $E$ muni d'une base $\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2,\dots,\vc
e_p)$; il est maintenant bien connu que toute application $\vc f$ se
décompose sur cette
base et on peut écrire pour tout $t\in\intf ab$ :
$\vc f(t)=\sum_{k=1}^pf_k(t)\vc e_k$. Dans ces
conditions, on a le :

\begin{Cor}[Intégrale et coordonnées]\alaligne

  $\vc f$ est continue par morceaux sur $\intf ab$ si, et seulement si, les composantes
$f_k$ le sont, et :
$$
\intab\vc f=\sum_{k=1}^p\Bigl(\intab f_k\Bigr)\vc e_k
$$
\end{Cor}

\begin{proof}
  On note $\vc e_k^*$ la forme linéaire qui, à un
vecteur de $E$, associe sa $k$\ieme composante relative à la
base $\mathcal{B}$. 
$\vc e_k^*$ est continue (car linéaire) et $f_k=\vc e_k^*\circ\vc f$
est continue par morceaux si $\vc f$ l'est. 
$\lambda\in\K\mapsto\lambda\vc v$ est continue (car linéaire) et $f_k\vc
e_k$ est continue par morceaux si $f_k$ l'est. L'équivalence annoncée
est démontrée.

  L'application du théorème précédent à $\vc e_k^*$ montre que $\vc
e_k^*(\intab\vc f)$, la composante de $\intab\vc f$ relative à $\vc e_k$,
vaut $\intab\vc e_k^*(\vc f)=\intab f_k$.
\end{proof}
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\begin{Cor}[Cas des fonctions complexes]\alaligne

  $f\in\CMabE{\C}$ si, et seulement si, $\RE(f)$ et $\IM(f)$
appartiennent à $\CMabE{\R}$ si, et seulement si,
$\conjug{f}\in\CMabE{\C}$ et :
\Reponse{$\dps
\RE\Bigl(\intab f\Bigr)=\intab\RE(f),\ {}
\IM\Bigl(\intab f\Bigr)=\intab\IM(f),\ {}
\intab\conjug{f}=\conjug{\intab f}
$}
\end{Cor}

\begin{proof}
  C'est un cas particulier du corollaire précédent.
\end{proof}
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\subsection{Inégalité de la moyenne}
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\begin{Df}[Valeur moyenne d'une fonction sur un segment]\alaligne

  Si $\vc f\in\CMabE{E}$, la \emph{valeur moyenne} de $\vc f$ sur $\intf
ab$ est le vecteur $\dsp\ra1{b-a}\intab\vc f$.
\end{Df}

\begin{Th}[Inégalité de la moyenne]\alaligne

  Si $\vc f$ est continue par morceaux, l'application
$\norme{\vc f} : t\mapsto\norme{\vc f(t)}$ est
continue par morceaux  et :
\Reponse{$\dps
\norme[\Big]{\intab\vc f} \leq \intab\norme{\vc f}
\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en escalier qui converge
uniformément vers $\vc f$ sur le segment $\intf ab$; alors la suite
${(\norme{\bphi_n})}_n$ converge uniformément vers $\norme{\vc f}$ sur
$\intf ab$, et ${(\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_n(t)})}_n$ converge vers
$\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}$.

  Des inégalités :
$$
\norme[\Big]{\intab\bphi_n} \leq \intab\norme{\bphi_n}
\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_n(t)}
$$
on tire, par passage à la limite sur $n$ :
$$
\norme[\Big]{\intab\vc f} \leq \intab\norme{\vc f}
\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}
$$
\end{proof}

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\subsection{Positivité et croissance de l'intégrale}\mbox{}
%--------------------------------------------------
  Dans tout ce paragraphe, les fonctions sont à valeurs réelles.
  
\begin{Th}[Positivité de l'intégrale]\alaligne

  Si $f$ est une fonction continue par morceaux à valeurs \emph{réelles
positives} sur $\intf ab$ (avec comme toujours $a<b$), l'intégrale de
$f$ sur $\intf ab$ est positive.
\Reponse{$\dsp
f\text{ continue par morceaux et }\qqs t\in\intf ab,\ f(t)\geq0
\implique\intab f\geq0
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Si $f$ est positive, $|f|=f$ et l'inégalité de la moyenne $\intab
f=\intab|f|\geq\abs{\intab f}\geq0$ donne le résultat.
\end{proof}
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\begin{Th}[Croissance de l'intégrale]\alaligne

  Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues par morceaux à valeurs
réelles telles que $f$ soit plus petite que $g$, l'intégrale de $f$ est
plus petite que l'intégrale de $g$.
\Reponse{$\dsp
  (f,g)\in\CMabE{\R}^2\et\qqs t\in\intf ab,\ f(t)\leq g(t)
  \implique\intab f\leq\intab g
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  $(g-f)$ est une fonction continue par morceaux et à valeurs réelles
positives; la positivité et la linéarité de l'intégrale donne le
résultat :
\begin{equation}
  0\leq\intab(g-f)=\intab g-\intab f
\end{equation}
\end{proof}
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\begin{Th}[Caractérisation des fonctions nulles]\alaligne

  Une fonction $f$ \emph{continue et à valeurs positives} sur un segment
$\intf ab$ est nulle si, et seulement si, son intégrale est nulle.
\Reponse{$
\dsp f\in\CabE{\R}\et\qqs t\in\intf ab,\ f(t)\geq0\qquad\intab f=0\iff f=0
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Seule la condition nécessaire nécessite une démonstration. Démontrons
la contraposée et prenons une fonction $f$ \emph{continue, positive et
non nulle} (\og non nulle\fg{} sigifie \og qui n'est pas la fonction
nulle\fg{}, ou enore \og non identiquement nulle\fg; ne pas confondre avec
une fonction qui ne s'annule pas).

  S'il existe $t_0\in\into ab$ tel que $f(t_0)>0$, il existe aussi
$\eta>0$ tel que pour tout $t\in\into{t_0-\eta}{t_0+\eta}$
on ait $t\in\into ab$ et $f(t)\geq\ra12f(t_0)$
(continuité de $f$ en $t_0$). On appelle
$\vphi$ la fonction en escalier qui vaut $\ra12 f(t_0)$ sur
$\into{t_0-\eta}{t_0+\eta}$ et qui est nulle en dehors.
Ainsi $f\geq\vphi$ et $\intab f\geq\intab\vphi=\eta\,f(t_0)>0$

  Sinon, pour tout $t\in\into ab$, $f(t)=0$ et, par continuité, $f=0$
sur $\intf ab$.
\end{proof}
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\begin{NBs}
  Une fonction $f$ continue par morceaux et à valeurs positives sur un
segment $\intf ab$ est d'integrale nulle si, et seulement si, $f$ est nulle sur $\intf
ab$ sauf en ses points de discontinuité qui sont en nombre fini.

  Une fonction $f$ continue morceaux, à valeurs positives sur un
segment $\intf ab$ et strictement positive en un point de continuité, a
une intégrale strictement positive sur $\intf ab$.
\end{NBs}


\begin{Th}[Inégalité de la moyenne, extension aux produits]\alaligne

  Soient $(E,\norme{\ }_E)$, $(F,\norme{\ }_F)$ et $(G,\norme{\ }_G)$ trois
$\K$-espaces vectoriels de dimension finie, $B$ une application
bilinéaire de $E\times F$ dans $G$, $k>0$ une constante telle que
$\norme{B(\vc x,\vc y)}_G\leq k\norme{\vc x}_E\norme{\vc y}_F$ pour tout
$(\vc x,\vc y)\in E\times F$; alors, pour toute application $\vc f$
(resp. $\vc g$) continue par morceaux sur $\intf ab$ et à valeurs dans
$E$ (resp. $F$), on a :
$$
\norme[\Big]{\intab B(\vc f,\vc g)}_G
  \leq k\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}_E\intab\norme{\vc g}_F
$$
En particulier, si $(f,g)\in\CMabE{\R}^2$ et $g$ à valeurs \emph{positives},
on a :
$$
\inf_{t\in\intf ab}\{f(t)\}\intab g
\leq\intab fg\leq\sup_{t\in\intf ab}f(t)\intab g
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Rappelons que $B$ est une aplication continue ce qui montre que
$t\mapsto B\bigl(\vc f(t),\vc g(t)\bigr)$ est continue par morceaux. On
peut écrire les inégalités :
\begin{equation}
  \qqs t\in\intf ab,\
  \norme{B\bigl(\vc f(t),\vc g(t)\bigr)}_G\leq k\norme{\vc f(t)}_E\norme{\vc g(t)}_F
  \leq k\sup_{t\in\intf ab}\{\norme{\vc f(t)}_E\}\norme{\vc g(t)}_F 
\end{equation}
et la positivité de l'intégrale donne la relation.

  L'inégalité $\inf_{\intf ab}\{f(t)\}\leq f(t)\leq\sup_{t\in\intf
ab}\{f(t)\}$ donne, par multiplication par le nombre \emph{positif}
$g(t)$ :
\begin{equation}
  \qqs t\in \intf ab,\
  \inf_{\intf ab}\{f(t)\}\,g(t)\leq f(t)g(t)\leq\sup_{t\in\intf
    ab}\{f(t)\}\,g(t)
\end{equation}
et la positivité de l'intégrale donne la relation.
\end{proof}
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\subsection{Additivité de l'intégrale par rapport à l'intervalle
  d'intégration}
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\begin{Prop}[Restriction de l'intervalle d'intégration]\alaligne

  Si $K$ est un segment contenu dans $\intf ab$ et $\chi_K$ la fonction
caractéristique de $K$, on a :
$$
\int_K\vc f=\intab\chi_K\vc f
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\bphi$ est une fonction en escalier sur $\intf ab$,
$\sub{\bphi}$ une subdivision subordonnée qui contient les extrémités de
$K$ (sinon, on les ajoute); alors les fonctions $\bphi\big\rvert_K$ et
$\chi_K\bphi$ coïncident sur $K$ et les intégrales sont égales.
  L'égalité est donc vraie pour les fonctions en escalier.

  Soit ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en escalier qui converge
uniformément vers $\vc f$; alors, la suite ${(\bphi_n\rvert_K)}_n$ (resp.
${(\bphi_n\chi_K)}_n$) convergent uniformément vers $\vc f\rvert_K$
(resp. $\chi_K\vc f$) sur $K$ (resp. $\intf ab$). Un passage à la limite
donne le résultat.
\end{proof}


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\subsection{Notation $\int_a^b$}
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  Retrouvons la notation habituelle de l'intégrale : $\int_a^b\vc f$
grâce à la :
\begin{Df}[Extension de la notation $\int_a^b\vc f$]\alaligne

  Soient $I$ un intervalle et $\vc f$ une fonction continue par morceaux
sur $I$; alors pour $(a,b)\in
I^2$, on pose :
\begin{equation*}
\int_a^b\vc f=
\begin{cases}
  \quad \intab\vc f           &\text{si $a<b$}      \\
  \quad-\int_{\intf ba}\vc f  &\text{si $b<a$}      \\
  \quad\vc 0                  &\text{si $a=b$}
\end{cases}
\end{equation*}
\end{Df}

  Avec cette nouvelle définition, on retrouve les propriétés fondamentales
de l'intégrale : relation de Chasles, linéarité par rapport à la
fonction et inégalité de la moyenne. Seule la positivité a besoin que
les bornes de l'intervalle d'intégration soient dans le \og bon sens\fg.

\begin{Th}[Relation de Chasles]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue parmorceaux sur $I$ et $a$, $b$
et $c$ trois éléments de $I$, alors :
$$
\int_a^b\vc f + \int_b^c\vc f=\int_a^c\vc f
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Regardez les six cas possibles de placement de trois nombres $a$, $b$
et $c$ les uns par rapport aux autres.
\end{proof}
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\begin{Th}[Linéarité]\alaligne

  Si $a$ et $b$ sont deux points de $I$, l'application qui à $\vc
f\in\CMIE$ associe $\int_a^b\vc f$ est une application linéaire.
\end{Th}

\begin{proof}
  Envisagez les cas $a<b$, $a>b$ et $a=b$.
\end{proof}
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\begin{Th}[Inégalité de la moyenne]\alaligne

  Si $a$ et $b$ sont deux points de $I$ et $\vc f$ une fonction continue
par morceaux, on a :
\Reponse{$\dps
\norme[\Big]{\int_a^b \vc f}
\leq \abs[\Big]{\int_a^b \norme{\vc f}}
\leq \abs{b-a}\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Envisagez les cas $a<b$, $a>b$ et $a=b$.
\end{proof}
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\section{Convergences en moyenne et en moyenne quadratique}
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  Les fonctions considérées sont définies sur le segment $\intf ab$ et à
valeurs dans $\C$; elles sont continues ou continues par morceaux sur
$\intf ab$. On note $\Cab$ (resp. $\CMab$) l'espace des fonctions
complexes continues (resp. continues par morceaux) sur le segment $\intf
ab$. Puisque $a<b$ les intégrales s'écriront indifféremment $\intab$ ou
$\int_a^b$.

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\subsection{Norme de la convergence en moyenne sur $\Cab$}
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\Reponse{$\dsp
\normu{f}=\intab\abs{f}=\int_{t=a}^b\abs{f(t)}\,\dt
$}

  $\normu{\ }$ est une norme sur $\Cab$; cette norme est appelée \emph{norme de
la convergence en moyenne} sur $\intf ab$.

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\subsubsection*{Extension à $\CMab$}
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  Imposons à toute fonction $f\in\CMab$ d'avoir la valeur 0 en tout point de 
discontinuité; cette convention conserve la valeur de
l'intégrale de $f$. Avec cette convention, $\int_a^b\abs{f}=0$ si, et seulement
si, $\abs{f(t)}=0$ en tout point de continuité de $f$ et donc en tout point de
$\intf ab$. Ainsi $\normu{\,}$ est encore une norme sur $\CMab$.


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\subsection{Produit scalaire sur $\Cab$}
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\begin{Df}
  Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\intf ab$; on pose :
\Reponse{$\dsp
\scal fg=\intab\conjug{f}g=\int_{t=a}^b\conjug{f(t)}g(t)\,\dt
$}
\end{Df}

\begin{Th}[Produit scalaire sur $\Cab$]\alaligne

  $\scal{\ }{\ }$ est un produit scalaire sur le $\K$-espace vectoriel
$\Cab$ des fonctions à valeurs dans $\K$ continues sur le segment $\intf ab$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Linéarité à droite, symétrie (éventuellement hermitienne) et positivité sont
évidentes; $0=\scal ff=\int_a^b\abs{f}^2$ implique $\abs{f}=0$ puisque $f$ est
continue. 
\end{proof}
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\subsubsection*{Extension aux fonctions continues par morceaux}
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  En utilisant toujours la même convention, on donne la valeur 0 en tout point
de discontinuité de la fonction, $\scal{\ }{\ }$ reste un produit scalaire sur
$\CMab$, $0=\scal ff=\int_I\abs{f}^2$ implique $\abs{f(t)}=0$ en tout
point de continuité de $f$ donc en tout point de $I$.


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\subsection{Norme de la convergence en moyenne quadratique}
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\Reponse{$\dsp
\normd{f}=\sqrt{\scal ff}=\sqrt{\intab\abs{f}^2}
=\sqrt{\int_a^b\abs{f(t)}^2\,\dt}
$}

  $\normd{\ }$ est une norme sur $\Cab$; cette norme est appelée \emph{norme de
la convergence en moyenne quadratique} sur $\intf ab$; c'est la norme associée
au produit scalaire.

  Avec la convention de nullité de la fonction en tous ses points de
discontinuité, $\normd{\ }$ est une norme sur $\CMab$.

\begin{Th}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\alaligne

  Si $f$ et $g$ sont continues par morceaux sur $\intf ab$, on a
\Reponse{$\dps
\abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_a^b\conjug{f}g}\leq\normd{f}\,\normd{g}=
\sqrt{\int_a^b\abs{f}^2}\sqrt{\int_a^b\abs{g}^2}
$}
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité si, et seulement si, $f$ et $g$
sont liées, \ie{} proportionnelles.
\end{Th}

\begin{proof}
  On retrouve l'inégalité de Cauchy-Schwarz déjà démontrée dans le cas général
d'un produit scalaire réel ou hermitien complexe.
\end{proof}
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\begin{Prop}[Comparaison des normes $\normu{\ }$, $\normd{\ }$ et
$\normi{\ }$]\alaligne

  Si $f$ est continue par morceaux sur $\intf ab$, on a :
$$
\normd{f}\leq\sqrt{b-a}\normi{f},\qquad
\normu{f}\leq\sqrt{b-a}\normd{f}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne\\
  $\normd{f}^2=\int_a^b\abs{f}^2\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\abs{f(t)}^2
    =(b-a)\normi{f}^2$          \\
  $\normu{f}=\int_a^b 1\cdot\abs{f}=\scal1{\abs f}\leq\normd 1\normd f
    =\sqrt{b-a}\normd{f}$
\end{proof}
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\section{Intégration des suites de fonctions continues}
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  Un petit paragraphe d'une grande importance pratique; nous obtiendrons
des conditions suffisantes pour permettre la permutation des signes
$\lim$ et $\int$ et des signes $\sum$ et $\int$.


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\subsection{Convergence uniforme et convergence en moyenne}
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\begin{Th}[Convergence uniforme et convergence en moyenne]\alaligne

  Si $(f_n)_n$ est une suite de fonctions continues qui converge
uniformément vers $f$ sur~$\intf ab$, la suite $(f_n)_n$ converge en
moyenne vers $f$ et :
\Reponse{$\dsp
\lim_n\intab f_n=\intab f=\intab\lim_n f_n
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Puisque les fonctions $f_n$ sont continues sur $\intf ab$ et que la
suite $(f_n)_n$ converge uniformément, $f$ est continue et :
\begin{equation}
  \Bigl|\int_a^b f_n-\int_a^b f\Bigr|\leq\int_a^b\abs{f_n-f}=\normu{f_n-f}
  \leq(b-a)\normi{f_n-f}\tend0
\end{equation}
ce qui montre que $\int_a^b f_n$ tend vers $\int_a^b f$ et que la
convergence uniforme sur $\intf ab$ implique la
convergence en moyenne.
\end{proof}

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\subsection{Intégration terme à terme d'une série de fonctions continues}
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\begin{Th}
  Si $(u_n)_n$ est une suite de fonctions continues et si la série $\sum
u_n$ converge uniformément sur $\intf ab$, la série des intégrales
$\sum\intab u_n$ est convergente et :
\Reponse{$\dsp
\intab\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty \intab u_n
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Appelons $(S_n)_n$ la suite des sommes partielles; c'est une suite de
fonctions continues  (les $u_n$ le sont) qui converge uniformément sur
$\intf ab$ vers la somme $s$ de la série $\sum u_n$.
D'aprés le théorème précédent, on a 
\begin{equation}
  \int_a^b S_n=\sum_{k=0}^n\int_a^b u_k\tend \int_a^b
  S=\int_a^b\sum_{n\geq0}u_n 
\end{equation}
ce qui montre que $\sum\int_a^b u_n$ est une série convergente dont la
somme est $\int_a^b\sum_{n\geq0}u_n$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Cas de la convergence normale]\alaligne

  Si $(u_n)_n$ est une suite de fonctions continues et si la série $\sum
u_n$ converge normalement sur $\intf ab$, la série des intégrales
$\sum\intab\abs{u_n}$ est convergente et :
\Reponse{$\dsp
\normeun[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n}
  =\intab \abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n}
  \leq\sum_{n=0}^\infty \intab \abs{u_n}=\sum_{n=0}^\infty \normu{u_n}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Si la convergence est normale sur $\intf ab$, elle est absolue et
uniforme, et :
\begin{equation}
\abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty  u_n(t)} \leq \sum_{n=0}^\infty \abs{u_n(t)}
  \leq \sum_{n=0}^\infty \normi{u_n}\et                                     
\normu{u_n}=\int_a^b\abs{u_n}\leq(b-a)\normi{u_n}
\end{equation}
ce qui montre la convergence de $\sum\intab\abs{u_n}$ et l'inégalité
annoncée.
\end{proof}
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\subsection{Convergence simple et convergence en moyenne}
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  Peut-on affaiblir la condition de convergence uniforme pour passer à
la limite à travers in signe $\intab$? Oui, c'est l'objet du 

\begin{Th}[de convergence dominée]\alaligne

  Si $\suite f$ est une suite de fonctions continues par morceaux sur $\intf ab$ et à
valeurs réelles ou complexes telle que
\begin{itemize}
  \item la suite $\suite f$ converge simplement sur $\intf ab$ vers une fonction $f$
continue par morceaux;
  \item il existe une fonction continue par morceaux $\vphi$ à valeurs réelles
positives telle que :
$$
\qqs(n,t)\in\N\times I,\ \abs{f_n(t)}\leq\vphi(t)
\qquad\text{ (hypothèse de domination)}
$$
\end{itemize}
alors
$$