Source de matr

$Fichier TeX$
\exo{Produit de matrices}

On considère les matrices suivantes~:
$$
   M = \pmatrix{
      1& -1& 2
   \cr
      2& a& 1
   \cr
      3& -a& 8
   \cr},
      \qquad \qquad
   A = \pmatrix{
      -9& 9& -18
   \cr
      1& -1& 2
   \cr
      5& -5& 10
   \cr}
      \qquad {\rm et} \qquad
   O = \pmatrix{
      0& 0& 0
   \cr
      0& 0& 0
   \cr
      0& 0& 0
   \cr}
$$
où $a$ est un nombre réel quelconque.

\itemnum Calculer le produit $M \times A$. En déduire le nombre réel
$a$ pour lequel on a $M \times A = O$.

\itemnum Calculer le produit $A \times M$ pour la valeur de $a$
obtenue. 

\finexo

\corrige{}

\num\ On trouve 
$$\dresultat{
   M \times A = \pmatrix{
      0& 0& 0
   \cr
      -13 + a& 13 - a& -26 + 2a
   \cr
      13 - a& -13 + a& 26 - 2a
   \cr}.
}$$
L'égalité $M \times A = O$ conduit alors à un système de
$9$~équations, équivalent au système 
$$
   \cases{
      -13 + a = 0
   \cr
       13 - a = 0
   \cr
       -26 + 2a = 0
   \cr}
      \qquad
   \hbox{\rm D'où la seule valeur de $a$ possible~:}
      \quad
   \mresultat{a = 13}.
$$

Et le produit $A \times M$ donne alors
$$\dresultat{
   A \times M = \pmatrix{
      -45& 360& -153
   \cr
      5& -40& 17
   \cr
      25& -200& 85
   \cr}
}$$

On a donc trouvé un exemple où $M \times A = 0$ et $A \times M \neq
0$, ce qui serait inimaginable si $A$ et $M$ étaient des nombres réels
ou complexes.

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.09s - 3819397 - 2 décembre 2008)