Source de euler

$Fichier TeX$
\exo {\' Equation trigonométrique et linéarisation}

Le but de cet exercice est la résolution dans l'intervalle $[0, 2\pi
[$ de l''équation
$$
   2 \sin x - \sin 3x = 0.
$$

\itemnum Soit $x$ un nombre réel~:

\itemitemalph Développer $(e^{ix} - e^{-ix})^3$ et montrer que
$$
   (e^{ix} - e^{-ix})^3 = (e^{3ix} - e^{-3ix}) - 3(e^{ix} - e^{-ix}).
$$

\itemitemalph Transformer l'égalité précédente à l'aide des formules
d'Euler, et en déduire que~:
$$
   4 \sin ^3 x - \sin x = 2 \sin x - \sin 3x.
$$

\itemnum Résoudre dans l'intervalle $[0, 2\pi [$ les équations
suivantes~:
$$
\alph \ \sin x = 0, \phantom {{1\over 2}}
   \qquad  \qquad
\alph \ \sin x = {1\over 2},
   \qquad  \qquad
\alph \ \sin x = -{1\over 2}.
$$

\itemnum En déduire les solutions appartenant à l'intervalle $[0, 2\pi
[$ de l'équation
$$
   2 \sin x - \sin 3x = 0.
$$

\finexo

\corrige {}

\itemalphnum On utilise la formule $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3 ab^2 +
b^3$ . En prenant $a = e^{ix}$ et $b = - e^{-ix}$, il vient
$$\eqalign{
   (e^{ix} - e^{-ix})^3
      &= e^{3ix} - 3 e^{2ix}e^{-ix} + 3 e^{ix}e^{-2ix} - e^{-3ix} \cr
      &= e^{3ix} - 3 e^{2ix-ix} + 3 e^{ix-2ix} - e^{-3ix} \cr 
      &= e^{3ix} - 3 e^{ix} + 3 e^{-ix} - e^{-3ix} \cr
      &= (e^{3ix} - e^{-3ix}) - 3( e^{ix} - e^{-ix}) \cr
}$$

\itemalph En utilisant la relation d'Euler~: $2i \sin \theta =
   e^{i\theta} - e^{-i \theta}$, cette dernière égalité s'écrit
$$\displaylines{
   (2i \sin x)^3 = 2i \sin (3x) - 3 \times 2i \sin x
      \qquad {\rm soit} \qquad
   -8i \sin^3 x = 2i \sin (3x) - 6i \sin x
\cr
      \qquad {\rm soit\ encore} \qquad
   \dresultat{4 \sin^3 x = -\sin (3x) + 3 \sin x}, 
   \hbox {d'où l'égalité demandée.}
\cr
}$$


\itemnum En regardant sur le cercle trigonométrique, on trouve facilement les solutions sur $[0, 2\pi[$ de ces trois équations~:
\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/algebre/complex/}
\epsfxsize 30mm
$$
\vcenter {%
   \hbox {\alph \ \tresultat {2 solutions~: $0$ et $\pi $}}
   \bigskip
   \hbox {\alph \ \tresultat {2 solutions~: $\pi /6$ et $5\pi /6$}}
   \bigskip
   \hbox {\alph \ \tresultat {2 solutions~: $7\pi /6$ et $11\pi /6$}}
}
      \qquad \qquad
   \vcenter {\superboxepsillustrate {euler_003.ps}}
$$

\itemnum Finalement, on a
$$\displaylines{
   (E)~: \quad2 \sin x - \sin (3x) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   4 \sin^3 x - \sin x = 0
\cr
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \sin x \left( 4\sin^2 x - 1 \right) = 0
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \sin x (2 \sin x - 1) (2 \sin x + 1) = 0
\cr
}$$
Donc $x$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si
$$
   \sin x = 0
      \qquad {\rm ou} \qquad
   \sin x = {1\over2}
      \qquad {\rm ou} \qquad
   \sin x = -{1\over2}.
$$
En vertu des questions précédentes, les solutions dans $[0, 2\pi[$
sont donc \dresultat{0, {\pi \over6}, {5\pi \over6}, {7\pi \over6},
{11\pi \over6}, \pi }.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.07s - 3819103 - 1 décembre 2008)