Source de scal

$Fichier TeX$
\exo {Angle de vecteurs}

Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé 
$(O, \vec \imath, \vec \jmath\/)$, on considère les vecteurs 
$$
   \vec u {1 \choose 3}
      \qquad
   \vec v {-2 \choose 2}
$$

%%\itemitemalph Faire une figure.

\itemitemalph Calculer $\vec u \cdot \vec v$.

\itemitemalph Calculer $\Vert \vec u\Vert$ et $\Vert \vec v\Vert$.

\itemitemalph En déduire la valeur exacte de $\cos \widehat{(\vec u, \vec v)}$, 
puis une valeur approchée, en radian ou en degré, et à $10^{-2}$ près, de chacune des deux 
valeurs possibles pour $\widehat{(\vec u, \vec v)}$.

\finexo

\corrige{}

\advance \alphno by 1

\itemalph On a
$$
   {1 \choose 3} \cdot {-2 \choose 2}
      = 1 \times (-2) + 3 \times 2
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{\vec u \cdot \vec v = 4}
$$

\itemalph On a $\Vert \vec u\Vert = \sqrt {1^2 + 3^2}$, soit
      \dresultat {\Vert \vec u\Vert = \sqrt {10}} et $\Vert \vec
      v\Vert = \sqrt {(-2)^2 + 2^2}$, soit \dresultat {\Vert \vec
      v\Vert = 2 \sqrt 2}.

\itemalph Comme $\vec u \cdot \vec v = \Vert \vec u\Vert \times \Vert
      \vec u\Vert \times \cos \left( \vec u, \vec v\right) $, il vient
$$
   \cos \left( \vec u, \vec v\right) = {\vec u \cdot \vec v \over
   \Vert \vec u\Vert \times \Vert \vec u\Vert }
   = {4 \over \sqrt {10} \times 2 \sqrt 2} = \dresultat {{1 \over
   \sqrt 5}}
$$
Et on sait que l'on a, à $2k\pi $ près,  $(\vec u, \vec v) = \pm
\arccos (1 / \sqrt 5)$. \`A la calculatrice, on trouve que cet angle
fait à peu près \dresultat {(\vec u, \vec v) \approx \pm 1, 11 \rd } (soit
environ $\pm 1, 11 \times {180 \over \pi } \approx \pm 63, 6$ degrés).


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 19 janvier 2005 (0.08s - 3823839 - 3 décembre 2008)