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\exo{\'Equation différentielle du premier ordre à coefficients non constants}

On considère l'équation différentielle
$$
   xy' - y = -x^2 e^{-x}
\leqno
   (E)
$$
où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur
$]0, +\infty[$, et où $y'$ est la dérivée de $y$.

\itemnum Vérifier que la fonction $s$, définie sur l'intervalle $]0,
+\infty[$ par $s (x) = xe^{-x}$ est solution de l'équation $(E)$.

\itemnum Résoudre sur $]0, +\infty[$ l'équation différentielle
$$
   xy' - y = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $]0, +\infty[$.

\itemnum Déterminer la solution particulière $g$ de $(E)$ sur $]0,
+\infty[$ vérifiant la condition 
$\displaystyle
   g (1) = 1 + {1 \over e}
$

\finexo

\corrige{}

\itemnum Si la fonction $s$ est définie par $s (x) = xe^{-x}$, alors
$s' (x) = (1-x) e^{-x}$. Il vient alors
$$
   xs' - s = (x -x^2 -x) e^{-x} = -x^2 e^{-x}.
$$
Ce qui prouve que \tresultat{la fonction $s$ est bien une solution particulière de $(E)$}.

\itemnum Il vient
$$
(E_0) \qquad \qquad
   xy' - y = 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   y' = {1\over x} y.
$$
Le cours nous dit que les solutions de $(E_0)$ sont toutes
les fonctions du type $y = ke^{A (x)}$ où $k \in \rset$ et $A$
primitive de $1/x$. Autrement dit, les solutions de $(E_0)$ sont
toutes les fonctions $y$ qui s'écrivent
$$
   y (x) = ke^{\ln x}, \quad k \in \rset,
      \qquad \hbox {soit encore} \qquad
   \dresultat{y (x) = kx, \quad k \in \rset}
$$
puisque $\ln x$ est une primitive de $1/x$ et que $e^{\ln x} = x$.

\itemnum Pour avoir la solution générale de $(E)$, il suffit d'ajouter
une solution particulière de $(E)$ à la solution générale de
$(E_0)$. En utilisant les questions précédentes, on obtient que les
solutions de l'équation $(E)$ sont toutes les fonctions $y$ ayant une
écriture de la forme
$$
   \dresultat{y (x) = x (k + e^{-x}), \quad k \in \rset}.
$$

\itemnum Si $g$ est solution de $(E)$, alors $g$ est définie par une
expression du type $g (x) = x (k + e^{-x})$ pour un certain réel
$k$. On a alors $g (1) = k + {1 \over e}$. Pour avoir la solution $g$
cherchée, il faut donc prendre $k=1$ pour obtenir 
$$
   \mresultat{g (x) = x (1 + e^{-x})}.
$$

\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 28 septembre 2001 (0.06s - 3824134 - 3 décembre 2008)