Source de appl

$Fichier TeX$
\exo{Application de $\rset^3$ vers $\rset^2$ --- Recherche du noyau}

On note $(\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ et $(\vec \ell_1, \vec
\ell_2)$ les bases canoniques respectives de $\rset^3$ et $\rset^2$.
On note $f$ l'application de $\rset^3$ vers $\rset^2$ définie par
$$
   f (x, y, z) = (2y, 2z)
$$

\itemnum Démontrer que $f$ est une application linéaire.

\itemnum Déterminer la matrice associée à $f$ relativement aux bases
canoniques de $\rset^3$ et de $\rset^2$.

\itemnum Déterminer l'ensemble des vecteurs de $\rset^3$ dont l'image
par $f$ est le vecteur nul de $\rset^2$.

\finexo

\corrige{}

\itemnum Il suffit de vérifier les deux propriétés caractéristiques~:

\item{} $\bullet$ Soit $\lambda$ un réel quelconque, et $(x, y, z)$ un
triplet de $\rset^3$. On a
$$
   \lambda f (x, y, z) = \lambda (2y, 2z) = (2\lambda y, 2\lambda z),
      \qquad {\rm et} \qquad
    f (\lambda x, \lambda y, \lambda z) = (2\lambda y, 2\lambda z).
$$
d'où l'égalité \mresultat{\lambda f (x, y, z) = f (\lambda x, \lambda
y, \lambda z)} pour tout réel $\lambda$ et tout triplet $(x, y, z) \in
\rset^3$. 

\item{} $\bullet$ Soit $(x, y, z)$ et $(x', y', z')$ deux triplets
quelconques de $\rset^3$. On a
$$\displaylines{
   f (x, y, z) + f (x', y', z') = (2y, 2z) + (2y', 2z') = (2y + 2y',
   2z+2z')
\cr
      {\rm et} \quad
   f (x+x', y+y', z+z') = \big( 2(y+y', 2 (z+z'))\big).
\cr
}$$
On a donc bien l'égalité \mresultat{f (x, y, z) + f (x', y', z') = f
(x+x', y+y', z+z')} pour tout triplets $(x, y, z)$ et $(x', y', z')$ de
$\rset^3$.

\item{} Finalement, l'application \tresultat{$f$ est linéaire de
$\rset^3$ vers $\rset^2$}.

\itemnum La matrice associée est 
$$
   \dresultat{{\rm Mat} (f) = \pmatrix{
      0& 2& 0
   \cr 
      0& 0& 2
   \cr}}
$$

\itemnum On a
$$
   f (x, y, z) = (0, 0)
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   (2y, 2z) = (0, 0)
      \quad \Longleftrightarrow \quad
   \cases{
      y = 0 \cr
      z = 0 \cr}
$$
Le {\sl noyau de $f$}, c'est à dire l'ensemble des vecteurs de
$\rset^3$ dont l'image par $f$ est le vecteur nul de $\rset^2$, est
constitué de tous \tresultat{les vecteurs de $\rset^3$  de la forme
$(x, 0, 0)$} où $x\in\rset$. Géométriquement, cet ensemble est un {\sl
espace vectoriel de dimension~1}, représenté par l'axe des $x$ dans
l'espace euclidien à 3~dimensions.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3819442 - 2 décembre 2008)