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\paragraphe{Applications linéaires}

\sparagraphe{Application linéaire de $\rset$ dans $\rset$}

On rappelle que si $a$ est un nombre réel, la fonction $f$ définie sur
$\rset$ par $f (x) = ax$ est appelée {\sl application linéaire}. Sa
représentation graphique est une droite passant par l'origine du
repère. Une telle fonction vérifie en particulier les propriétés
suivantes~: 

\item{$\bullet$} Quels que soit les nombres réels $x_1$ et $x_2$, on a
$$
   f (x_1 + x_2) = f (x_1) + f (x_2)
$$

\item{$\bullet$} Quels que soit les nombres réels $\lambda$ et $x$, on a
$$
   f (\lambda x) = \lambda f (x)
$$

\remarque
   En fait, les seules applications linéaires de $\rset$ dans $\rset$
   sont les fonctions ayant une définition du type $f (x) = ax$ pour
   un certain réel $a$. 
\finremarque

\sparagraphe{Application linéaire de $\rset^p$ dans $\rset^n$}

\assert Définition .

Une application $f$ de $\rset^p$ dans $\rset^n$ est dite {\sl
linéaire\/} si elle vérifie les propriétés suivantes~:

\itemitem{$\bullet$}  Quels que soit les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$
de $\rset^p$, on a
$$
   f (\vec u + \vec v) = f (\vec u) + f (\vec v)
$$

\itemitem{$\bullet$} Quels que soit le nombre réel $\lambda$ et le
vecteur $\vec u \in \rset^p$, on a
$$
   f (\lambda \vec u) = \lambda f (\vec u)
$$

\endassert

\assert Théorème .

Une application $f$ de $\rset^p$ dans $\rset^n$ est linéaire si et
seulement si, quels que soit les réels $\lambda$ et $\mu$, et quels
que soit les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de $\rset^p$, on a
$$
   f (\lambda \vec u + \mu v) = \lambda f (\vec u) + \mu f (\vec v)
$$

\endassert

\sparagraphe{Caractérisation}

Soit $(\vec e_1, \vec e_2, \ldots, \vec e_p)$ la base canonique de
$\rset^p$, et $f$ une application linéaire de $\rset^p$ vers
$\rset^n$. Alors l'application $f$ est entièrement déterminée par les
images $f (\vec e_1)$, $f (\vec e_2)$, \dots, $f (\vec e_p)$ des
vecteurs $(\vec e_1, \vec e_2, \ldots, \vec e_p)$.

En d'autres termes, si $g$ est une application linéaire de $\rset^p$
vers $\rset^n$, telle que
$$
   g (e_i) = f (e_i)
      \qquad \hbox{pour tout entier $i$, $1 \leq i \leq p$}
      \qquad \qquad {\rm alors} \qquad
   f = g.
$$
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.07s - 3819325 - 2 décembre 2008)