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\exo {\' Evolution d'une température en chimie}

\centerline {\sl Les questions {\bf 1.} et {\bf 2.} sont indépendantes.}

\itemnum On note $y (t)$ la température en degrés Celsius d'une
réaction chimique en fonction du temps $t$, $t$ étant exprimé en
heures.

Après étude, on constate que la température est solution de l'équation
différentielle
$$
   y' + y = e^{-0, 25t}
\leqno
   (E)
$$
avec la condition initiale $y (0) = 20$.

\itemitemalph Résoudre sur $[0, +\infty [$ l'équation
$$
   y' + y = 0
\leqno
   (E_0)
$$

\itemitemalph Déterminer le nombre réel $k$ tel que la fonction $g$
définie par $g (t) = k e^{-0, 25t}$ soit une solution particulière de
l'équation $(E)$.

\itemitemalph En déduire la solution générale de $(E)$.

\itemitemalph Déterminer la solution de $(E)$ satisfaisant la
condition initiale.

\itemnum On considère la fonction $f$ définie sur $[0, +\infty [$ par
$$
   f (t) = {1\over 3} \left( 56 e^{-t} + 4 e^{-0, 25t}\right) .
$$

\itemitemalph \' Etudier la limite de $f$ quand $t$ tend vers
$+\infty $.

\itemitemalph Déterminer la fonction dérivée de $f$.

\itemitemalph \' Etudier le signe de $f' (t)$ pour $t \in [0, +\infty
[$. En déduire le tableau de variation de $f$.

\itemitemalph Dans le plan rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec
\imath , \vec \jmath \, )$ (unités graphique~: 2~cm ou 2~grand
carreaux pour 1~h sur l'axe des abscisses, et 1~cm ou 1~grand carreau
pour 1~degré sur l'axe des ordonnées) représenter graphiquement la
fonction $f$.


\finexo

\corrige {}

\itemalphnum Le cours nous donne immédiatement que les solutions de
l'équation différentielle $(E_0)$ sont 
toutes les fonctions $y$ ayant une écriture de la forme
$$\dresultat {
   y (t) = k e^{-t}
      \qquad 
   \hbox {où $k$ est une constante réelle quelconque}
}$$

\itemalph On a $g (t) = k e^{-0, 25t}$, donc \dresultat {g' (t) = -0,
25ke^{-0, 25t}}. Si $g$ est solution de $(E)$, alors on a
$$\eqalign {
   g' + g = e^{-0, 25t}
      \qquad &{\rm soit} \qquad
    k e^{-0, 25t} - 0, 25k e^{-0, 25t} = e^{-0, 25t}
\cr
      &{\rm soit} \qquad
   (1-0, 25)k e^{-0, 25t} = e^{-0, 25t}
\cr
      &{\rm d'où} \qquad
   {3\over 4}k  = 1
      \qquad {\rm et} \qquad
   k = {4\over 3}
\cr
}$$
Finalement la fonction \dresultat {
   g (t) = {4\over 3} e^{-0, 25t}
} est
une solution particulière de $(E)$.

\itemalph En additionnant une solution particulière de $(E)$ à la
solution générale de $(E_0)$, on obtient la solution générale $y$ de
$(E)$~:
$$\dresultat {
   y (t) = {4\over 3} e^{-0, 25t} + k e^{-t}
      \qquad 
   \hbox {où $k$ est une constante réelle quelconque}
}$$

\itemalph Si maintenant la fonction $f$ est l'une de ces solutions
vérifiant la condition initiale $f (0) = 20$, alors on a 
$$
   f (t) = {4\over 3} e^{-0, 25t} + k e^{-t}
      \qquad {\rm et}  \qquad
   f (0) = 20
      \qquad {\rm soit}  \qquad
   {4\over 3} + k= 20
      \quad \Longrightarrow \quad
   k = {56\over 3}
$$
Finalement, la solution cherchée est la fonction $f$ définie sur $[0,
+\infty [$ par
$$
   \dresultat {f (x) = {4\over 3} e^{-0, 25t} + {56\over 3} e^{-t}
      = {1\over 3} \left( 4e^{-0, 25t} + 56e^{-t}\right) }
$$

\itemalphnum Il vient facilement \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (t) =
      0} puisque $\lim _ {+\infty } e^{-t} = \lim _ {+\infty } e^{-0,
      25t} = 0$. On en déduit que la courbe représentative de $f$
      admet l'axe \tresultat {$Ox$ comme asymptote horizontale}.

\itemalph On trouve \dresultat {f' (t) = {1\over 3} \left( -56 e^{-t}
      - e^{-0, 25t}\right) } 

\itemalph Et cette dérivée est évidemment \tresultat {toujours
négative} puisque, l'exponentielle étant toujours positive,
$-56e^{-t}$ et $-e^{-0, 25t}$ seront toujours des nombres négatifs, et
leur somme ne pourra qu'être elle-même négative.

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}
\epsfxsize = 80mm

\itemalph D'où le tableau de variations de $f$ Et sa courbe représentative~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& 0 && +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& & -&
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \bucenter {$f (x)$}&&
      \bup {$20$} &
      \brightdownarrow & \down {$0$}
   \cr
}}
}
   \qquad \qquad
   \vcenter {\superboxepsillustrate {equ1_024.ps}}
$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.09s - 3824185 - 3 décembre 2008)