Source de inversion.tex
%&LaTeX \documentclass[a4paper,12pt]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{geometry} \usepackage[dvips]{epsfig} %===================================================================== % Figure en taille fixée par l'utilisateur \def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}} \def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}} % Figure en taille réelle \def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}} \def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}} %===================================================================== % Macros \newtheorem{definition}{Définition} \newtheorem{theoreme}{Théorème} \def\vect#1{\overrightarrow{#1}} %===================================================================== % Definition de subsubexo \newcount\exonumber \exonumber=0 \def\placeExo{\goodbreak\global\advance\exonumber by 1\par\vskip 15pt \noindent{\framebox{\bf\the\exonumber}}} \newif\ifCorrigeDemande\CorrigeDemandefalse \newif\ifCorrection\Correctionfalse \def\subsubexo#1#2#3#4{\placeExo\kern1pt{\bf #2}{ #3}% \ifCorrigeDemande{\correctionExo{#4}}\fi} \def\correctionExo#1{\begin{quote}\hrule\large% \small #1 \end{quote}} %===================================================================== \parindent0pt \begin{document} \begin{center} \Large\bf Inversion\\ \rule{\linewidth}{1mm} \end{center} \begin{definition} Soit $\Omega$ un point du plan $\mathcal{E}_2$ et $\mu$ un réel non nul, l'\textbf{inversion de centre} $\Omega$ de \textbf{puissance} $\mu$ est l'application de $\mathcal{E}_2\setminus\{\Omega\}$ sur $\mathcal{E}_2\setminus\{ \Omega\}$ qui, au point $M$, associe le point $M'$ tel que $$ \vect{\Omega M'}=\frac{\mu}{\Omega M^2}\vect{\Omega M}$$ \end{definition} \textbf{Formulation complexe.} On suppose que $O$ est l'origine du plan complexe, l'inversion de centre $O$ et de puissance $\mu$ associe au point $M(z)$, distinct de $O$, le point $M'(z')$ tel que $\displaystyle z'=\frac\mu{\overline{z}}$. Plus généralement l'inversion de centre $\Omega(\omega)$ et de puissance $\mu$ est l'application qui, au point $M(z) (z \neq \omega)$, lui associe le point $M'(z')$ tel que $\displaystyle z'= \omega+\frac{\mu} {\overline{z-\omega}}$. \textbf{Inversion de puissance 1.} En notant $\displaystyle I_A^\mu$ l'inversion de centre $A$ et de puissance $\mu$, $\hbox{hom}(B,k)$ l'homothétie de centre $B$ et de rapport $k$ et $\hbox{T}_{\vect{u}}$ la translation de vecteur $\vect{u}$, on vérifie~: \begin{enumerate} \item $\displaystyle I_{\Omega}^\mu = \hbox{hom}({\Omega},\mu)\circ I_{\Omega}^1$ {(ie: l'inversion de puissance $\mu$ est la composée de l'inversion de puissance 1 et d'une homothétie de rapport $\mu$)}. \item $\displaystyle I_{\Omega}^\mu = \hbox{T}_{\vect{O{\Omega}}} \circ I_O^\mu\circ\hbox{T}_{\vect{{\Omega}O}}$ ({ie: l'inversion de centre ${\Omega}$ se déduit de l'inversion de centre $O$ en composant à droite et à gauche par une translation et son inverse}). \end{enumerate} Dans la suite on se limite à l'étude des propriétés de l'inversion de centre $O$ (origine du plan complexe) et de puissance 1 (l'{\bf inversion}, notée $I$), celle des autres inversions s'en déduit à l'aide des relations précédentes. Si $M'=I(M)$ on dit que $M'$ est le point {\bf inverse} de $M$ par rapport à $O$; $M$, $M'$ et $O$ sont alignés, ils vérifient~: $$\overline{OM}\times \overline{OM'}=1.$$ \textbf{Propriétés} \begin{enumerate} \item $I$ est une involution de $\mathcal{E}_2\setminus\{ O\}$ (ie~: $I\circ I=Id$). \item Si $M'$ est le point inverse de $M$ alors $M$ est le point inverse de $M'$. \item Si $A$ et $B$ sont deux points distincts de $O$ et $A'=I(A)$, $B'=I(B)$ alors~: $$A,B,A',B' \hbox{sont cocycliques ou alignés avec $O$ et } A'B'=\frac{AB}{OA\times OB}$$ \end{enumerate} \begin{center} \figTR{inversion.1}\\[0.1cm] \textbf{fig. 1 --} Inversion et points cocycliques \end{center} \textbf{Cercle d'inversion.} L'ensemble des points invariants dans l'inversion de centre $O$ et de puissance 1 est le cercle de centre $O$ et de rayon 1, c'est le {\bf cercle d'inversion}. Si un point est extérieur au cercle d'inversion, son inverse est intérieur et réciproquement. \textbf{Inversion et tangentes.} Si une courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente en un point $M$, sa courbe inverse admet une tangente au point $M'$ inverse de $M$ et ces deux tangentes sont symétriques par rapport à la médiatrice de $[MM']$. \begin{center} \figTR{inversion.2}\\[0.1cm] \textbf{fig. 2 --} Tangentes et courbes inverses \end{center} \textbf{Transformation des cercles et droites.} On vérifie les propositions suivantes~: \begin{enumerate} \item Une droite passant par $O$ et privée de $O$ est globalement invariante. \item L'image d'une droite ne passant pas par $O$ est incluse dans un cercle passant par~$O$ \item L'image d'un cercle passant par $O$ et privé de $O$ est incluse dans une droite ne passant pas par~$O$. \item L'image d'un cercle ne passant pas par $O$ est incluse dans un cercle ne passant pas par~$O$. \end{enumerate} Compte tenu du fait que l'inversion est une involution, on énonce~: \begin{theoreme} L'inversion transforme une droite ne passant pas par $O$ en un cercle passant par $O$ privé de $O$ et réciproquement. \end{theoreme} \begin{theoreme} L'inversion transforme un cercle ne passant pas par $O$ en un cercle ne passant pas par~$O$. \end{theoreme} \begin{center} \figTR{inversion.3}\\[0.1cm] \textbf{fig. 3 --} Dans chaque cas le cercle d'inversion est en gras. a) cercle et droite inverse l'un de l'autre. b) cercles inverses. c) droite globalement invariante. \end{center} \textbf{Constructions à la règle et au compas.} En fixant le cercle d'inversion, construire~: \begin{enumerate} \item L'inverse d'un point. \item L'inverse d'une droite qui ne rencontre pas le cercle d'inversion. \item L'inverse d'un cercle qui ne rencontre pas le cercle d'inversion. \end{enumerate} \textbf{Exercices }\hrulefill \subsubexo{}{} {Un cercle qui contient un point et son inverse est globalement invariant.} {} \subsubexo{}{} {Le centre d'inversion est un centre d'homothétie pour deux cercles inverses l'un de l'autre.} {} \subsubexo{}{ Théorème de Ptolémée.} {Pour qu'un quadrilatère soit inscriptible dans un cercle il faut et il suffit que le produit de ses diagonales soit égal à la somme des produits de ses côtés opposés.} {} \subsubexo{}{} {Construire les cercles passant par deux points donnés $A$ et $B$ et tangents à un cercle donné~$\mathcal{C}$. } {} \subsubexo{}{} {Construire les cercles passant par un point donné $A$ et tangents à deux cercles donnés $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.} {} \subsubexo{}{} {Construire les cercles tangents à trois cercles donnés $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$,~$\mathcal{E}$.} {} \subsubexo{}{} {Déterminer le lieu des centres d'inversion $O$ transformant dans le plan trois points $A,B,C$ en trois points $A',B',C'$ tels que le triangle $A'B'C'$ soit rectangle en $A'$ ou isocèle de sommet~$A'$.} {} \end{document}
— Syracuse — Dernière modification : 15 juillet 2002 (0.07s - 3629848 - 12 octobre 2008)
