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$Fichier TeX$
\exo {Loi normale, loi binômiale, approximation par une loi de Poisson}

Une machine fabrique des cylindres en bois.

\itemnum On admet que la variable aléatoire $X$ qui, à toute pièce
choisie au hasard dans la production d'une journée, associe sa
longueur suit la loi normale de moyenne $m=100\cm $ et d'écart type
$\sigma = 0, 16\cm $.

\itemitemalph Déterminer la probabilité que $X$ appartienne à
l'intervalle $[99, 7\, ; 100, 3]$. (On donnera la réponse au centième
près.)

\itemitemalph Déterminer, au centième près, la probabilité que $X$
n'appartienne pas à l'intervalle $[99, 7\, ; 100, 3]$.

\itemitemalph Déterminer le réel positif $a$ tel que la probabilité
que $X$ appartienne à l'intervalle $[100 - a, 100+a]$ soit égale à $0,
8$.

\itemnum On considère désormais que la probabilité qu'un cylindre
choisi au hasard dans la production soit défectueux est $0, 06$.

\item {} On prélève au hasard un échantillon de $50$~cylindres. La
production est suffisamment importante pour qu'on puisse assimiler ce
prélèvement à un tirage avec remise de $50$~cylindres. Soit $Y$ la
variable aléatoire qui associe à tout échantillon de $50$~cylindres le
nombre de cylindres défectueux de cet échantillon.

\itemitemalph Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binômiale. On
donnera les paramètres de cette loi.

\itemitemalph Déterminer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la
probabilité qu'un échantillon de $50$~cylindres ne contienne aucun
cylindre défectueux.

\itemitemalph On approche la loi binômiale du {\sl a\/}) par une loi
de Poisson. Préciser le paramètre de cette loi. En utilisant cette loi
de Poisson, déterminer une valeur approchée à $10^{-4}$ près de
l'événement du {\sl b\/}).

\finexo

\corrige {}

\itemnum La variable $X$ suit la loi normale ${\cal N} (100\, ; 0,
16)$, donc la variable $T = (X-100)/0, 16$ suit la loi normale centrée
   réduite ${\cal N} (0, 1).$

\itemalph On a
$$\eqalign {
   p (99, 7 \leq X \leq 100, 3) &= 
      p \left( {99, 7 - 100\over 0, 16}\leq {X-100\over 0, 16} \leq
{100, 3 - 100\over 0, 16} \right)
\cr
  &= p (1, 875 \leq T \leq -1, 875)
\cr
  &= \Pi (1, 875) - \Pi (-1, 875) = 2 \Pi (1, 875) - 1
\cr
  & \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (99, 7 \leq X \leq 100, 3)
\approx 0, 939}
}$$

\itemalph On a l'événement contraire du précédent, d'où $p = 1 - 0,
939$, soit \dresultat {p  = 0, 061}

\itemalph Il vient
$$\eqalign {
   p (100 - a \leq X \leq 100 + a) 
   &= p \left( {100 - a - 100\over 0, 16}\leq {X-100\over 0, 16} \leq
{100 + a - 100\over 0, 16} \right)
\cr
  &= p \left( -{a\over 0, 16} \leq T \leq {a\over 0, 16} \right)
\cr
  &= 2 \Pi \left( {a\over 0, 16} \right) - 1 = 0, 8
 \qquad {\rm soit} \qquad \Pi \left( {a\over 0, 16}
\right) = {1, 8\over 2} = 0, 9
}$$
Dans la table, on lit $a/0, 16 \approx 1, 29$, d'où $a \approx  1, 29 \times
0, 16$, soit \dresultat {a \approx  0, 206}.

\itemalphnum Considérons l'épreuve qui consiste à choisir au hasard un
cylindre dans la production. Cette épreuve a {\bf deux issues possibles}~:
cylindre défectueux (probabilité de $0, 06$) ou non.
Le prélèvement d'un échantillon revient à effectuer 50 fois de suite,
et {\bf de manière indépendante}, cette épreuve. La variable $Y$
comptant le nombre de fois où le cylindre pioché a été
défectueux. Alors $Y$ suit \tresultat {la loi binomiale ${\cal B}
(50\, ; 0, 06)$}.

\itemalph On a 
$$
   p (Y = 0) = C_{50}^0 \times (0, 06)^0 \times (0, 94)^{50} = (0, 94)^{50} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (Y = 0) \approx 0, 045\, 3}
$$

\itemalph Lorsque l'on approxime une loi binomiale par une loi de
      Poisson, on prend une loi de même espérance. L'espérance de la
      loi binomiale étant $np = 50\times 0, 06$, le paramètre de la
      loi de Poisson est \dresultat {\lambda = 3}. Avec cette
      approximation, on trouve
$$
   p (Y = 0) = {e^{-3} \times 3^0\over 0!} = e^{-3} 
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (Y = 0) \approx 0, 049\, 8}
$$
(on ne peut lire directement dans le formulaire puisque celui-ci n'est
qu'à $10^{-3}$ près). 

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 11 janvier 2005 (0.09s - 3819412 - 2 décembre 2008)