\exo {\' Equation dans $\cset [X]$ et triangle} On donne le polynôme de la variable complexe $z$~: $$ P (z) = z^3 - (7+3i) z^2 + (16 + 15i) z + 2 - 36i $$ où $i$ désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi /2$. \itemitemalphnum Calculer $P (2i)$. \itemitemalph En déduire une factorisation de $P (z)$ en admettant que, dans $\cset $ comme dans $\rset $, si un polynôme s'annule pour $z=a$, alors il peut s'écrire sous la forme $(z-a) Q (z)$ où $Q (z)$ est un polynôme. \itemnum Résoudre dans $\cset $ l'équation $P (z) = 0$. \itemitemalphnum Placer dans le plan complexe les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $$ z_1 = 2i, \qquad z_2 = 3-2i, \qquad {\rm et} \qquad z_3 = 4 + 3i. $$ \itemitemalph Calculer la valeur exacte de la longueur de chaque côté du triangle $ABC$. \finexo