%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Série de Fourier} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Série trigonométrique} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Qu'est-ce qu'une série trigonométrique?} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Série trigonométrique]\alaligne On appelle \emph{série trigonométrique} toute série de fonctions (particulières) $$ c_0+\sum_{n\geq1}(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n}\ee^{-\ii nt}) \quad\text{ ou }\quad \sum(a_n\cos nt+b_n\sin nt) $$ où $(c_n)_{n\in\Z}$, $\suite a$ et $\suite b$ sont des suites de nombres complexes. \end{Df} \begin{NB} Rappelons que $c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt}= (c_n+c_{-n})\cos nt+i(c_n-c_{-n})\sin nt$, ce qui permet de passer des $c_n$ aux $a_n$ et $b_n$. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Caractérisation des séries trigonométriques qui convergent normalement sur $\R$} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Convergence normale sur $\R$ des séries trigonométriques]\alaligne Soit $c_0+\sum_{n=1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n}\ee^{-\ii nt})$ une série trigonométrique; les assertions suivantes sont équivalentes : \begin{prop} \item la série $\sum(c_n \ee^{\ii nt}+c_ {-n}\ee^{-\ii nt})$ converge normalement sur $\R$; \item les séries $\sum\abs{c_n}$ et $\sum\abs{c_{-n}}$ sont convergentes; \item les séries $\sum\abs{a_n}$ et $\sum\abs{b_n}$ sont convergentes. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \Implique12 On pose $u_n(t)=c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n}\ee^{-\ii nt}$; alors, $$ 2\pi\,\abs{c_n} =\abs[\Big]{\int_{-\pi}^\pi u_n(t) \ee^{-\ii nt}\,\dt} \leq\int_{-\pi}^\pi\abs{u_n(t)}\,\abs{\ee^{-\ii nt}}\,\dt =\int_{-\pi}^\pi\abs{u_n(t)}\,\dt\leq2\pi\normi{u_n} $$ soit $\abs{c_n}\leq\normi{u_n}$, d'où la convergence de la série $\sum \abs{c_n}$. De même, $\abs{c_{-n}}\leq\normi{u_n}$, d'où la convergence de la série $\sum\abs{c_{-n}}$; \Implique23 $\abs{a_n}=\abs{c_n+c_{-n}}\leq\abs{c_n}+\abs{c_{-n}}$ et $\abs{b_n}=\abs[\big]{\ii(c_n-c_{-n})}\leq\abs{c_n}+\abs{c_{-n}}$; par comparaison, les séries $\sum\abs{a_n}$ et $\sum\abs{b_n}$ sont convergentes; \Implique31 pour tout $t\in\R$, $\abs[\big]{u_n(t)}=\abs{a_n\cos nt+b_n\sin nt}\leq\abs{a_n}+\abs{b_n}$, et, en passant à la borne supérieure pour $t\in\R$, $\normi{u_n}\leq\abs{a_n}+\abs{b_n}$, ce qui assure la convergence normale sur $\R$ de la série de fonctions $\sum u_n$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Calcul des coefficients $c_k$} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th} Si la série trigonométrique $\sum(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n}\ee^{-\ii nt})$ converge uniformément sur $\R$, alors : $\dps S : t\mapsto c_0+\sum_{n=1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt}) =\lim_n\sum_{k=-n}^n c_k \ee^{\ii kt}$ est continue et $2\pi$-périodique sur $\R$ et \begin{equation} \qqs k\in\Z,\ c_k=\scal{e_k}{S}=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi S(t) \ee^{-\ii kt}\,\dt \end{equation} \end{Th} \begin{proof} La continuité des fonctions $u_n$ et la convergence uniforme sur $\R$ de la série $\sum u_n$ montrent la continuité de la somme $S$; puisque les $u_n$ sont $2\pi$-périodiques, $S$ est $2\pi$-périodique. $S(t) \ee^{-\ii kt}=c_0 \ee^{-\ii kt}+\sum_{n=1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt}) \ee^{-\ii kt}$ est la somme d'une série uniformément convergente sur $\R$ car \begin{equation} \sup_{t\in\R}\abs[\Big]{\sum_{n=p+1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt}) \ee^{-\ii kt}}= \sup_{t\in\R}\abs[\Big]{\sum_{n=p+1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt})}\tend[p] 0 \end{equation} On peut donc intégrer la série terme à terme sur le segment $\intf{-\pi}\pi$ et on obtient : \begin{align} \scal{e_k}{S} & = \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi c_0 \ee^{-\ii kt}\,\dt+ \sum_{n=1}^\infty \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi (c_n \ee^{-\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt})\ee^{-\ii kt}\,\dt \\ & = \begin{cases} 0\qquad + \qquad c_k & \text{si $k\neq0$} \\ c_0\qquad + \qquad 0 & \text{si $k=0$} \end{cases} \end{align} car toutes les intégrales sont nulles sauf pour $n=k$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} La convergence des séries numériques $\sum\abs{c_n}$ et $\sum\abs{c_{-n}}$ ou des séries numériques $\sum\abs{a_n}$ et $\sum\abs{b_n}$ impliquent la convergence normale sur $\R$, donc uniforme sur $\R$ de la série de fonctions $\sum u_n$. \end{NB} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Coefficients de Fourier} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Fonctions complexes $2\pi$-périodiques et continues par morceaux} %---------------------------------------------------------------------- Le $\C$-espace vectoriel des fonctions $2\pi$-périodiques et continues par morceaux est noté $\CMdepi$. De telles fonctions sont bornées et on peut se restreindre à un intervalle de longueur $2\pi$ pour en déterminer les bornes (cas réel). $$ \qqs f\in\CMdepi,\ \normi{f}=\sup_{t\in\R}\abs[\big]{f(t)}= \sup_{t\in\intf{a}{a+2\pi}}\abs[\big]{f(t)} $$ La donnée d'une fonction $g$ continue par morceaux sur un segment $\intf{a}{a+2\pi}$ de longueur $2\pi$ définit une fonction $f$ $2\pi$-périodique et continue par morceaux en posant $$ f(t)= \begin{cases} g(t) & \text{si $t\in\intfo{a}{a+2\pi}$} \\ g(t-2n\pi) & \text{si $t\in\intfo{a+2n\pi}{a+2n\pi+2\pi}$} \end{cases} $$ L'intégrale sur une période d'une fonction périodique est \emph{indépendante} de la période choisie; on prendra $\intf0{2\pi}$ ou $\intf{-\pi}\pi$ ou d'autres segments suivant le cas. On note $$ \scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f}g,\quad \normd{f}=\sqrt{\scal ff}=\sqrt{\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{f}^2},\quad \normu{f}=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{f} $$ L'utilisation d'un changement de variable (ou d'échelle) permet de passer d'une fonction $T$-périodique à une fonction $2\pi$-périodique; pour cela, on note $\omega=2\pi T^{-1}$ la pulsation et \begin{itemize} \item si $h$ est une fonction $T$-périodique, alors $f : t\mapsto h\bigl(T/(2\pi)\,t\bigr)=h(\omega^{-1}t)$ est une fonction $2\pi$-périodique; \item si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique, alors $h : t\mapsto f\bigl(2\pi/T\,t\bigr)=f(\omega\,t)$ est une fonction $T$-périodique. \end{itemize} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Coefficients de Fourier d'une fonction} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Dfs}[Coefficient de Fourier]\alaligne Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique et continue par morceaux, on pose \Reponse{$\dps \qqs n\in\Z,\ \hat{f}(n)=c_n(f)=\scal{e_n}{f}= \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt $} \Reponse{$\dps \qqs n\in\N^*,\ a_n(f)=\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos nt\,\dt \quad\et\quad b_n(f)=\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin nt\,\dt $} Le coefficient noté $c_n(f)$ ou $\hat{f}(n)$ est appelé \emph{coefficient exponentiel de Fourier d'ordre $n$} de $f$; les coefficients $a_n(f)$ et $b_n(f)$ sont les \emph{coefficients trigonométriques} de $f$. \end{Dfs} \begin{NBs}\mbox{}\\ % $c_0(f)=(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^\pi f(t)\,\dt$ est la \emph{valeur moyenne de $f$ sur une période}.\\ % $a_n(f)=c_n(f)+c_{-n}(f)$ et $b_n(f)=\ii\bigl(c_n(f)-c_{-n}(f)\bigr)$. \\ % Attention! $a_0(f)=2c_0(f)$ et $b_0(f)=0$. \end{NBs} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Propriétés des coefficients de Fourier} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Linéarité par rapport à la fonction]\alaligne Pour tout entier $n$, $c_n$, $a_n$ et $b_n$ sont des formes linéaires sur $\CMdepi$, \ie{}, par exemple : $$ \qqs n\in\Z,\ \qqs(f,g)\in(\CMdepi)^2,\ \qqs(\lambda,\mu)\in\C^2,\ c_n(\lambda f+\mu g)=\lambda c_n(f)+\mu c_n(g) $$ Ainsi, $f\mapsto \hat{f}$ est une application $\C$-linéaire de $\CMdepi$ vers $\C^\Z$. \end{Prop} \begin{proof} La linéarité de l'intégrale donne la solution : \begin{align*} c_n(\lambda f+\mu g) &= \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bigl(\lambda f(t)+\mu g(t)\bigr)\ee^{-\ii nt}\,\dt \\ &= \lambda\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt+ \mu\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi g(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt =\lambda c_n(f)+\mu c_n(g) \end{align*} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Conjugaison] $$ c_n(\conjug{f})=\conjug{c_{-n}(f)},\ a_n(\conjug{f})=\conjug{a_n(f)},\ b_n(\conjug{f})=\conjug{b_n(f)} $$ Si $f$ est une fonction à valeurs réelles, $c_n(f)=\conjug{c_{-n}(f)}$ et les coefficients $a_n(f)$ et $b_n(f)$ sont des nombres réels. \end{Prop} \begin{proof} L'intégrale du conjugué d'une fonction est le conjugué de l'intégrale : \begin{align*} c_n(\conjug{f}) &= \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)}\ee^{-\ii nt}\,\dt =\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)\ee^{\ii nt}}\,\dt =\ra1{2\pi}\conjug{\int_{-\pi}^\pi f(t) \ee^{\ii nt}\,\dt} =\conjug{c_{-n}(f)} \\ a_n(\conjug{f}) &= \ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)}\cos(nt)\,\dt =\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)\cos(nt)}\,\dt =\ra2{2\pi}\conjug{\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos(nt)\,\dt} =\conjug{a_{n}(f)} \\ b_n(\conjug{f}) &= \ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)} \sin(nt)\,\dt =\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t) \sin(nt)}\,\dt =\ra2{2\pi}\conjug{\int_{-\pi}^\pi f(t) \sin(nt)\,\dt} =\conjug{b_{n}(f)} \\ \end{align*} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Parité]\alaligne Si $\breve{f}$ désigne la fonction $t\mapsto f(-t)$, on a $$ c_n(\breve{f})=c_{-n}(f),\ a_n(\breve{f})=a_n(f)\et b_n(\breve{f})=-b_n(f) $$ \Reponse[Bflushleft]{ Si $f$ est une fonction paire, alors : \\ $\dps c_{-n}(f)=c_n(f),\ a_n(f)=\ra4{2\pi}\int_0^\pi f(t)\cos nt\,\dt\et b_n(f)=0 $} \Reponse[Bflushleft]{ Si $f$ est une fonction impaire, alors : \\ $\dps c_{-n}(f)=-c_n(f),\ a_n(f)=0\et b_n(f)=\ra4{2\pi}\int_0^\pi f(t)\sin nt\,\dt $} \end{Prop} \begin{proof} Le changement de variable $t=-u$ fait l'affaire : \begin{align*} c_n(\breve{f}) &= \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(-t) \ee^{-\ii nt}\,\dt =\ra1{2\pi}\int_{\pi}^{-\pi} f(u) \ee^{\ii nu}\,(-\dt[u]) =\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(u) \ee^{\ii nu}\,\dt[u] =c_{-n}(f) \\ a_n(\breve{f}) &= \ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(-t) \cos(nt)\,\dt =\ra2{2\pi}\int_{\pi}^{-\pi} f(u) \cos(-nu)\,(-\dt[u]) =\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(u) \cos(nu)\,\dt[u] =a_{n}(f) \\ b_n(\breve{f}) &= \ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(-t) \sin(nt)\,\dt =\ra2{2\pi}\int_{\pi}^{-\pi} f(u) \sin(-nu)\,(-\dt[u]) =\ra{-2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(u) \sin(nu)\,\dt[u] =-b_{n}(f) \\ \end{align*} Rappelons que l'on a, pour tout $\alpha>0$ et toute fonction $g$ continue par morceaux sur le segment $\intf{-\alpha}{\alpha}$ : \begin{equation} \int_{-\alpha}^\alpha g(t)\,\dt =\int_{-\alpha}^0 g(t)\,\dt+\int_{0}^\alpha g(t)\,\dt =\int_{\alpha}^0 g(-u)\,(-\dt[u])+\int_{0}^\alpha g(t)\,\dt =\int_0^\alpha \bigl(g(t)+g(-t)\bigr)\,\dt \end{equation} ce qui donne \begin{align*} \text{la fonction $g$ est paire} &\implique \int_{-\alpha}^\alpha g(t)\,\dt=2\int_0^\alpha g(t)\,\dt \\ \text{la fonction $g$ est impaire} &\implique \int_{-\alpha}^\alpha g(t)\,\dt=0 \end{align*} Si $f$ est une fonction paire, les fonctions $f$ et $\breve{f}$ sont égales, $t\mapsto f(t)\cos(nt)$ est une fonction paire et $t\mapsto f(t)\sin(nt)$ est une fonction impaire. Si $f$ est une fonction impaire, les fonctions $f$ et $\breve{f}$ sont opposées, $t\mapsto f(t)\cos(nt)$ est une fonction impaire et $t\mapsto f(t)\sin(nt)$ est une fonction paire. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Effet d'une translation]\alaligne Soit $a\in\R$ et $\tau_a f : t\mapsto f(a+t)$; alors $$ c_n(\tau_af)=\ee^{\ii na} c_n(f) $$ \end{Prop} \begin{proof} Les ingrédients : le changement de variable $u=t+a$, la formule fondamentale de l'exponentielle et la linéarité de l'intégrale. \begin{align*} c_n(\tau_a f) &= \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t+a)\ee^{-\ii nt}\,\dt =\ra1{2\pi}\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(u)\ee^{-\ii n(u-a)}\,\dt[u] \\ &= \ra1{2\pi}\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(u)\ee^{\ii na}\ee^{-\ii nu}\,\dt[u] =\ee^{\ii na}c_n(f) \end{align*} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractère borné des coefficients de Fourier]\alaligne Pour toute fonction $f$ continue et continue par morceaux, $\hat{f}$ est une suite bornée et $$ \normi{\hat{f}} =\sup_{n\in\Z}\abs[\big]{\hat{f}(n)} =\sup_{n\in\Z}\abs[\big]{c_n(f)} \leq\normu{f}\leq\normi{f} $$ \end{Th} \begin{proof}On a les inégalités suivantes : $$ 2\pi\,\abs[\big]{\hat{f}(n)} =\abs[\big]{\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt} \leq\int_{-\pi}^\pi \abs{f(t)}\,\abs{\ee^{-\ii nt}}\,\dt =\int_{-\pi}^\pi\abs[\big]{f(t)}\,\dt =2\pi\,\normu{f}\leq 2\pi\,\normi{f} $$ Il ne reste plus qu'à passer à la borne supérieure sur $n\in\Z$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- De même les suites $\bigl(a_n(f)\bigr)_n$ et $\bigl(b_n(f)\bigr)_n$ des coefficients trigonométriques de Fourier sont bornées : \begin{align*} \abs[\big]{a_n(f)} &= \abs[\big]{\hat{f}(n)+\hat{f}(-n)} \leq\abs[\big]{\hat{f}(n)}+\abs[\big]{\hat{f}(-n)} \leq2\normu{f} \\ \abs[\big]{b_n(f)} &= \abs[\big]{\ii\bigl(\hat{f}(n)+\hat{f}(-n)\bigr)} \leq\abs[\big]{\hat{f}(n)}+\abs[\big]{\hat{f}(-n)} \leq2\normu{f} \end{align*} \begin{Lem}[de Riemann-Lebesgue]\alaligne Pour toute fonction $f\in\CMdepi$, $c_n(f)$ tend vers 0 quand $\abs{n}$ tend vers $+\infty$, \ie{} $$ \lim_n c_n(f)=\lim_n c_{-n}(f)=0 =\lim_na_n(f)=\lim_n b_n(f) $$ \end{Lem} \begin{proof}\alaligne \textsf{Cas d'une fonction de classe $\mcal{C}^1$}. Une intégration par parties permet l'apparition d'un facteur $n^{-1}$ et on remarquera la nullité de la partie intégrée : l'accroissement d'une fonction $2\pi$-périodique entre $-\pi$ et $\pi$ est nulle. Pour $n\neq0$ on a : \begin{equation} \int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt =f(t)\ra{\ee^{-\ii nt}}{-\ii n}\entre[\Big]{t=-\pi}{t=\pi} -\int_{-\pi}^\pi f'(t)\ra{\ee^{-\ii nt}}{-\ii n}\,\dt =0+\ra1{\ii n}\int_{-\pi}^\pi f'(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt \end{equation} et \begin{equation} \abs{c_n(f)} =\ra1{\abs{n}}\abs[\big]{c_n(f')} \leq\ra1{\abs{n}}\normu{f'} \tend[\abs{n}\to+\infty] 0 \end{equation} \textsf{Cas des fonctions en escalier}. Soient $\vphi$ une fonction en escalier, $\sigma=(a_k)_{k\in\Intf0p}$ une subdivision adaptée, $\lambda_k$ la valeur (constante) de $\vphi$ sur l'intervalle ouvert $\into{a_{k-1}}{a_k}$; alors \begin{equation} \int_{-\pi}^\pi \vphi(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt =\sum_{k=1}^p\int_{a_{k-1}}^{a_k}\lambda_k \ee^{-\ii nt}\,\dt =\sum_{k=1}^p \lambda_k \ra{\exp(-\ii na_k)-\exp(-\ii na_{k-1})}{-\ii n} \end{equation} et \begin{multline} \abs{c_n(\vphi)} =\ra1{2\pi\abs{n}} \abs[\Big]{\sum_{k=1}^p\lambda_k \bigl(\exp(-\ii na_k)-\exp(-\ii na_{k-1}\bigl)} \\ \leq\ra1{2\pi\abs{n}}\sum_{k=1}^p\abs{\lambda_k}\,\abs[\big]{\exp(-\ii na_k)-\exp(-\ii na_{k-1})} \leq\ra1{2\pi\abs{n}}\sum_{k=1}^p 2\abs{\lambda_k}\tend[\abs{n}\to+\infty]0 \end{multline} \textsf{Cas général}. Soient $f\in\CMdepi$ et $\eps>0$; il existe une fonction en escalier $\vphi_\eps$ sur $\intf{-\pi}{\pi}$ telle que $\normi{f-\vphi_\eps}<\eps$. Ainsi $$ \abs{c_n(f)}=\abs{c_n(f-\vphi_\eps)+c_n(\vphi_\eps)} \leq\abs{c_n(f-\vphi_\eps)}+\abs{c_n(\vphi_\eps)} \leq\normi{f-\vphi_\eps}+\abs{c_n(\vphi_\eps)}\leq\eps+\abs{c_n(\vphi_\eps)} $$ Puisque $\abs[\big]{c_n(\vphi_\eps)}\to0$ quand $\abs{n}\to+\infty$, il existe un rang $N$ tel que $\abs{n}>N$ implique $\abs{c_n(\vphi_\eps)}<\eps$, et donc $\abs[\big]{c_n(f)}<2\eps$, ce qui montre que $\lim_n c_n(f)=\lim_n c_{-n}(f)=0$. Les coefficients trigonométriques $a_n(f)$ et $b_n(f)$ sont des combinaisons linéaires des coefficients exponentiels $c_n(f)$ et $c_{-n}(f)$; ils admettent donc 0 comme limite. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Ordre de grandeur des coefficients de Fourier et régularité de la fonction} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Coefficient de Fourier d'une dérivée]\alaligne Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique de classe $\mcal{C}^1$ sur $\R$, alors $$ \reponse{$ \qqs n\in\Z,\ c_n(f')=\ii n\,c_n(f) $} $$ \end{Prop} \begin{proof} Une intégration par parties donne le résultat; la partie intégrée est nulle car accroissement d'une fonction $2\pi$-périodique entre $-\pi$ et $\pi$. \begin{multline} 2\pi\,c_n(f')=\int_{-\pi}^\pi f'(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt =f(t) \ee^{-\ii nt}\entre{-\pi}{\pi}-\int_{-\pi}^\pi f(t)(-\ii n \ee^{-\ii nt})\,\dt \\ =0+\ii n\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt =2\pi\ii n\,c_n(f) \end{multline} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Coefficient de Fourier d'une dérivée d'ordre $k$]\alaligne Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique de classe $\mcal{C}^k$ sur $\R$, alors $$ \reponse{$ \qqs n\in\Z,\ c_n(f^{(k)})=(\ii n)^k c_n(f) $} $$ \end{Prop} \begin{proof} Une récurrence sur $k$ donne le résultat. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Extension aux fonctions de classe $\mcal{C}^{k-1}$ et $\mcal{C}^k$ par morceaux]\alaligne Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique de classe $\mcal{C}^{k-1}$ et de classe $\mcal{C}^k$ par morceaux sur $\R$, alors $$ \reponse{$ \qqs n\in\Z,\ c_n(\D^k f)=(\ii n)^k c_n(f) $} $$ \end{Prop} \begin{proof} Si $f$ est une fonction continue et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $\R$, $f$ est une primitive de $\D f$, l'intégration par parties est licite et la formule est vraie pour $k=1$. Une récurrence sur $k$ donne le résultat. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor} Si $f$ est $2\pi$-périodique et de classe $\mcal{C}^k$ (resp. de classe $\mcal{C}^{k-1}$ et de classe $\mcal{C}^k$ par morceaux) sur $\R$, alors $c_n(f)$ est négligeable devant $\abs{n}^{-k}$ quand $\abs{n}$ tend vers l'infini. $$ c_n(f)\buildrel{=}_{\abs{n}\to\infty}^{}\oo[\Big]{\ra1{\abs{n}^k}} $$ \end{Cor} \begin{proof} Considérons l'égalité $c_n(f)=(\ii n)^{-k}c_n(f^{(k)})$ (resp. $c_n(f)=(\ii n)^{-k}c_n(\D^k f)$); puisque le lemme de Riemann-Lebesgue montre que $c_n(f^{(k)})\tend[\abs{n}\to\infty]0$ (resp. $c_n(\D^k f)\tend[\abs{n}\to\infty]0$), le résultat est démontré. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \newpage %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Série de Fourier} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Somme partielle de Fourier de rang $n$} %---------------------------------------------------------------------- Soient $f$ une fonction $2\pi$-périodique, continue par morceaux, et $n$ un entier naturel; pour $t\in\R$, on pose : \begin{center} \reponse{$\dps \bigl[S_n(f)\bigr](t)= \sum_{k=-n}^n c_k(f)\ee^{\ii kt} = c_0(f)+\sum_{k=1}^n\Bigl(c_k(f)\ee^{\ii kt}+c_{-k}(f)\ee^{-\ii kt}\Bigr)$ \\ $\dps = c_0(f)+\sum_{k=1}^n\Bigl(a_k(f)\cos kt+b_k(f)\sin kt\Bigr) $} \end{center} \begin{NB} Si $P$ est un polynôme trigonométrique de degré $d$, pour tout entier $n\geq d$, la somme partielle de Fourier de rang $n$ est identique à $P$. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Série de Fourier} %---------------------------------------------------------------------- À toute fonction $f$ $2\pi$-périodique et continue par morceaux, on associe la série de fonctions $c_0(f)+\sum \bigl(c_n(f) \ee^{\ii nt}+c_{-n}(f)\ee^{-\ii nt}\bigr)$, \ie{} la série de fonctions $c_0(f)+\sum \bigl(a_n(f)\cos nt+b_n(f)\sin nt\bigr)$; c'est la \emph{série de Fourier} de $f$. On note $[S(f)](t)$ la somme de la série de Fourier de $f$ au point $t$ en cas de convergence. \begin{center} \reponse{$\dsp \bigl[S(f)\bigr](t)= \lim_{n\uparrow+\infty}\sum_{k=-n}^n c_k(f)\ee^{\ii kt} =c_0(f)+\sum_{k=1}^\infty\Bigl(c_k(f)\ee^{\ii kt}+c_{-k}(f)\ee^{-\ii kt}\Bigr)$ \\ $\dps = c_0(f)+\sum_{k=1}^\infty\Bigl(a_k(f)\cos kt+b_k(f)\sin kt\Bigr) $} \end{center} Se posent maintenant deux questions : \begin{itemize} \item pour quelles valeurs de $t$ la série de Fourier converge-t-elle? \item en cas de convergence, quelle est la valeur de la somme de cette série? en particulier, cette somme est-elle égale à $f(t)$? \end{itemize} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Convergence en moyenne quadratique} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité de Bessel} %---------------------------------------------------------------------- La somme partielle de Fourier d'une fonction $f$ réalise une propriété extrémale qui s'éclaircira avec la notion de projection orthogonale. \begin{Prop} Soient $f\in\CMdepi$ et $n\in\N$; les coefficients de Fourier $\bigl(c_k(f)\bigr)_{k\in\Intf{-n}n}$ de $f$ rendent minimale l'expression $\normd[\big]{f-\sum_{k=-n}^n \lambda_k e_k}$, \ie{} $S_n(f)$ réalise le minimum de $\normd{f-P}$ pour tous les polynômes trigonométriques $P$ de degré au plus $n$. \end{Prop} \begin{proof} Soit $(\lambda_k)_{k\in\Intf{-n}n}$ des nombres complexes; alors \begin{align*} \normd[\Big]{f-\sum_{k=-n}^n \lambda_k e_k}^2 & = \scal{f-\sum_{k=-n}^n \lambda_k e_k}{f-\sum_{k=-n}^n \lambda_k e_k} \\ & = \normd{f}^2-\conjug{\scal{\sum_{k=-n}^n\lambda_k e_k}{f}} - \scal{\sum_{k=-n}^n\lambda_k e_k}{f}+\normd[\Big]{\sum_{k=-n}^n\lambda_k e_k}^2 \\ & = \normd{f}^2 - \sum_{k=-n}^n\lambda_k\conjug{c_k(f)} - \sum_{k=-n}^n\conjug{\lambda_k}c_k(f) +\sum_{k=-n}^n\abs{\lambda}^2 \\ & = \normd{f}^2 + \sum_{k=-n}^n\biggl\{\bigl(\lambda_k-c_k(f)\bigr) \bigl(\conjug{\lambda_k}-\conjug{c_k(f)}\bigr)-\abs{c_k(f)}^2\biggr\} \\ & = \normd{f}^2 + \sum_{k=-n}^n\abs[\big]{\lambda_k-c_k(f)}^2 - \sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2 \\ & \geq \normd{f}^2 - \sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2 \end{align*} l'inégalité ayant lieu si, et seulement si, $\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{\lambda_k-c_k(f)}^2=0$, \ie{} si, et seulement si, $\lambda_k=c_k(f)$ pour tout $k\in\Intf{-n}n$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- Ainsi, pour tout polynôme trigonométrique $P$ de degré au plus $n$, on a : \begin{center} \reponse{$\dps \normd[\big]{f-P}^2 \geq \normd[\big]{f-S_n(f)}^2 = \normd[\big]{f}-\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f)}^2 =\normd[\big]{f}^2-\normd[\big]{S_n(f)}^2 $} \end{center} \begin{Prop}[Inégalité de Bessel]\alaligne Si $f\in\CMdepi$, les sommes $\dps\sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2$ sont majorées par $\normd[\big]{f}^2$ et \begin{equation} \abs{c_0(f)}^2+\sum_{n=1}^\infty\bigl(\abs{c_n(f)}^2+\abs{c_{-n}(f)}^2\bigr) \leq\normd[\big]{f}^2 \end{equation} \end{Prop} \begin{proof} De l'égalité $\normd[\big]{f}^2=\normd[\big]{S_n(f)}^2+\normd[\big]{f-S_n(f)}^2$, on tire \begin{equation} \normd[\big]{S_n(f)}^2=\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f)}^2\leq\normd[\big]{f}^2 \end{equation} Les sommes partielles de la série à termes positifs $\abs{c_0}^2+\sum\bigl(\abs{c_n}^2+\abs{c_{-n}}^2\bigr)$ sont majorées par $\normd[\big]{f}^2$; cette série est donc convergente et $\normd[\big]{f}^2$ est un majorant de sa somme. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Le terme général d'une série \emph{convergente} tend vers 0, ce qui montre que $\lim_n c_n=\lim_n c_{-n}=0$. On retrouve le lemme de Riemann-Lebesgue. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Convergence en moyenne quadratique de la suite $\bigl(S_n(f)\bigr)_n$ vers $f$} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Cas des fonctions continues]\alaligne Si $f$ est une fonction \emph{continue} et $2\pi$-périodique, la suite $\bigl(S_n(f)\bigr)_n$ converge en moyenne quadratique vers la fonction $f$, autrement dit : \begin{equation} \normd[\big]{f-S_n(f)}\tend 0 \end{equation} \end{Th} \begin{proof} La fonction $f$ étant continue et $2\pi$-périodique, pour tout $\eps>0$, il existe un polynôme trigonométrique $P_\eps$ tel que $\normi{f-P_\eps}<\eps$. Pour tout entier $n$ supérieur au degré de $P_\eps$, on a : \begin{equation} \normd[\big]{f-S_n(f)}\leq\normd[\big]{f-P_\eps}\leq\normi[\big]{f-P_\eps}<\eps \end{equation} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor}[Extension aux fonctions continues par morceaux]\alaligne Si $f$ est une fonction continue par morceaux et $2\pi$-périodique, la suite $\bigl(S_n(f)\bigr)_n$ converge en moyenne quadratique vers la fonction $f$, autrement dit : \begin{equation} \normd[\big]{f-S_n(f)}\tend 0 \end{equation} \end{Cor} \begin{proof} La fonction $f$ étant continue par morceaux et $2\pi$-périodique, pour tout $\eps>0$, il existe une fonction $g_\eps$ \emph{continue} et $2\pi$-périodique telle que $\normd{f-g_\eps}<\eps$. Pour tout entier $n$, on a : \begin{align*} \normd[\big]{f-S_n(f)} & = \normd[\big]{f-g_\eps+g_\eps-S_n(g_\eps)+S_n(g_\eps)-S_n(f)} % = \normd[\big]{f-g_\eps+g_\eps-S_n(g_\eps)+S_n(g_\eps-f)} \\ & \leq \normd[\big]{f-g_\eps}+\normd[\big]{g_\eps-S_n(g_\eps)}+ \normd[\big]{S_n(g_\eps-f)} \\ & \leq \normd[\big]{f-g_\eps}+\normd[\big]{g_\eps-S_n(g_\eps)}+ \normd[\big]{g_\eps-f} \\ & < 2\eps+\normd[\big]{g_\eps-S_n(g_\eps)} \end{align*} Puisque $\normd[\big]{g_\eps-S_n(g_\eps)}\tend0$, pour $n$ suffisamment grand, $\normd[\big]{f-S_n(f)}<3\eps$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[\'Egalité de Parseval]\alaligne Si $f$ est une fonction continue par morceaux et $2\pi$-périodique, on a : \begin{center} \reponse{$\dps \normd[\big]{f}^2=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs[\big]{f(t)}^2\,\dt =\abs{c_0}^2+\sum_{n=1}^\infty\bigl(\abs{c_n}^2+\abs{c_{-n}}^2\bigr) =\abs{c_0}^2+\ra12\sum_{n=1}^\infty\bigl(\abs{a_n}^2+\abs{b_{n}}^2\bigr) $} \end{center} \end{Th} \begin{proof}\alaligne De $\normd[\big]{f}^2-\normd[\big]{S_n(f)}^2=\normd[\big]{f-S_n(f)}^2\tend0$, on tire $\normd[\big]{S_n(f)}^2 = \sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2\tend\normd[\big]{f}^2$. $2 c_n=a_n-\ii\,b_n$ implique $4\abs{c_n}^2 = (a_n-\ii\,b_n)(\conjug{a_n}+\ii\,\conjug{b_n}) = \abs{a_n}^2-\ii\,\conjug{a_n}b_n+\ii\,a_n\conjug{b_n} +\abs{b_n}^2$; de même, $4\abs{c_{-n}}^2 = \abs{a_n}^2+\ii\,\conjug{a_n}b_n-\ii\,a_n\conjug{b_n} +\abs{b_n}^2$; ainsi $\abs{c_n}^2+\abs{c_{-n}}^2=\bigl(\abs{a_n}^2+\abs{b_n}^2\bigr)/2$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Expression du produit scalaire]\alaligne Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues par morceaux et $2\pi$-périodiques, alors : $$ \scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\conjug{f}g =\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=-n}^n \conjug{c_k(f)}\,c_k(g) =\conjug{c_0(f)}\,c_0(g) + \sum_{n=1}^\infty\Bigl(\conjug{c_n(f)}\,c_n(g)+\conjug{c_{-n}(f)}\,c_{-n}(g)\Bigr) $$ \end{Prop} \begin{proof} Puisque $S_n(f)\tend f$ et $S_n(g)\tend g$ pour la norme $\normd{\ }$, on obtient : $$ \scal{S_n(f)}{S_n(g)}\tend \scal fg $$ Or, $$ \scal{S_n(f)}{S_n(g)} = \scal{\sum_{r=-n}^n c_r(f)e_r}{\sum_{s=-n}^n c_s(g)e_s} = \sum_{r=-n}^n\sum_{s=-n}^n \conjug{c_r(f)}c_s(g)\scal{e_r}{e_s} = \sum_{r=-n}^n\conjug{c_r(f)}c_r(g) $$ \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Les coefficients de Fourier déterminent la fonction} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th} L'application $f\mapsto\hat{f}$ est une application linéaire \emph{injective} de $\Cdepi$ vers $\C^\Z$. \end{Th} \begin{proof} Il suffit de montrer que le noyau est réduit à $\{\vc0\}$. Considérons une fonction \emph{continue} $f$ telle $\hat{f}=0$, \ie{} telle que pour tout $n\in\Z$, $c_n(f)=0$. Dans ces conditions, la formule de Parseval montre que $\normd{f}=0$ et donc que $f$ est la fonction nulle. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor} Deux fonctions $2\pi$-périodiques et \emph{continues} qui admettent les mêmes coefficients de Fourier sont égales. \end{Cor} \begin{proof} Si $f$ et $g$ sont de telles fonctions, alors $\hat{f}=\hat{g}$, soit $\widehat{f-g}=0$ et donc $f-g=0$ \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor}[Extension aux fonctions continues par morceaux]\alaligne Deux fonctions $2\pi$-périodiques et continues par morceaux qui admettent les mêmes coefficients de Fourier sont égales en tout point où elles sont continues. \end{Cor} \begin{proof} Si $f$ et $g$ sont de telles fonctions, alors $\hat{f}=\hat{g}$, soit $c_n(f-g)=0$ pour tout $n\in\Z$. La formule de Parseval donne $\normd{f-g}^2=0$, soit $\int_{-\pi}^\pi\abs[\big]{f(t)-g(t)}^2\,\dt=0$, ce qui implique la nullité de $f-g$ en tout point de continuité. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Convergence ponctuelle} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Cas des fonctions de classe $\mcal{C}^1$} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Convergence normale de la série de Fourier d'une fonction $\mcal{C}^1$]\alaligne Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique et \emph{de classe $\mcal{C}^1$}, la série de Fourier de $f$ converge normalement sur $\R$ et sa somme vaut $f$. \begin{center} \reponse{$\dps \qqs t\in\R,\ f(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty\bigl(c_n\,\ee^{\ii nt}+c_{-n}\,\ee^{-\ii nt}\bigr) =c_0+\sum_{n=1}^\infty\Bigl(a_n\cos nt+b_n\sin nt\Bigr) $} \end{center} \end{Th} \begin{proof}\alaligne Pour $n\in\Z^*$, $\abs[\big]{c_n(f)}=\abs[\big]{(\ii n)^{-1}c_n(f')}\leq 2^{-1}\bigl(n^{-2}+\abs{c_n(f')}^2\bigr)$ grâce à l'inégalité $2ab\leq a^2+b^2$ pour $a$ et $b$ réels positifs. Ainsi : \begin{align*} \sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f)} & \leq \abs[\big]{c_0(f)} + \ra12\sum_{\substack{k=-n\\k\neq0}}^n\Bigl(\ra1{n^2}+\abs[\big]{c_k(f')}^2\Bigr) = \abs[\big]{c_0(f)}+\sum_{k=1}^n\ra1{k^2} + \ra12\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f')}^2 \\ & \leq \abs[\big]{c_0(f)}+\sum_{k=1}^\infty\ra1{k^2} + \ra12\normd[\big]{f'}^2 \end{align*} Les sommes partielles $\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f)}$ sont bornées, les séries $\sum\abs{c_n}$ et$\sum\abs[\big]{c_{-n}(f)}$ sont convergentes. $c_0+\sum_1^\infty(c_n\,\ee^{\ii nt}+c_{-n}\,\ee^{-\ii nt})$, série de Fourier de $f$, converge normalement sur $\R$ vers une fonction continue et $2\pi$-périodique notée $S(f)$, dont les coefficients de Fourier sont identiques à ceux de $f$. Ceci montre que les fonctions $S(f)$ et $f$ sont identiques. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Le lecteur attentif aura remarqué que $c_n(f)=(\ii n)^{-1}c_n(f')$ est le produit des termes généraux de deux séries de carré sommable; $c_n(f)$ est donc le terme général d'une série absolument convergente. \end{NB} \begin{Th}[Extension aux fonctions continue et $\mcal{C}^1$ par morceaux]\alaligne Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique, continue et \emph{de classe $\mcal{C}^1$} par morceaux, la série de Fourier de $f$ converge normalement sur $\R$ et sa somme vaut $f$. \end{Th} \begin{proof} On reprend la démonstration en utilisant l'égalité : $c_n(f)=(\ii n)^{-1}c_n(\D f)$ et en remplaçant $f'$ par $\D f$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Cas des fonctions de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[de Dirichlet]\alaligne Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux, la série de Fourier de $f$ converge en tout point $t\in\R$ et sa somme est égale à la demi-somme de la limite à droite et de la limite à gauche de $f$ en~$t$. En particulier, en tout point $t$ où $f$ est continue, la somme de la série de Fourier de $f$ en $t$ est égale à~$f(t)$. \begin{center} \reponse{$\dps \qqs t\in\R,\ c_0+\sum_{n=1}^\infty\bigl(c_n\,\ee^{\ii nt}+c_{-n}\,\ee^{-\ii nt}\bigr) =c_0+\sum_{n=1}^\infty\Bigl(a_n\cos nt+b_n\sin nt\Bigr)$ \\ $\dps = \begin{cases} \dps\lim_{\substack{h\to0\\h>0}}\ra{f(t+h)+f(t-h)}2 & \text{ si $f$ n'est pas continue en $t$} \\ f(t) & \text{ si $f$ est continue en $t$} \end{cases} $} \end{center} \end{Th} \begin{proof}\alaligne Noyau de Dirichlet. On pose $D_n(t)=\sum_{k=-n}^n \ee^{\ii kt}$. \\ En effectuant le changement d'indice $r=-k$, on remarque que $D_n$ est une fonction paire : \begin{equation} D_n(-t)=\sum_{k=-n}^n \ee^{-\ii kt}=\sum_{r=n}^{-n}\ee^{\ii rt}=D_n(t) \end{equation} Valeur moyenne de $D_n$ : \begin{equation} \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi D_n(t)\,\dt = \ra1{\pi}\int_0^\pi D_n(t)\,\dt = \sum_{k=-n}^n\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \ee^{\ii kt}\,\dt = \sum_{k=-n}^n\delta_{0,k} = \delta_{0,0} = 1 \end{equation} Simplification de $D_n$ pour $t\neq0$ modulo $2\pi$ : \begin{equation} D_n(t) = \sum_{k=-n}^n (\ee^{\ii t})^k = \ra{(\ee^{\ii t})^{-n}-(\ee^{\ii t})^{n+1}}{1-\ee^{\ii t}} = \ra{\ee^{\ii t/2}}{\ee^{\ii t/2}} \ra{\ee^{-\ii(n+1/2)t}-\ee^{\ii(n+1/2)t}}{\ee^{-\ii t/2}-\ee^{\ii t/2}} = \ra{\sin(n+1/2)t}{\sin(1/2 t)} \end{equation} Expression de $\bigl[S_n(f)\bigr](t)$ \begin{align*} \bigl[S_n(f)\bigr](t) & = \sum_{k=-n}^n c_k\,\ee^{\ii kt} = \sum_{k=-n}^n\biggl(\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(u)\,\ee^{-\ii ku}\,\dt[u]\biggr)\ee^{\ii kt} \\ & = \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(u)\sum_{k=-n}^n \ee^{\ii k(t-u)}\,\dt[u] = \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(u) D_n(t-u)\,\dt[u] \\ & = \ra1{2\pi}\int_{t-\pi}^{t+\pi} f(t-v) D_n(v)\,dv = \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t-v) D_n(v)\,dv \\ & = \ra1{2\pi}\int_0^{\pi} \bigl(f(t-v)+f(t+v)\bigr) D_n(v)\,dv \end{align*} Convergence de $\bigl[S_n(f)\bigr](t)$. On note $f(t-)$ (resp. $f(t+)$) la limite à gauche (resp. à droite) de $f$ en $t$ et on pose $2\ell=f(t-)+f(t+)$. Puisque $D_n$ est une fonction paire et que sa valeur moyenne vaut 1, on peut écrire $2\pi\ell=\int_0^\pi 2\ell D_n(u)\,\dt[u] = \int_0^\pi\bigl(f(t-)+f(t+)\bigr)D_n(u)\,\dt[u]$, et : \begin{align*} \ell-\bigl[S_n(f)\bigr](t) & = \ra1{2\pi}\int_0^\pi \biggl(\Bigl(f(t-)-f(t-u)\Bigr)+\Bigl(f(t+)-f(t+u)\Bigr)\biggr)D_n(u)\,\dt[u] \\ & = \ra1{2\pi}\int_0^\pi\biggl(\ra{f(t-)-f(t-u)}{\sin(u/2)}+ \ra{f(t+)-f(t+u)}{\sin(u/2)}\biggr)\sin(n+1/2)u\,\dt[u] \end{align*} Or, $\dps u\mapsto\ra{f(t-)-f(t-u)}{2\sin(u/2)} = \ra{f(t-)-f(t-u)}{u}\ra{u/2}{\sin(u/2)}$ est continue sur $\intof0\pi$ et prolongeable par continuité en $u=0$ car : \begin{equation} \ra{f(t-)-f(t-u)}{0-(-u)}\ra{u/2}{\sin(u/2)}\tend[u\uparrow0]f'_g(t)\times1 \end{equation} De même $u\mapsto\bigl(f(t+)-f(t+u)\bigr)\bigl(\sin{u/2}\bigr)^{-1}$ est continue sur $\intof0\pi$ et prolongeable par continuité en $t=0$ par $-f'_d(t)$. Le lemme de Riemann-Lebesgue montre que $\lim_n\bigl(\ell-\bigl[S_n(f)\bigr](t)\bigr)=0$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: