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\chapter{Calcul différentiel en plusieurs variables}
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\minitoc
\newpage

\indent
  Dans ce chapitre, $U$ désigne une partie ouverte de $\R^p$, $\vc f$ une
application définie sur $U$ à valeurs dans $\R^n$, $\nuple
f=(f_i)_{i\in\Intf1n}$ les applications coordonnées de $\vc f$ relatives à la
base naturelle de $\R^n$; $\vc f$ et les $f_i$ sont, respectivement, des
applications vectorielle et numériques définies sur $U$.

  Quant aux normes sur les espaces $\R^p$ ou $\R^n$, rappelons qu'elles sont
équivalentes (on peut utiliser une quelconque d'entre elles); $\norme{\ }$
désigne une norme quelconque, $\normu{\ }$, $\normd{\ }$ et $\normi{\ }$ sont
les trois normes classiques.

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\section{Limite, continuité}
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\subsection{Rappel}
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\begin{Th}[Caractérisation de la continuité en un point]\alaligne

  Les propositions suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
  \item $\vc f$ est continue en un point $\vc a\in U$;
  \item $\lim_{\vc a}\vc f$ existe et, dans ce cas, cette limite est $\vc f(\vc a)$;
  \item $\qqs\eps>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs\vc x\in U,\
\norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique\norme{\vc f(\vc x)-\vc f(\vc a)}<\eps$;
  \item l'application $\vc h\mapsto\vc f(\vc a+\vc h)$ admet une limite en $\vc
h=\vc 0$ (cette limite, sous réserve d'existence, est toujours $\vc f(\vc a)$);
  \item pour tout $i\in\Intf1n$, $f_i$ admet une limite en $\vc a$.
\end{prop}
\end{Th}
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\paragraph{En pratique :}

\begin{itemize}
  \item utilisez les théorèmes généraux sur les limites et la continuité;
  \item pour montrer la continuité en un point particulier $\vc a$, effectuez
la translation $\vc x=\vc a+\vc h$ et étudier la limite en $\vc h=\vc 0$;
  \item si $p=2$, utilisez les coordonnées polaires.
\end{itemize}

\begin{Ex}
  Considérons la fonction
$$
f : (x_1,x_2)\in\R^2\mapsto
\begin{cases}
  \dps\ra{x_1x_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}} & \text{si $(x_1,x_2)\neq\vc0$}   \\
  0                                   & \text{si $(x_1,x_2)=\vc 0$}
\end{cases}
$$
les théorèmes généraux montrent la continuité de $f$ sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$.
Au point $(x_1,x_2)=\vc 0$, utilisons les coordonnées polaires; on pose :
$$
x_1=r\cos\theta\et x_2=r\sin\theta
$$
et on obtient :
$$
\abs[\big]{f(x_1,x_2)-f(\vc 0)}=\abs[\Big]{\ra{r\cos\theta\, r\sin\theta}{r}-0}
=r\abs{\cos\theta\sin\theta}
=\ra{r}{2}\abs{\sin2\theta}\leq\ra{r}{2}
$$
ce qui montre que $\abs[\big]{f(x_1,x_2)-f(\vc 0)}\leq\ra12\normd{(x_1,x_2)}$ et
assure la continuité de $f$ en $\vc 0$.
\end{Ex}

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\subsection{Limite suivant un vecteur}
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\paragraph{La situation}

  Soient $\vc a\in U$ et $\vc v$ un vecteur de $\R^p$; puisque $U$ est une
partie ouverte de $\R^p$, il existe un nombre $r'>0$ tel que
$\Bo{a}{r'}\subset U$ et, en posant $r=r'/(2\norme{\vc v})$, on
obtient :
\begin{gather*}
\exists r>0,\ \qqs t\in\intf{-r}{r},\
  \vc a+t\vc v\in\Bf{a}{r'/2}\subset\Bo{a}{r'}\subset U         \\
\text{soit : }\exists r>0,\ \qqs t\in\intf{-r}{r},\ \vc a+t\vc v\in U
\end{gather*}
Nous pouvons donc définir une fonction d'\emph{une seule} variable réelle $t$
par :
\begin{equation}
\bphi_{\vc a,\vc v} : t\in\intf{-r}{r}\mapsto
\bphi_{\vc a,\vc v}(t)=\vc f(\vc a+t\vc v)\in\R^n
\end{equation}

\begin{Df}[Applications partielles]\alaligne

  Les applications $\bphi_{\vc a,\beps_j}$, $j\in\Intf1p$, où
$\puple\beps$ estla base naturelle de $\R^p$, sont appelées \emph{applications
partielles} de $\vc f$ en $\vc a$.
$$
\bphi_{\vc a,\beps_j} : t\mapsto
\vc f(\vc a+t\beps_j)=\vc f(a_1\Dots a_{j-1},a_j+t,a_{j+1}\Dots a_p)
$$
\end{Df}

\begin{Ex}
  Reprenons l'exemple précédent; si $\vc v=(v_1,v_2)$, on obtient :
$$
\vphi_{\vc 0,\vc v}(t)=\ra{v_1t\,v_2t}{\sqrt{v_1^2t^2+v_2^2t^2}}
=\ra{v_1v_2}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\abs{t}
$$
Les deux applications partielles sont nulles :
$$
\vphi_{\vc 0,\beps_1}(t)=f(0+t,0)=0 \et \vphi_{\vc 0,\beps_2}(t)=f(0,0+t)=0
$$
\end{Ex}

\begin{NB}
  Attention de ne pas confondre les applications partielles et les applications composantes
d'une fonction.
\end{NB}

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\begin{Df}[Limite en un point suivant un vecteur]\alaligne

  On dit que $\vc f$ \emph{admet une limite en $\vc a$ suivant $\vc v$} si, et
seulement si, l'application $\bphi_{\vc a,\vc v}$ admet une limite en $\vc 0$,
\ie{} si, et seulement si, $\lim_{t\to0}\vc f(\vc a+t\vc v)$ existe.

  Dans ce cas, cette limite est notée $\dps\lim_{\substack{\vc x\to\vc a \\ \vc
x\in\vc a+\R\vc v}}\vc f(\vc x)$.
\end{Df}

\begin{NB}
  La limite de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\vc v$ est donc la limite de $\vc f(\vc
x)$ quand $\vc x$ tend vers $\vc a$ en restant sur la droite passant par $\vc
a$ et dirigée par $\vc v$.
\end{NB}

\begin{Th}[Limite et limite suivant un vecteur]\alaligne

  Si $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$, pour tout vecteur $\vc v$,
$\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$ suivant $\vc v$.

  La réciproque est fausse.
\end{Th}

\begin{proof}

  Le théorème de composition des limites donne la réponse.

  La fonction $f$ suivante, qui est continue sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$, founit un contre-exemple
en $\vc 0$ :
$$
f : (x_1,x_2)\mapsto f(x_1,x_2)=
\begin{cases}
  \dps\ra{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^4}  & \text{si $(x_1,x_2)\neq\vc 0$}    \\
  o                               & \text{si $(x_1,x_2)=\vc 0$}
\end{cases}
$$
Si $\vc v=(v_1,v_2)$ avec $v_1\neq0$, $\dps f(\vc 0+t\vc v)=\ra{tv_1(tv_2)^2}{(tv_1)^2+(tv_2)^4}
=t\ra{v_1v_2^2}{v_1^2+t^2v_2^4}\tend[t\to0]0$.\\
Si $\vc v=(0,v_2)$ avec $v_2\neq0$, $f(\vc 0+t\vc v)=0$.  \\
Ceci montre que $f$ admet $0$ comme limite en $\vc 0$ en suivant un vecteur
(quelconque) $\vc v$ (non nul).

  Or, en suivant la parabole $(\mcal{P}) : t\mapsto(t^2,t)$ on obtient :
$$
f(t^2,t)=\ra{t^2t^2}{t^4+t^4}=\ra12\text{ et donc :
}\lim_{t\to0}f(t^2,t)=\ra12\neq f(\vc 0)
$$
et donc, la fonction $f$ n'est pas continue en $\vc x=\vc0$.
\end{proof}
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\begin{NB}
  Ce théorème s'utilise pour montrer la \emph{non-continuité} ou
l'\emph{inexistence de la limite} d'une application en un point.
\end{NB}

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\section{Applications continûment différentiables}
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\subsection{Dérivée suivant un vecteur}
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\begin{Df}[Dérivée suivant un vecteur]\alaligne

  On dit que la fonction $\vc f$ \emph{admet en $\vc a\in U$ une dérivée suivant le
vecteur $\vc v\in\R^p$} si la fonction $\bphi_{\vc a,\vc v} : t\mapsto\vc f(\vc
a+t\vc v)$ est dérivable en $t=0$.

  Dans ce cas, la dérivée de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\vc v$ se note
$\D_{\vc v}\vc f(\vc a)$ ou encore $\dps\del{\vc f}{\vc v}(\vc a)$. Retenons que :
\begin{equation}
\D_{\vc v}\vc f(\vc a)=\del{\vc f}{\vc v}(\vc a)=
\lim_{t\to 0}\ra1t\Bigl(\vc f(\vc a+t\vc v)-\vc f(\vc a)\Bigr)=
\bphi'_{\vc a,\vc v}(0)
\end{equation}
\end{Df}
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\begin{Df}[Dérivées partielles en un point]\alaligne

  La base naturelle de $\R^p$ étant notée $\puple{\beps}$, on appelle
\emph{dérivée partielle de $\vc f$ suivant la $j$\ieme{} coordonnée}, la dérivée
de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\beps_j$; on la note $\D_j\vc f(\vc a)$, ou
encore $\dps\del{\vc f}{x_j}(\vc a)$ si les variables de $\vc f$ sont notées $\puple{x}$.

\begin{multline}
\D_j\vc f(\vc a)=\del{\vc f}{x_j}(\vc a)
  =\lim_{t\to0}\ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\beps_j)-\vc f(\vc a)\bigr)    \\
=\lim_{t\to0}\ra1t\bigl(\vc f(a_\Dots a_j+t\Dots a_p)
  -\vc f(a_1\Dots a_j\Dots a_p)\bigr)
\end{multline}
\end{Df}
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\begin{NB}
  Pour une fonction $\vc f$ écrite par $\vc f(\vc x)=\vc
f(x_1,x_2\Dots x_j\Dots x_p)$, la dérivée partielle de $\vc f$ en $\vc a$
suivant la $j$\ieme{} coordonnée est la dérivée (ordinaire) calculée en $\vc a$
de $\vc f$ par rapport à $x_j$, les autres variables étant considérées comme fixes.
\end{NB}
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\begin{Prop}[Dérivée partielle en un point et composantes]\alaligne 

  La fonction $\vc f$ admet une dérivée partielle en $\vc a$ suivant la
$j$\ieme{} variable, si, et seulement si, pour tout $i\in\Intf1n$, les
composantes $f_i$ de $\vc f$ admettent une dérivée partielle en $\vc a$ suivant
la $j$\ieme{} variable; dans ce cas, on a :
\begin{equation}
\D_j\vc f(\vc a)=\bigl(\D_jf_1(\vc a)\Dots \D_jf_n(\vc a)\bigr)=
\sum_{i=1}^n\D_jf_i(\vc a)\beps_i
\end{equation}
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\end{Prop}

\begin{proof}
  La fonction $\vc f$ s'écrit : $\vc f(\vc x)=(f_1(\vc x)\Dots f_n(\vc x)=
\sum_{i=1}^nf_i(\vc x)\beps_i$, et $\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\vc
v)-\vc f(\vc a)\bigr)$ existe, si, et seulement si,
$\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(f_i(\vc a+t\vc v)-f_i(\vc a)\bigr)$ existe pour tout
$i\in\Intf1n$; dans ce cas,
$\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\vc v)-\vc f(\vc a)\bigr)=
\sum_{i=1}^n \lim_{t\to0} \ra1t\bigl(f_i(\vc a+t\vc v)-f_i(\vc a)\bigr)\beps_i$.
\end{proof}
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\paragraph{Insuffisance des dérivées partielles.}
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  Contrairement à ce qui se passe pour les fonctions d'une variable où la
dérivabilité implique la continuité, l'existence des dérivées partielles en un
point n'implique pas la continuité en ce point; l'existence des
dérivées en un point suivant tout vecteur, n'implique toujours pas la
continuité en ce point. Voici deux exemples.

  La fonction $f(x_1,x_2)=x_1x_2/(x_1^2+x_2^2)$ pour $\vc x=(x_1,x_2)\neq\vc
0$ et $f(\vc 0)=0$, n'est pas continue en $\vc x=\vc 0$ bien que les dérivées
partielles existent en $\vc x=\vc 0$ (elles sont nulles) :
\begin{gather*}
\D_1f(\vc 0)=\del{f}{x_1}(\vc 0)=
  \lim_{t\to0}\ra1t\bigl(f(t,0)-f(0,0)\bigr)=\lim_{t\to 0}0=0   \\
\D_2f(\vc 0)=\del{f}{x_2}(\vc 0)=
  \lim_{t\to0}\ra1t\bigl(f(0,t)-f(0,0)\bigr)=\lim_{t\to 0}0=0
\end{gather*}
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  La fonction $f(x_1,x_2)=x_1x_2^3/(x_1^2+x_2^6)$ pour $\vc x=(x_1,x_2)\neq\vc
0$ et $f(\vc 0)=0$, n'est pas continue en $\vc x=\vc 0$ puisque
$f(t^3,t)=\ra12\tendpas[t\to0]0=f(\vc 0)$. Par contre, cette fonction possède en
$\vc0$ des dérivées suivant n'importe quel vecteur $\vc v=(v_1,v_2)$ :
$$
\ra1t\bigl(f(\vc 0+t\vc v)-f(\vc 0)\bigr)=\ra1t f(v_1t,v_2t)=
\ra1t\ra{tv_1(tv_2)^3}{(tv_1)^2+(tv_2)^6}=t\ra{v_1v_2^3}{v_1^2+t^4v_2^6}\tend[t\to0]0=
\D_{\vc v}f(\vc 0)
$$


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\subsection{Fonctions de classe $\mcal{C}^1$}
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\begin{Df}[Application dérivée partielle]\alaligne

  On dit que $\vc f$ admet une dérivée partielle suivant la $j$\ieme{} variable
sur $U$ si $\vc f$ admet une dérivée partielle suivant la $j$\ieme{} variable en
tout point de $U$; elle est notée $\D_j\vc f$ ou $\partial\vc f/\partial x_j$.
\end{Df}
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\begin{Df}[Application de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Une fonction $\vc f$ est dite \emph{de classe} $\mcal{C}^1$ sur $U$, un ouvert
de $\R^p$, si les dérivées partielles $\D_j\vc f$ sont des fonctions continues
sur $U$ pour tout $j\in\Intf1p$.

  L'ensemble des applications de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$ à valeurs dans
$\R^n$ est noté $\CkIE[U,\R^n]{1}$; $\CkIE[U,\R]{1}$ est aussi noté $\CkIE[U]{1}$.
\end{Df}
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\begin{Th}[Applications de classe $\mcal{C}^1$ et composantes]\alaligne 

  L'application $\vc f=\puple{f}$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$,
si, et seulement si, pour tout $i\in\Intf1n$, ses composantes $f_i$ sont des
applications de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Dire que $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$, c'est
dire que les applications $\D_j\vc f=\puple{\D_jf}$ sont continues sur $U$ pour tout
$j\in\Intf1p$, soit, pour tout $i\in\Intf1n$, les applications $\D_jf_i$
sont continues sur $U$ pour tout $j\in\Intf1p$, ou encore, pour tout
$i\in\Intf1n$, les applications $f_i$ sont de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$.
\end{proof}
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\paragraph{Règles de calcul.}
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  Les dérivées partielles étant des dérivées (ordinaires) par rapport à une
variable, les autres étant considérées comme des paramètres fixes, les règles de
calcul, à part la composition, sont identiques aux règles de calcul des dérivées
dans le cas d'une variable. Ainsi :

\begin{itemize}
  \item somme : $\D_j(\la\vc f+\mu\vc g)=\la\D_j\vc f+\mu\D_j\vc g$;
  \item produit : $\D_j(fg)=(\D_j f)g+f\D_j g$ si $f$ et $g$ sont deux
fonctions numériques (réelles ou complexes);
  \item inverse : $\dps\D_j\Bigl(\ra1f\Bigr)=-\ra{\D_j f}{f^2}$ si $f$ est une
fonction numérique qui ne s'annule pas;
  \item composition avec une application linéaire : $\D_j\bigl(u(\vc
f)\bigr)=u(\D_j \vc f)$ si $u\in\LEF[\K^n,\K^q]$ et $\vc f\in\CkIE[U,\K^n]{1}$; en
particulier, $\D_j(\conjug{f})=\conjug{\D_j f}$, $\D_j(\RE f)=\RE(\D_j f)$ et
$\D_j(\IM f)=\IM(\D_j f)$;
  \item composition avec une applications bilinéaires : $\D_j B(\vc f,\vc
g)=B(\D_j\vc f;\vc g)+B(\vc f,\D_j\vc g)$ si $B$ est une application bilinéaire
de $\K^n\times\K^m$ dans $\K^q$, $\vc f\in\CkIE[U,\K^n]{1}$ et $\vc
g\in\CkIE[U,\K^m]{1}$; en particulier :
\begin{align*}
\D_j(AB)
&=  (\D_j A)B+A\D_j B       &&\text{ si $A$ et $B\in\CkIE[U,\Mn{\R}]{1}$}     \\
\D_j(\vc f\wedge\vc g)  
&=\D_j\vc f\wedge\vc g+\vc f\wedge\D_j\vc g &&\text{ si $\vc f$
          et $\vc g\in\CkIE[U,\R^3]{1}$}                                      \\
\D_j\scal{\vc f}{\vc g}
&=  \scal{\D_j\vc f}{\vc g}+\scal{\vc f}{\D_j\vc g}   &&\text{ si
$\vc f$ et $\vc g\in\CkIE[U,\R^n]{1}$}
\end{align*}
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\end{itemize}
Ainsi, $\CkIE[U,\R^n]{1}$ est un $\R$-espace vectoriel et $\CkIE[U]{1}$ est une $\R$-algèbre.


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\subsection{Dérivée suivant un vecteur pour les fonctions de classe
$\mcal{C}^1$}
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\begin{Th}
  Si $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^p$
et $\vc v$ un vecteur de $\R^p$, $\vc f$ admet en tout point $\vc a\in U$ une
dérivée suivant $\vc v$ qui est donnée par :
$$
\D_{\vc v}\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p v_j\D_j\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p v_j \del{\vc
f}{x_j}(\vc a)
$$
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

  Cas d'une fonction numérique de deux variables ($p=2$) pour faciliter la lecture et
surtout l'écriture. Si $\vc v=(v_1,v_2)\in\R^2$ et $\vc a=(a_1,a_2)\in U$, on a :
\begin{align*}
\ra{f(\vc a + t\vc v)- f(\vc a)}{t}
&=  \ra{f(a_1+tv_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2)}{t}                                           \\
&=  \ra{f(a_1+tv_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2+tv_2)}{t}+\ra{f(a_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2)}{t}   \\
&=  v_1\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1tv_1,a_2+tv_2)+v_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2\theta_2tv_2)   \\
&\hspace{-2cm}  \text{(égalité des accroissements finis pour les fonctions
    réelles d'\emph{une} variable, $\theta_1$ et $\theta_2\in\into01$)}               \\
&\tend[t\to0] v_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)+v_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2)
    =v_1\D_1 f(\vc a)+v_2\D_2 f(\vc a)                                                \\
&\hspace{-2cm}  \text{(continuité des dérivées partielles)}
\end{align*}
%--------------------------------------------------

  Cas d'une fonction vectorielle $\vc f=\sum_{i=1}^n f_i\beps_i$ :
$$
\D_{\vc v}\vc f(\vc a)
= \sum_{i=1}^n\D_{\vc v}f_i(\vc a)\beps_i
    =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p v_j\del{f_i}{x_j}(\vc a)\beps_i
= \sum_{j=1}^p\sum_{i=1}^n v_j\del{f_i}{x_j}(\vc a)\beps_i
    =\sum_{j=1}^p v_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a)
$$
%--------------------------------------------------
\end{proof}
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\begin{NB}
  Pour aller de $\vc a$ à $\vc a+\vc h=\vc a+t\vc v$, nous avons pris le chemin
des écoliers, à savoir un chemin dont les côtés sont parallèles aux axes; c'est
une obligation pour utiliser l'égalité des accroissements finis des fonctions
d'\emph{une} variable réelle : sur chacun des
côtés, toutes les variables sont fixés, exceptées l'une d'entre elles. Le bon
chemin, qui est la ligne droite, ne peut être utilisé pour l'instant; ce n'est que
partie remise.
\end{NB}
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\subsection{Développement limité à l'ordre un des fonctions de classe
$\mcal{C}^1$}
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\begin{Th}
  Si $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert de $\R^p$,
on a :
\begin{equation}
\qqs\vc a\in U,\
\vc f(\vc a+\vc h)\buildrel{=}_{\vc h\to\vc 0}^{}
  \vc f(\vc a)+\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)+\oo[\big]{\norme{\vc h}}
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

    Cas d'une fonction numérique de deux variables ($p=2$) pour faciliter la lecture et
surtout l'écriture. Si $\vc h=(h_1,h_2)$ et $\vc a=(a_1,a_2)\in U$, on a, en
utilisant le chemin des écoliers à côtés parallèles aux axes :
\begin{align*}
\abs[\Big]{f(a_1
&+  h_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2)-h_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)-h_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2)}   \\
&\leq   \abs[\Big]{f(a_1+ h_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2+h_2)-h_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)}  \\
&\phantom{\abs[\Big]{f(a_1+ h_1,a_2+h_2)-}}
  +\abs[\Big]{f(a_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2)-h_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2)}                \\
&=  \abs{h_1}\abs[\Big]{\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1h_1,a_2+h_2-\del{f}{x_1}(a_1,a_2)}
  +
    \abs{h_2}\abs[\Big]{\del{f}{x_2}(a_1,a_2+\theta_2 h_2)-\del{f}{x_2}(a_1,a_2)}   \\
&\hspace{-.5cm} \text{égalité des accroissements finis pour les fonctions
    réelles d'\emph{une} variable, $\theta_1$ et $\theta_2\in\into01$}              \\
&\leq \normi{\vc h}\Bigl(
  \abs[\Big]{\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1h_1,a_2+h_2)-\del{f}{x_1}(a_1,a_2)}
  +
  \abs[\Big]{\del{f}{x_2}(a_1,a_2+\theta_2 h_2)-\del{f}{x_2}(a_1,a_2)}
                    \Bigr)                                                          \\
&=  \normi{\vc h}\eps(\vc h)
  \qquad\text{avec $\dps\lim_{\vc h\to\vc 0}\eps(\vc h)=0$ car
    $\del{f}{x_1}$ et $\del{f}{x_2}$ sont continues au point $\vc a$}
\end{align*}
%--------------------------------------------------

  Cas d'une fonction vectorielle $\vc f=\sum_{i=1}^n f_i\beps_i$ :
\begin{align*}
\normi[\Big]{\vc f(\vc a+\vc h)
&-  \vc f(\vc a)-\sum_{j=i}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)}
    =\sup_i\abs[\Big]{f_i(\vc a+\vc h)-f_i(\vc a)-\sum_{j=i}^p h_j\D_j f_i(\vc a)}  \\
&=  \sup_i\bigl(\normi{\vc h}\,\abs{\eps_i(\vc h)}\bigr)
    =\normi{\vc h}\sup_i\bigl(\abs{\eps_i(\vc h)}\bigr)
    \buildrel{=}_{\vc h\to\vc 0}^{}\oo{\normi{\vc h}}
\end{align*}
%--------------------------------------------------
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Le théorème précédent s'interprète de la manière suivante : l'accroissement
$\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)$ de la fonction $\vc f$ au voisinage du point
$\vc a$ est de l'ordre de $\sum_{j=1}^ph_j\D_j\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc
f}{x_j}(\vc a)$; à un terme près négligeable devant $\norme{\vc h}$, on peut donc
remplacer $\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)$ par $\sum_{j=1}^ph_j\D_j\vc f(\vc a)
=\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a)$.
\end{NB}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}[Continuité des fonctions de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Toute fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^p$ est continue
sur $U$.
\end{Cor}

\begin{proof}
  $\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)+\oo{\norme{\vc
h}}\tend[\vc h\to\vc 0]\vc 0$
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

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\section{Différentielle d'une fonction}
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\begin{Df}[Différentielle d'une fonction de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Si $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert
$U\subset\R^p$ et $\vc a\in U$, l'application
\begin{equation}
\vc h\in\R^p\mapsto
  \D_{\vc h}\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)
  =\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a)
\end{equation}
est une application linéaire; elle est appelée \emph{différentielle de $\vc f$
au point $\vc a$} et notée $d\vc f(\vc a)$.
\end{Df}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Avec ces notations, on obtient :
$$
\vc f(\vc a+\vc h)=\vc f(\vc a)+d\vc f(\vc a)(\vc h)+\oo{\norme{\vc h}}
$$
$\vc f$ est approchée par une application linéaire au voisinage de $\vc a$. 
\end{NB}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Matrice jacobienne]\alaligne

  La matrice de l'application linéaire $d\vc f(\vc a)$ relativement aux
bases naturelles de $\R^p$ et $\R^n$, est appelée \emph{matrice jacobienne} de
$\vc f$ au point $\vc a$ et notée $\J_{\vc f}(\vc a)$; ainsi $\J_{\vc f}(\vc a)$
est une matrice à $n$ lignes ($n$ le nombre de composantes de $\vc f$, \ie{} la
dimension de l'espace but) et $p$ colonnes ($p$ le nombre de variables, \ie{} la
dimension de l'espace source).
\begin{equation}
\J_{\vc f}(\vc a)=\bigl(\D_1\vc f(\vc a)\Dots \D_p\vc f(\vc a)\bigr)
=\bigl[\D_j f_i(\vc a)\bigr]_{i,j}
=\Bigl[\del{f_i}{x_j}(\vc a)\Bigr]_{i,j}
\end{equation}
\end{Df}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Exs}\alaligne

\begin{itemize}
  \item Cas d'une fonction vectorielle d'\emph{une} variable réelle : $p=1$.
Soit $\vc f : t\in I\subset\R\mapsto  \vc f(t)=\bigl(f_1(t)\Dots f_p(t)\bigr)$;
$\J_{\vc f}(t)$ est la matrice colonne $\trans\bigl(f'_1(t)\Dots f'_p(t)\bigr)$
et $\J_{\vc f}(t)$ s'identifie avec le vecteur dérivée $\vc f'(t)$.

  \item Cas d'une fonction \emph{numérique} de $p$ variables : $n=1$.
Soit $f : \vc x=(x_1\Dots x_p)\in U\subset\R^p\mapsto f(x_1\Dots x_p)$;
$\J_{f}(\vc a)$ est la matrice ligne $\bigl(\D_1 f(\vc a)\Dots \D_p f(\vc a)\bigr)
=\bigl(\del{f}{x_1}(\vc a)\Dots \del{f}{x_p}(\vc a)\bigr)$ et
$\J_{f}(\vc a)$ s'identifie au vecteur gradient de $\vc f$ en $\vc a$.

  \item Cas général.
Soit $\Phi : (r,\theta)\in\R^2\mapsto\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\in\R^2$;
$\J_\Phi(r,\theta)$ est une matrice à deux lignes et deux colonnes :
$$
\J_\Phi(r,\theta)
=\bigl(\del{\Phi}{r}(r,\theta),\del{\Phi}{\theta}(r,\theta)\bigr)
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta  & -r\sin\theta      \\
\sin\theta  & r\cos\theta
\end{pmatrix}
$$

  Considérons maintenant l'application $z\in\C\mapsto\exp z$ que l'on identifie
en une application de $\R^2$ dans $\R^2$ par $f : (x,y)\in\R^2\mapsto(e^x\cos
y,e^x\sin y)$; la matrice jacobienne $\J_f(x,y)$ est une matrice carrée d'ordre
deux et :
$$
\J_f(x,y)=
\begin{pmatrix}
e^x\cos y   &   -e^x\sin y      \\
e^x\sin y   &   e^x\cos y
\end{pmatrix}
$$
\end{itemize}
\end{Exs}

\begin{Df}[Jacobien]\alaligne

  Le déterminant de la matrice jacobienne est appelé \emph{jacobien} de $\vc f$
au point $\vc a$. Ceci n'a, bien sûr, de sens que si la matrice jacobienne est
une matrice \emph{carrée}.
\end{Df}
%----------------------------------------------------------------------

  Reprenons les exemples précédents; $\det\J_\Phi(r,\theta)=r$, ce qui montre que
$\J_{\Phi}(r,\theta)$ est une matrice inversible, si, et seulement si, $r$ est
un nombre différent de zéro; $\det\J_f(x,y)=e^x$ et la matrice jacobienne
$\J_f(x,y)$ est toujours inversible.

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\section{Composition des applications de classe $\mcal{C}^1$}
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\subsection{La situation}
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  Considérons $\vc f$ une application de classe $\mcal{C}^1$ d'un ouvert $U$ de
$\R^p$ à valeurs dans $\R^n$, dont les variables sont notées $\vc x=(x_1\Dots x_p)$,
et $\vc\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)$ une application de classe $\mcal{C}^1$
d'un ouvert $V$ de $\R^q$ à valeurs dans $U$ pour permettre la composition, dont
les variables sont notées $\vc t=(t_1\Dots t_q)$. On
pose $\vc g=\vc f\rond\bphi$. 

  Il nous faut montrer que $\vc g$ est une application de classe $\mcal{C}^1$
sur l'ouvert $V$, et surtout, donner une formule du calcul des dérivées
partielles $\D_k\vc g=\del{\vc g}{t_k}$ en un point $\btau\in V$ en fonction des
dérivées partielles de $\vc f$ et de $\bphi$.

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\subsection{Un cas particulier $q=1$}
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  On considère $\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}$ et
$\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)\in\CkIE[I,U]{1}$ avec $I$ un intervalle de $\R$; ainsi
$$
\vc g=\vc f\rond\bphi : t\in I\mapsto
\vc f\bigl(\bphi(t)\bigr)=\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr)
$$

\begin{Prop}
  Si $\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}$ et
$\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)\in\CkIE[I,U]{1}$, $\vc g=\vc f\rond\bphi$ est une
application de classe $\mcal{C}^1$ sur l'intervalle $I$ et :
\begin{equation}
\qqs t\in I,\
\vc g'(t)=\dd{}{t}\Bigl(\vc f\rond\bphi(t)\Bigr)
  =\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\vphi'_j(t)
  =\D_{\bphi'(t)}\vc f\bigl(\bphi(t)
\bigr)
\end{equation}
%--------------------------------------------------
\end{Prop}

\begin{proof}
  Dans le cas particulier de deux variables pour $\vc f$ ($p=2$), pour faciliter
la compréhension et l'écriture.

  Calculons le développement limité de $\vc g$ à l'ordre $1$ au voisinage de
$t=\tau$; on posera $\vc a=\bphi(\tau)$; commençons par celui de $\bphi$ :
$$
\bphi(\tau+h)=\bphi(\tau) + h\bphi'(\tau)+h\beps(h)=\vc a+\vc H
$$
en posant $\vc a=\bphi(\tau)$; continuons par celui de l'application $\vc f$ de
classe $\mcal{C}^1$ au voisinage  de $\vc x=\vc a$ :
\begin{align*}
\vc f(\vc a+\vc H)
&=  \vc f(\vc a)+H_1\del{\vc f}{x_1}(\vc a)+H_2\del{\vc f}{x_2}(\vc
  a)+\oo{\norme{\vc H}}                                               \\
&=  \vc f(\vc a)
  + \bigl(h\vphi'_1(\tau)+h\eps_1(h)\bigr)\del{\vc f}{x_1}(\vc a)
  + \bigl(h\vphi'_2(\tau)+h\eps_2(h)\bigr)\del{\vc f}{x_2}(\vc a)
  + \oo{\norme{\vc H}}                                                  \\
&=  \vc f(\vc a)
  + h\Bigl(\vphi'_1(\tau)\del{\vc f}{x_1}(\vc a)
      + \vphi'_2(\tau)\del{\vc f}{x_2}(\vc a)\Bigr) + \oo{h}
\end{align*}
%--------------------------------------------------
car $\vc H=h\bphi'(\tau)+h\beps(h)=\OO{h}$, ce qui implique que tout expression
négligeable devant $\norme{\vc H}$, est négligeable devant $h$. Bref, nous
venons de calculer le développement limité de $\vc g$ à l'ordre un, au voisinage
de $t=\tau$; le coefficient de $h$ est le vecteur dérivée $\vc g'(\tau)$, soit
$$
\vc g'(\tau)
=\vphi'_1(\tau)\del{\vc f}{x_1}(\vc a) + \vphi'_2(\tau)\del{\vc f}{x_2}(\vc a)
=\D_{\bphi'(\tau)}\vc f(\vc a)
$$
Remarquons que $t\mapsto\vc g'(t)$ est une fonction continue, ce qui assure la
classe $\mcal{C}^1$ pour $\vc g$.
\end{proof}
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\paragraph{Interprétation à l'aide des jacobiennes}\alaligne
%----------------------------------------------------------------------

  La matrice jacobienne $\J_{\vc g}(t)$ est la matrice colonne des composantes du
vecteur $\vc g'(t)$, soit $\J_{\vc g}(t)=\bigl(\vc g'(t)\bigr)=
\bigl(\sum_{j=1}^p\vphi'_j(t)\del{\vc f}{x_j}(\vphi(t))\bigr)$, égale au produit
des matrices jacobiennes $\J_{\vc f}\bigl(\bphi(t)\bigr)$ et $\J_{\bphi}(t)$.
\begin{equation}
\J_{\vc g}(t)=\bigl(\vc g'(t)\bigr)
=\J_{\vc f}\bigl(\bphi(t)\bigr)\times\J_{\bphi}(t)
=\Bigl(\del{\vc f}{x_1}\bigl(\bphi(t)\bigr)\Dots\del{\vc f}{x_p}\bigl(\bphi(t)\bigr)\Bigr)
\times
\begin{pmatrix}
\vphi'_1(t)   \\
\vdots      \\
\vphi'_p(t)
\end{pmatrix}
\end{equation}
%--------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\paragraph{Interprétation à l'aide des différentielles}\alaligne
%----------------------------------------------------------------------

  Partons de la différentielle de $\vc f$ : $\dt[]\vc f(\vc x)=\sum_{j=1}^p\del{\vc
f}{x_j}(\vc x)\,\dt[x_j]$. Le calcul de la différentielle de $\vc g=\vc f\rond\bphi
: t\mapsto\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr)$
s'effectue en substituant à $\dt[x_j]$ la différentielle
$\dt[]\vphi_j(t)=\vphi'_j(t)\,\dt$ de $\vphi_j$ :
$$
\dt[]\vc g(t)=\dt[]\Bigl(\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr)\Bigr)
=\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\,\dt[]\vphi_j(t)
=\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\vphi'_j(t)\,\dt
$$
Puisque $\dt[]