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\paragraphe {Calcul de racines carrées dans $\cset $}

L'ensemble des nombres complexes possède une propriété remarquable~:
toute équation polynômiale de degré $n$ y possède exactement $n$
racines (en comptant les ordres de multiplicité). En particulier, si
$a$ est un nombre complexe quelconque, l'équation
$$
   Z^2 - a = 0
$$
possède deux solutions complexes $z_1$ et $z_2$. On aura donc $z_1^2 =
z_2^2 = a$, et $z_1$ et $z_2$ seront appelées les {\sl racines
carrées\/ } du nombre complexe $a$.

{\bf Résolution pratique}

Par exemple, cherchons les deux racines carrées de $3+4i$. On pose $z
= a+bi$ l'inconnue solution de l'équation $Z^2 = 3+4i$. Il vient~:
$$
   (a+ib)^2 = 3+4i 
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   a^2 - b^2 + 2iab = 3+4i
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      a^2 - b^2 = 3
   \cr
      2ab = 4
   \cr }
$$
D'autre part, comme $|z|^2=|3+4i|$, on a également $a^2 + b^2 = \sqrt {3^2
+ 4^2} = 5$. Finalement, nous avons donc à résoudre le système
$$
   \cases {
      a^2 - b^2 = 3
   \cr
      a^2 + b^2 = 5
   \cr
      2ab = 4
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      2a^2 = 8
   \cr
      2b^2 = 2
   \cr
      2ab = 4
   \cr }
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases {
      a^2 = 4
   \cr
      b^2 = 1
   \cr
      2ab = 4
   \cr }
$$
En remarquant que $a$ et $b$ sont de même signe puisque le produit $ab$
est positif, on en déduit que les deux racines carrées de $3+4i$ sont
$z_1 = 2+i$ et $z_2 = -2-i$.
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.09s - 3819138 - 1 décembre 2008)