Source de cour

$Fichier TeX$
\paragraphe{Fonction exponentielle}

\everymath = {\displaystyle }

Vous savez déjà que la fonction exponentielle $f : t \mapsto e^t$ est
dérivable, en particulier en $t = 0$, et que $f' (0) = 1$. En
utilisant la définition du nombre dérivé, cela peut s'écrire
$$
   \hbox{au voisinage de $t=0$, on a }
      \qquad
   \dresultat {e^t = 1 + t + t \varepsilon (t)
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0}.
$$
(En fait, on a, au voisinage de $t=0$, $f (t) = f (0) + t f' (0) + t
\varepsilon (t)$ avec $\lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0$.)

Ainsi, au voisinage de 0, $e^t$ s'écrit comme la somme du polynôme
$1+t$ de degré 1 et du terme complémentaire $t \varepsilon (t)$ où
$\lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0$.

\def \epspath{%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/dvlpt-lim/}
$$
   \epsillustrate {cour_001a.ps}
$$

{\bf Remarques~:}

\item{$\bullet$} Pour $t$ voisin de 0, le polynôme $1+t$ fournit une valeur
approchée de $e^t$.

\item{$\bullet$} le polynôme $1+t$ donne une équation de la tangente à la
courbe représentative de la fonction exponentielle en son point
d'abscisse 0.

\item{$\bullet$} Cette écriture permet aussi de déterminer $\lim_{t \to 0}
{e^t - 1 \over t}$, puisque l'on a, pour tout $t \neq 0$,
$$
   {e^t - 1 \over t} = 1 + \varepsilon (t)
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0.
$$

Le résultat ci-dessus se généralise, et on montre (cf par exemple le
livre {\sl Analyse, Algèbre linéaire, Nombres complexes} de Bernard
Verlant aux éditions Foucher, 1997, pages 147--149) que l'on a, pour
tout réel $t \in [-1, 1]$ et pour tout entier positif $n \in \nset$~:
$$\dresultat{
   e^t 
   = \sum _{i = 0}^{n} {t^i \over i!} + t^n \varepsilon (t)  
   = 1 + {t \over 1!} + {t^2 \over 2!} + \cdots + {t^n \over n!} +
   t^n \varepsilon (t)
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim_{t \to 0} \varepsilon (t) = 0.
}$$
Cette écriture s'appelle le {\sl développement limité d'ordre $n$ de
la fonction exponentielle au voisinage de $0$}.

Les développements limités successifs en $x = 0$ pour la fonction
exponentielle nous donnent ainsi des polynômes de degrés de plus en
plus élevés approximant la fonction exponentielle au voisinage de $0$~:
$$
\vcenter {\hsize .3 \hsize 
   \epsillustrate {cour_001b.ps}}
   \qquad
\vcenter {\hsize .2 \hsize $
   \eqalign {
      P_1 (x) &= 1 + x
   \cr
      P_2 (x) &= 1 + x + {x^2 \over 2}
   \cr   
      P_3 (x) &= 1 + x + {x^2 \over 2} + {x^3 \over 6} 
   \cr   
   }$}
$$
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.09s - 3819254 - 1 décembre 2008)