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$Fichier TeX$
\exo {Hauteurs de crues et probabilités, \sl bts mai, session 2004}

{\sl Dans cet exercice, on étudie une fonction qui intervient dans des
calculs de probabilité à propos de la crue d'un fleuve. (Source~: un
bureau d'étude du domaine de l'équipement.)}

\centerline {\bf Les trois parties de cet exercice peuvent être
traitées de façon indépendante.}

\partie {\sl A - Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle
$$
   (E)~: y' + (0, 4x)y = 0, 4x
$$
où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et
dérivable sur $[0; +\infty [$, et $y'$ sa fonction dérivée.

\itemnum Déterminer les solutions de l'équation différentielle
$$
   (E_0)~: y' + (0, 4x)y = 0.
$$

\itemnum Montrer que la fonction constante $h$, définie sur $[0;
+\infty [$ par $h (x) = 1$, est une solution particulière de
l'équation $(E)$.

\itemnum En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.

\itemnum Vérifier que la fonction $F$ définie sur $[0; +\infty [$ par 
$\displaystyle {
   F (x) = 1 - e^{-0, 2x^2}
}$
est la solution particulière de l'équation différentielle $(E)$ qui
vérifie la condition initiale $F (0) = 0$.

\partie {\sl B - \' Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction définie sur $[0; +\infty [$ par
\qquad
$\displaystyle {
   f (x) = 0, 4 x e^{-0, 2x^2}
}$.

On désigne par $C$ la courbe représentative de $f$ dans un repère
orthogonal $(O, \vec \imath , \vec \jmath \,)$, les unités graphiques
étant de $2$~cm sur l'axe des abscisses et de $10$~cm sur l'axe des
ordonnées.

\itemnum On admet que 
$\displaystyle {
   \lim _{x\to +\infty } f (x) = 0
}$.
Que peut-on en déduire pour la courbe $C$~?

\itemitemalphnum Démontrer que, pour tout $x$ de $[0; +\infty [$, 
$$
   f' (x) = 0, 4 \left( 1 - \sqrt {0, 4}x\right) \left( 1 + \sqrt {0,
   4} x \right)  e^{-0, 2x^2}.
$$

\itemitemalph En déduire le signe de $f' (x)$ sur $[0; +\infty [$.

\itemitemalph Donner le tableau de variation de $f$ sur $[0; +\infty
   [$.

\itemitem {} On y fera figurer la valeur approchée à $10^{-2}$ près du
maximum de la fonction $f$.

\itemnum Un logiciel de calcul formel fournit pour $f$ le
développement limité suivant, à l'ordre $3$, au voisinage de $0$~:
$$
   f (x) = 0, 4 x - 0, 08 x^3 + x^3 \varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$
{\bf Ce résultat est admis et n'est donc pas à démontrer.}

\item {} En déduire une équaion de la tangente $T$ à la courbe $C$
au point d'abscisse $0$, et la position relative de $T$ et $C$ au
voisinage de ce point.

\itemnum Tracer sur la copie la tangente $C$ et la courbe $C$ dans le
repère $(O, \vec \imath ,\vec \jmath )$ défini au début de la partie
$B$. 

\partie {\sl C - Application à un problème de probabilité}

{\sl Une étude statistique, fondée sur un historique des crues d'un
fleuve, permet de faire des prévisions dur sa hauteur maximale
annuelle, en mètres.}

On note $X$ la variable aléatoire qui, à une année prise au hasard dans
une longue période, associe la hauteur maximale du fleuve en mètres.

Soit $x$ un réel positif. La probabilité qu'una année donnée la
hauteur maximale du fleuve soit inférieure à $x$ mètres est
$$
   p (X \leq x) = \int _0^x f (t) \, {\rm d}t
$$
où $f$ est la fonction définie dans la partie {\sl B}.

On admet que~: \qquad
$\displaystyle {
   \int _0^x f (t) \, {\rm d}t = 1 - e^{-0, 2x^2}
}$.

\itemnum Les digues actuelles ne protègent l'agglomération que lorsque
la hauteur du fleuve est inférieure à $4$ mètres.

\item {} Calculer la probabilité $p (X\leq 4)$ qu'une année donnée,
l'agglomération soit protégée de la crue; arrondir le résultat à
$10^{-2}$.

\itemnum Afin de réaliser des travaux pour améliorer la protection de
l'agglomération, on cherche la hauteur $x_0$, en mètres, telle que $P
(X\leq x_0) = 0, 99$.

\itemitemalph Montrer que $x_0$ est solution de l'équation~:
\qquad
$e^{-0, 2 x_0^2} = 0, 01$.

\itemitemalph Déterminer la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ près
de $x_0$.

\itemitemalph On considère l'affirmation suivante~: \og \sl En
surélevant les digues d'un mètre, la probabilité qu'une année prise au
hasard, l'agglomération soit protégée est supérieure à $0, 99$\fg .

\itemitem {} Cette affirmation est-elle vraie~? (Donner la réponse
sans explication.)

\finexo
— Syracuse — Dernière modification : 23 mai 2004 (0.07s - 3824045 - 3 décembre 2008)