Source de euler

$Fichier TeX$
\exo {Linéarisation, formules d'Euler}

On considère l'expression $E (x)$ définie par
$$
   E (x) = \cos (x) \times \sin (2x) \times \cos (3x).
$$

\itemnum En utilisant les formules d'Euler, montrer que l'expression
$E (x)$ peut s'écrire
$$
   E (x) = {1\over 8i} \left( 
      e^{6ix} - e^{-6ix} + e^{4ix} - e^{-4ix} - \left( e^{2ix} - e^{-2ix}\right) 
   \right)
$$

\itemnum En déduire une écriture de $E (x)$ sous la forme d'une somme
      de fonctions trigonométriques.

\finexo

\corrige {}

\itemnum Il vient
$$\eqalign {
   \cos (x) \times \sin (2x) \times \cos (3x)
   &= {1\over 2} \left( e^{ix} + e^{-ix}\right)  \times {1\over 2i} \left( e^{2ix} -
   e^{-2ix}\right)  \times {1\over 2} \left( e^{3ix} + e^{-3ix}\right) 
\cr
   &= {1\over 8i} \left( e^{3ix} - e^{-ix} + e^{ix} - e^{-3ix}\right)  \left( e^{3ix} +
   e^{-3ix}\right) 
\cr
   &= {1\over 8i} \left( 
      e^{6ix} + e^0 - e^{2ix} - e^{-4ix}  + e^{4ix}   + e^{-2ix} -e^0 - e^{-6ix}
       \right)
\cr
   &= {1\over 8i} \left( 
      e^{6ix} - e^{-6ix} + e^{4ix} - e^{-4ix} - \left( e^{2ix} - e^{-2ix}\right) 
   \right)
}$$

\itemnum D'où 
$$
   \cos (x) \times \sin (2x) \times \cos (3x)
   = {1\over 8i} \left( 
      2i \sin (6x) + 2i \sin (4x) - 2i\sin (2x)
   \right)
$$
soit encore
$$\dresultat {
   \cos (x) \times \sin (2x) \times \cos (3x)
   = {1\over 4} \left( 
      \sin (6x) + \sin (4x) - \sin (2x)
   \right)
}$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3819396 - 2 décembre 2008)