Source de equ2

$Fichier TeX$
\exo {Le second membre est constant}

\let \partie \centerpartie

\partie {A}

On considère l'équation différentielle
$$
   y'' - 3y' + 2y = 4.
\leqno
   (E)
$$

\itemitemalphnum Résoudre l'équation différentielle
$$
   y'' - 3y' + 2y = 0.
$$

\itemitemalph Déterminer une solution particulière de $(E)$.

\itemitemalph En déduire la solution générale de $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution particulière de $(E)$ vérifiant les
2~conditions~:
$$
   f (0) = 1
      \qquad {\rm et} \qquad
   f' (0) = 2.
$$

\partie {B}

Dans un repère orthonormal $(O, \vec \imath, \vec
\jmath\,)$ d'unité 4~cm (ou 4~grands carreaux), on considère $C_f$, la
courbe représentative de la fonction $f$ définie sur $\rset$ par 
$$
   f (x) = 2 + 3e^{2x} - 4e^x.
$$

\itemnum \'Etudier le sens de variation de la fonction $f$.

\itemitemalphnum Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra
mettre $e^{2x}$ en facteur dans $f (x)$).

\itemitemalph Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y = 2$, est
asymptote à $C_f$.
\'Etudier les positions relatives de $C_f$ et $\Delta $.

\itemitemalph On note $T$ la droite tangente à $C_f$ au point
d'abscisse~0. Calculer le coefficient directeur de $T$.

\itemnum Sur le même graphique, tracer les courbes $\Delta$, $T$ et $C_f$.

\finexo

\corrige {}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
%
\alphnum \ L'équation caractéristique associée à l'équation sans
second membre $(E_0)$ est
$$
   r^2 - 3r + 2 = 0.
$$
Cette dernière équation admettant les 2~solutions réelles $r_1 = 1$ et
$r_2 = 2$, on en déduit que la solution générale de $(E_0)$ est la
fonction $y$ définie par
$$
   \dresultat {y (x) = A e^{2x} + B e^x}
      \qquad 
   \hbox {où $A$ et $B$ contantes réelles quelconques}
$$

\alph \ Cherchons une solution particulière de $(E)$ sous la forme
      d'une fonction constante $g$ définie pour tout réel $x$ par $g
      (x) = a$, où $a$ est une constante réelle à déterminer. On a
      alors $g' (x) = g '' (x) = 0$ pour tout $x$. Or l'hypothèse \og
      $g$ solution de $(E)$\fg \ impose la condition 
$$
   g'' - 3g' + 2g = 4
      \qquad {\rm soit} \qquad
   2a = 4
$$
On en déduit que la fonction constante $g$ définie pour tout réel $x$
par \dresultat {g (x) = 2} est une solution particulière de l'équation $(E)$.

\alph \ Pour obtenir la solution générale de $(E)$, il suffit
d'additionner la solution générale de $(E_0)$ à une solution
particulière de $(E)$. On en déduit la solution générale de $(E)$~:
$$
   \dresultat {y (x) = 2 + Ae^{2x} + B e^x}
      \qquad 
   \hbox {où $A$ et $B$ constantes réelles quelconques}
$$

\num \ Si $f$ est une solution de $(E)$, on aura donc
$
   f' (x) = 2Ae^{2x} + B e^x
$, et les conditions initiales $f (0) = 1$ et $f' (0) = 2$ vont alors
   imposer les relations
$$
   2+A+B = 1
      \qquad {\rm et} \qquad
   2A + B = 2.
$$
De ces relations, on déduit $(A, B) = (3, -4)$. D'où la seule solution
de $(E)$ vérifiant les 2~conditions initiales~:
$$
   \dresultat {f (x) = 2 +3e^{2x} - 4e^x}
$$

\partie {B}
%
\num \ Le calcul de la dérivée $f'$ donne $f' (x) = 6e^{2x}
- 4e^x$, soit \dresultat {f' (x) = 2e^x \times (3e^x - 2)}. Cette
  dérivée est du signe de $3e^x - 2$ puisque $2e^x$ est toujours
  positif. Or 
$$
   3e^x - 2 \geq 0
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   e^x \geq {2\over 3}
      \qquad \Longleftrightarrow \qquad
   x \geq \ln \left( {2\over 3} \right) = \ln 2 - \ln 3
$$
On en déduit \tresultat {$f$ décroissante sur $]-\infty , \ln 2 - \ln
3]$}, et \tresultat {croissante sinon}

\alphnum \ Pour la limite de $f$ en $+\infty $, il vient
$$
   \lim _{x\to +\infty } f (x) 
   = \lim _{x\to +\infty } e^{2x} \times \big( 2e^{-2x} + 3 - 4
   e^{-x}\big)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty }
$$
puisque 
$\displaystyle {
   \lim _{x\to +\infty } e^{-x} = \lim _{x\to +\infty } e^{-2x} = 0
}$
et
$\displaystyle {
   \lim _{x\to +\infty } e^{2x} = +\infty
}$

\alph \ Pour ce qui est de $-\infty $, on a
$$
   \lim _{x\to -\infty } \big( f (x) - 2\big) 
   = \lim _{x\to -\infty } 3e^{2x} - 4e^x
   = 0
$$
puisque
$\displaystyle {
   \lim _{x\to -\infty } e^{2x} = \lim _{x\to -\infty } e^{x} = 0
}$.
On en déduit que
$$
   \tresultat {la droite d'équation $y=2$ est asymptote en $-\infty $
   à la courbe de $f$}. 
$$

Pour étudier les positions relatives de $C_f$ et $\Delta $, il faut
étudier le signe de leur diférence. Or on a
$$
   f (x) - 2 = 3e^{2x} - 4 e^x = e^x \times \big( 3e^x - 4\big)
$$
qui est du signe de $3e^x -4$ puisque $e^x$ est toujours positif. En
procédant de la même manière que pour l'étude du signe de la dérivée
$f'$, on trouve les résultats suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter{\offinterlineskip \halign{
   % preamble
      & \cc {$#$}& #& $#$ & \cc {$#$}& \cc {$#$}& \cc {$#$}&
\cc {$#$}& $#$
   \cr
      x& \tv & \, -\infty && \ln \left( {4\over 3}\right) && +\infty 
   \cr
   \noalign{\hrule}
      f (x) - 2 & \tv && - & 0 & + &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      \tvi height 15pt depth 10pt \hbox {positions relatives}& \tv && 
      \matrix{C_f {\rm \ au}\cr {\rm dessous\ de\ } \Delta }& \tv &
      \matrix{C_f {\rm \ au}\cr {\rm dessus\ de\ } \Delta }
   \cr
}}  
}$$

\alph \ Par définition de la fonction dérivée $f'$, le coefficient
      directeur de la tangente $T$ est \dresultat {f' (0) = 2}

\def \epspath {%
   /home/jp/tex_doc/lycee/database/btsmai/analyse/equadiff/}

\num \ En résumé, le tableau de variation de la fonction $f$ est le
suivant~:
$$\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && \ln {2\over 3}&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& &-& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \buup {$2$}&
      \brightddownarrow & \down{$2/3$}& 
      \brightuuparrow & \buup {$+\infty $}
   \cr
}}
$$
et voici sa courbe représentative~:
\epsfxsize 80mm
$$
   \superboxepsillustrate {equ2_004.ps}
$$


\fincorrige
— Syracuse — Dernière modification : 30 novembre 2006 (0.08s - 3824122 - 3 décembre 2008)