Source de calc_006.tex
\exo{Puissances de matrices}
Soient les matrices
$$
M = \pmatrix{
0& 1& -1
\cr
-3& 4& -3
\cr
-1& 1& 0
\cr}
\qquad {\rm et} \qquad
I = \pmatrix{
1& 0& 0
\cr
0& 1& 0
\cr
0& 0& 1
\cr}
$$
\itemnum Calculer $M^2$ et $M^3$.
\itemnum Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que
$$
M^2 = aM + bI.
$$
\itemnum Exprimer alors $M^3$ en fonction de $M$ et de $I$, puis
écrire $M^3$ sous forme de matrice à 3~lignes et 3~colonnes. Comparer
avec le résultat obtenu à la première question.
\itemitemalphnum Déduire de l'égalité trouvée à la deuxième question
que l'on peut écrire
$$
I = {1\over2} M \times (3I - M).
$$
\itemitemalph En déduire une matrice $P$ telle que $M \times P = I$.
\itemitemalph \'Ecrire $P$ sous forme de matrice à 3~lignes et 3~colonnes.
\itemitemalph Calculer $P \times M$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.09s - 3819321 - 2 décembre 2008)
