Source de etud_001.tex
\exo{Développement limité et étude locale de fonction}
Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\rset$ par
$$
f (x) = e^{2x} (1-x) + 1.
$$
On désigne par $C_f$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni
du repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec \jmath\,)$ (unité
graphique 2~cm). La courbe $C_f$ est donnée ci-dessous~:
%
\def \epspath{%
/home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/dvlpt-lim/}
\epsfxsize = 80mm
$$
\superboxepsillustrate{etud_001.ps}
$$
\itemitemalphnum Démontrer que le développement limité d'ordre 3 de
$f$ au voisinage de 0 est~:
$$
f (x) = 2 + x - {2\over3} x^3 + x^3 \varepsilon (x)
\qquad {\rm avec} \qquad
\lim_{t \to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$
\itemitemalph En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe
$C_f$ au point d'abscisse 0.
\itemitemalph \'Etudier la position de $T$ par rapport à $C_f$ au
voisinage de ce point.
\itemitemalphnum Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la
valeur exacte de l'intégrale
$$
I = \int_0^{1/2} e^{2x} (1-x) \, dx.
$$
\itemitemalph Déduire de la question précédente la valeur exacte de
l'intégrale
$$
J = \int_0^{1/2} f (x) \, dx.
$$
\itemitemalph Calculer la valeur exacte de l'intégrale
$$
K = \int_0^{1/2} \left( 2 + x - {2\over3} x^3\right)\, dx.
$$
\itemitemalph Vérifier que $0 < K - J < 6.10^{-3}$.
\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3824024 - 3 décembre 2008)
