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\exo {\' Equation dans $\cset [X]$ et triangle}
On donne le polynôme de la variable complexe $z$~:
$$
P (z) = z^3 - (7+3i) z^2 + (16 + 15i) z + 2 - 36i
$$
où $i$ désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi /2$.
\itemitemalphnum Calculer $P (2i)$.
\itemitemalph En déduire une factorisation de $P (z)$ en admettant que,
dans $\cset $ comme dans $\rset $, si un polynôme s'annule pour $z=a$,
alors il peut s'écrire sous la forme $(z-a) Q (z)$ où $Q (z)$ est un
polynôme.
\itemnum Résoudre dans $\cset $ l'équation $P (z) = 0$.
\itemitemalphnum Placer dans le plan complexe les points $A$, $B$ et $C$
d'affixes respectives
$$
z_1 = 2i,
\qquad
z_2 = 3-2i,
\qquad {\rm et} \qquad
z_3 = 4 + 3i.
$$
\itemitemalph Calculer la valeur exacte de la longueur de chaque côté
du triangle $ABC$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3819195 - 1 décembre 2008)
