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$Fichier TeX$

\exo {\` Equation du second degré à coefficients dans $\rset $}

\itemnum Résoudre dans $\cset $ l'équation
$$
   z^2 - 2\sqrt 2 z + 4  = 0.
$$

\itemnum Déterminer le module et un argument de chacune des solutions.

\finexo

\corrige

\itemnum 
On utilise la méthode du discriminant. Il vient $\Delta = 8 - 16 = -8$
d'où les deux racines complexes conjuguées
$$
   z_1 = {2\sqrt 2 -2i\sqrt 2\over 2} \quad {\rm soit} \quad
      \dresultat {z_1 = \sqrt 2 -i\sqrt 2}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {z_2 = \sqrt 2 +i\sqrt 2}.
$$

\itemnum On trouve comme module commun \dresultat {|z_1| = |z_2| = 2},
      d'où la détermination des arguments~:
$$
   \cases {
      \cos \theta _1 = \sqrt 2 / 2
   \cr
      \sin \theta _1 = -\sqrt 2 / 2
   \cr }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \dresultat {\theta _1 = -{\pi \over 4}}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {\theta _2 = -{\pi \over 4}}
      \quad \hbox {puisque $z_2 = \overline {z_1}$}.
$$
Finalement, on a donc 
$$
   \dresultat {z_1 = 2e^{-i\pi /4}}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat {z_2 = 2e^{i\pi /4}}
$$

\fincorrige

— Syracuse — Dernière modification : 29 septembre 2002 (0.09s - 3819458 - 2 décembre 2008)