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\exo{Application linéaire de $\rset^3$ vers $\rset^3$}
L'espace vectoriel $\rset^3$ est muni de sa base canonique $B = (\vec
\imath, \vec \jmath, \vec k)$.
On considère l'application linéaire $f$ de $\rset^3$ vers $\rset^3$
définie par
$$
f (\vec \imath) = 2 \vec \imath + \vec \jmath,
\qquad
f (\vec \jmath) = - \vec \imath + 3 \vec \jmath + \vec k,
\qquad
f (\vec k) = \vec \jmath - \vec k.
$$
\itemnum Déterminer la matrice $M$ de $f$ relativement à la base
canonique de $\rset^3$.
\itemnum Soit $\vec u = x \vec \imath + y \vec \jmath + z \vec k$ un
vecteur quelconque de $\rset^3$ et $\vec u' = f (\vec u)$ son image par
$f$.
\itemitemalph Exprimer le vecteur $\vec u'$ en fonction des vecteurs
$f (\vec \imath)$, $f (\vec \jmath)$ et $f (\vec k)$.
\itemitemalph En déduire les coordonnées $x'$, $y'$ et $z'$ du vecteur
$\vec u'$ dans la base $B$, en fonction de $x$, $y$ et $z$.
\itemnum On note $U$ et $U'$ les matrices colonnes formées des
coordonnées de $\vec u$ et $\vec u'$ respectivement.
\itemitemalph Calculer le produit matriciel $M \times U$
\itemitemalph En déduire une écriture matricielle du système
d'équations linéaires donnant les coordonnées de $\vec u'$ en fonction
des coordonnées de $\vec u$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3777489 - 20 novembre 2008)
