Source de equ1_025.tex
\exo {\' Equation différentielle d'ordre 1}
On considère l'équation différentielle
$$
y - xy' = x^2 +1.
\leqno
(E)
$$
\itemnum Résoudre $(E_0)$, l'équation sans second membre associée à
l'équation $(E)$.
\itemnum Déterminer une solution particulière $g$ de $(E)$. (On pourra
chercher $g$ sous la forme d'un polynôme du second degré $g (x) = ax^2
+ bx + c$.)
\itemnum Résoudre l'équation $(E)$.
\finexo
\corrige {}
\itemnum Résolvons l'équation sans second membre $(E_0)$. On a
$$
y - xy' = 0
\quad \Longleftrightarrow \quad
y' = {1\over x} \times y
\quad \Longleftrightarrow \quad
y = k e^{\ln x} \quad \hbox {où $k$ constante réelle arbitraire}
$$
d'où la solution générale de $(E_0)$~: \tresultat {$y (x) = kx$ \quad
où $k$ constante réelle arbitraire}
\itemnum Soit $g$ un polynôme de degré~2~: $g (x) = ax^2 + bx + c$. On
a alors $g' (x) = 2ax + b$ et $g'' (x) = 2a$. En écrivant maintenant
que $g$ est solution de l'équation $(E)$, il vient
$$
g - xg' = x^2 + 1
\quad \Longleftrightarrow \quad
-ax^2 + c = x^2 + 1
\qquad {\rm d'où} \qquad
(a, c) = (-1, 1)
$$
Une solution particulière de $(E)$ est donc le polynôme $g$ défini par
\dresultat {g (x) = -x^2 + 1}.
\itemnum La solution générale de $(E)$ est obtenue en additionant la
solution générale de $(E_0)$ à une solution particulière de
$(E)$. Ici, on obtient donc comme solution générale de $(E)$
l'ensemble des fonction $y$ ayant une écriture du type \dresultat {y
(x) = -x^2 + kx + 1} où $k$ est une constante réelle quelconque.
\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 14 octobre 2001 (0.08s - 3824130 - 3 décembre 2008)
