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\exo{\'Equation différentielle du premier ordre avec un cosinus}

On considère l'équation différentielle 
$$
   3x' - 2x = -20 \cos 2t
\leqno
   (E)
$$
où l'inconnue $x$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie
et dérivable sur $\rset$, et où $x'$ est la fonction dérivée de $x$.

\itemitemalphnum Résoudre l'équation différentielle
$$
   3x' - 2x = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemitemalph Déterminer une solution particulière de $(E)$ sous la
forme
$$
   x (t) = A \cos 2t + B \sin 2t.
$$

\itemitemalph Résoudre l'équation $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de $(E)$ vérifiant la
condition initiale $f (0) = 0$.

\finexo

\corrige

\itemalphnum On a $3x' - 2x = 0$ \quad $\Longleftrightarrow$ \quad $x' -
{2\over3} x = 0$. Les solutions de $(E_0)$ sont donc toutes les
fonctions $x$ ayant une écriture du type \dresultat{x (t) = k e^{2t
\over 3}} où $k$ désigne une constante réelle quelconque.

\itemalph Si $x (t) = A \cos 2t + B \sin 2t$, alors $x' (t) = -2A \sin
2t+ 2B \cos 2t$. En reportant dans l'équation $(E)$, il vient alors
$$
   3x' - 2x 
      = (6B - 2A)  \cos 2t - (6A + 2B) \sin 2t 
      = -20 \cos 2t.
$$
En identifiant les coefficients des deuxièmes et troisièmes membres,
et en simplifiant par 2, on obtient le système
$$
   \cases{
      3B - A = -10
   \cr
      3A + B = 0
   \cr}
      \qquad \Longrightarrow \qquad
      ^{(L_1 \leftarrow 3L_1 + L_2)} \quad
   \cases{ 
       10B = -30
   \cr
      3A + B = 0
   \cr}
      \qquad \Longrightarrow \qquad
   \cases{
      B = -3
   \cr
      A = 1
   \cr}
$$
d'où la solution particulière de $(E)$ cherchée \dresultat{x (t) = \cos 2t - 3
\sin 2t}. 

\itemalph Pour avoir la solution générale de $(E)$, il suffit
d'additionner la solution générale de $(E_0)$ à une solution
particulière de $(E)$. Ici, les solutions de $(E)$ sont toutes les fonctions
$x$ ayant une écriture du type 
$$
   \dresultat{x (t) = \cos 2t - 3 \sin 2t + k e^{2t \over 3} }
$$
où $k$ désigne une constante réelle quelconque.

\itemnum Si $f$ est une solution de $(E)$, alors $f$ possède une
écriture comme celle donnée ci-dessus, et on a alors $f (0) =
1 + k$. Si on a $f (0) = 0$, c'est donc que $k = -1$,
et la solution articulière $f$ cherchée s'écrit
$$
   \dresultat{x (t) = \cos 2t - 3 \sin 2t - e^{2t \over 3} }
$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 28 septembre 2001 (0.09s - 3824225 - 3 décembre 2008)